Página de resolución: los datos numéricos del rotor (número de vueltas, diámetro del rotor, diámetro del alambre y tensión) fueron dados en la página anterior; aquí se desarrollan las relaciones físicas que deben usarse y una aplicación de referencia.
Enunciado: Calculo todos los parámetros antes mencionados para poder estimar el comportamiento del rotor.
- Longitud total del alambre. Si el rotor tiene N vueltas y su diámetro (núcleo) es D, la longitud de cada vuelta es \pi D, de modo que
L = N \cdot \pi D
Ejemplo de referencia: con N = 200 vueltas y D = 0{,}10 \, \text{m} ((10 \, \text{cm})):
L = 200 \times \pi \times 0{,}10 = 62{,}8 \, \text{m}
- Sección transversal del alambre. Con diámetro d:
A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}
Con d = 0{,}5 \, \text{mm} = 5 \times 10^{-4} \, \text{m}:
A = \frac{\pi (5 \times 10^{-4})^2}{4} = 1{,}96 \times 10^{-7} \, \text{m}^2
- Resistencia del alambre. Usando la ley de Ohm y la relación con la resistividad \rho (cobre: \rho \approx 1{,}7 \times 10^{-8} \, \Omega\cdot\text{m}):
R = \rho \frac{L}{A}
R = (1{,}7 \times 10^{-8}) \frac{62{,}8}{1{,}96 \times 10^{-7}} \approx 5{,}46 \, \Omega
Comprobación con Ohm: si la bobina trabaja a V = 12 \, \text{V}:
I = \frac{V}{R} = \frac{12}{5{,}46} \approx 2{,}20 \, \text{A}
- Masa del alambre. Con densidad del cobre \rho_{\text{Cu}} \approx 8{,}9 \times 10^{3} \, \text{kg}/\text{m}^3:
m = \rho_{\text{Cu}} \cdot A \cdot L = (8{,}9 \times 10^{3})(1{,}96 \times 10^{-7})(62{,}8) \approx 0{,}110 \, \text{kg}
- Número de vueltas por voltaje (parámetro de diseño): en generadores de este tipo E = k N \Phi \omega, de donde
N \propto \frac{E}{\Phi \omega}
lo que permite estimar cuántas vueltas produce la f.e.m. deseada a la velocidad de giro \omega.
L = N\pi D, A = \pi d^2/4, R = \rho L/A, m = \rho_{\text{Cu}} A L y N \propto E/(\Phi\omega); con los datos de referencia: L \approx 62{,}8 \, \text{m}, A \approx 1{,}96 \times 10^{-7} \, \text{m}^2, R \approx 5{,}5 \, \Omega, I \approx 2{,}2 \, \text{A}, m \approx 0{,}11 \, \text{kg}.
Enunciado: Si en la prueba se pudieran añadir 100 vueltas más de alambre, ¿qué sucedería con el resto de parámetros? Explico mi respuesta.
- Longitud del alambre: al pasar de N a N' = N + 100,
L' = (N + 100)\,\pi D = L + 100\,\pi D
es decir, la longitud aumenta en 100\,\pi D.
- Resistencia: como R \propto L (el diámetro del alambre no cambia, por lo tanto A se mantiene):
R' = \rho \frac{L'}{A} > R
Para el ejemplo: \Delta R = \rho \frac{100\,\pi D}{A} = (1{,}7 \times 10^{-8})\frac{100\times\pi\times 0{,}1}{1{,}96\times10^{-7}} \approx 2{,}72 \, \Omega, luego R' \approx 8{,}2 \, \Omega.
- Corriente: si la tensión aplicada se mantiene, por la ley de Ohm I = V/R disminuye:
I' = \frac{V}{R'} < I
En el ejemplo: I' = 12/8{,}2 \approx 1{,}46 \, \text{A} < 2{,}20 \, \text{A}.
Potencia disipada y calentamiento: P = V^2/R o P = I^2R; como el circuito está limitado en tensión, la potencia entregada a la carga y la f.e.m. inducida (E = kN\Phi\omega) aumentan por la mayor N, pero la corriente útil disminuye. El calentamiento I^2R puede no disminuir proporcionalmente, ya que R aumenta más rápido de lo que lo hace I^2.
Masa e inercia: la masa aumenta en \Delta m = \rho_{\text{Cu}} A (100\,\pi D), lo que eleva el momento de inercia del rotor y, por tanto, el par de giro \tau = k\Phi I disponible en arranque disminuye si la corriente cae.
Campo magnético: al ser las vueltas adicionales parte de la misma bobina, el flujo por vuelta \Phi no cambia, pero el flujo total N\Phi aumenta; sin embargo, la mayor resistencia reduce la corriente de excitación, de modo que el efecto neto sobre \Phi depende de la conexión (serie, shunt o de separación).
al añadir 100 vueltas la longitud y la resistencia del alambre aumentan (R' > R); al mantenerse la tensión, la corriente disminuye (I' < I), la f.e.m. y el flujo total N\Phi tienden a aumentar, pero el par disponible y la potencia útil a la carga disminuyen; además, la masa y el momento de inercia del rotor crecen, lo que ralentiza su respuesta.
