Rotor: bobina rectangular 100 vueltas, 2,54 cm × 5 cm, B = 1 T, I = 1,25 A con el plano perpendicular a B. Gira a 3600 rev/min. a) Calcular momento magnético, torque máximo, trabajo por revolución, pico de potencia y potencia media. b) Si se añaden 100 vueltas, ¿qué ocurre con los parámetros?

≈ 0,16 A·m^2, _max ≈ 0,16 N·m, W ≈ 0,635 J, P_max ≈ 60 W, P_media ≈ 38,1 W; con 200 vueltas, todo se duplica.

Libro de Física 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Rotor eléctrico: momento, torque, trabajo y potencia en campo magnético

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Respuesta rápida

6.b: E' = 2E (se duplica). 6.c: E' = E/2 (se reduce a la mitad). 6.d: E disminuye en la misma proporción que la corriente. 7.a: μ ≈ 0,16 A·m²; τ_max ≈ 0,16 N·m; W ≈ 0,635 J; $P_max$ ≈ 60 W; $P_media$ ≈ 38,1 W. 7.b: todos los parámetros se duplican.

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Solución — Página 153

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 6

(continuación)

El enunciado de la parte a) aparece en la página anterior. Según el planteamiento original, el campo eléctrico creado por las corrientes es proporcional a la intensidad de corriente ( $E \propto I$ ), de modo que cualquier cambio en $I$ se replica en $E$ .

Parte 6.b

Enunciado: si los valores de corrientes aumentan al doble, establezco la magnitud del campo eléctrico.

Relación fundamental: $E = k\,I$ , con $k$ la constante de proporcionalidad fijada por la geometría y la posición del punto.
Sustitución: $I' = 2I \Rightarrow E' = k\,(2I) = 2(kI)$ .
Desarrollo: $E' = 2E$ .

Respuesta

el campo eléctrico se duplica: $E' = 2E$ .

Parte 6.c

Enunciado: si los valores de corrientes disminuyen a la mitad, determino la magnitud del campo eléctrico.

Relación: $E = k\,I$ .
Sustitución: $I' = \dfrac{I}{2} \Rightarrow E' = k\,\dfrac{I}{2} = \dfrac{E}{2}$ .

Respuesta

el campo eléctrico se reduce a la mitad: $E' = \dfrac{E}{2}$ .

Parte 6.d

Enunciado: ¿qué sucede cuando los valores de corrientes disminuyen en el campo eléctrico?

Como $E \propto I$ , disminuir la corriente reduce el campo eléctrico en la misma proporción.
Se mantiene la proporcionalidad directa: menor corriente ⇒ menor campo eléctrico; el valor del campo sigue la variación de $I$ sin alterar la forma de la distribución del campo.

Respuesta

al disminuir la corriente, el campo eléctrico disminuye en la misma proporción (proporcionalidad directa $E \propto I$ ).

Ejercicio 7

Enunciado: se tiene una bobina rectangular plana de $N = 100$ vueltas, dimensiones $2{,}54\,\text{cm} \times 5\,\text{cm}$ , en un campo $B = 1\,\text{T}$ , con corriente $I = 1{,}25\,\text{A}$ cuando el plano es perpendicular a $\vec{B}$ ; el rotor gira a $3600\,\text{rev/min}$ .

Parte 7.a

Paso 1 — Superficie de la bobina.

$A = 2{,}54\,\text{cm} \times 5\,\text{cm} = 12{,}7\,\text{cm}^{2} = 1{,}27 \times 10^{-3}\,\text{m}^{2}$

Paso 2 — Momento magnético ( $\mu = NIA$ ).

$\mu = N\,I\,A = 100 \times 1{,}25\,\text{A} \times 1{,}27 \times 10^{-3}\,\text{m}^{2}$

$\mu = 0{,}1588\,\text{A·m}^{2} \approx 0{,}16\,\text{A·m}^{2}$

Paso 3 — Momento de torsión máximo ( $\tau_{max} = NIAB = \mu B$ ).

En esta posición $\vec{\mu}$ es opuesto a $\vec{B}$ y el torque es máximo:

$\tau_{max} = N\,B\,I\,A = 100 \times 1\,\text{T} \times 1{,}25\,\text{A} \times 1{,}27 \times 10^{-3}\,\text{m}^{2}$

$\tau_{max} = 0{,}1588\,\text{N·m} \approx 0{,}16\,\text{N·m}$

Paso 4 — Velocidad angular.

$\omega = 3600\,\frac{\text{rev}}{\text{min}} \times \frac{2\pi\,\text{rad}}{1\,\text{rev}} \times \frac{1\,\text{min}}{60\,\text{s}} = 120\pi \approx 377\,\text{rad/s}$

Paso 5 — Trabajo por revolución.

El torque vale $\tau = \tau_{max}\,|\sin\theta|$ ; el trabajo útil por vuelta es:

$W = \int_{0}^{2\pi} \tau_{max}\,|\sin\theta|\,d\theta = \tau_{max}\,\int_{0}^{2\pi} |\sin\theta|\,d\theta = \tau_{max}\times 4$

$W = 4 \times 0{,}1588\,\text{N·m} \approx 0{,}635\,\text{J}$

Paso 6 — Pico de potencia ( $P_{max} = \tau_{max}\,\omega$ ).

$P_{max} = 0{,}1588 \times 377 \approx 59{,}8\,\text{W} \approx 60\,\text{W}$

Paso 7 — Potencia media.

$P_{media} = W \times f = 0{,}635\,\text{J} \times \frac{3600}{60}\,\text{s}^{-1} = 0{,}635 \times 60$

$P_{media} \approx 38{,}1\,\text{W}$

(Comprobación: $P_{media} = \dfrac{2}{\pi}P_{max} = 0{,}6366 \times 59{,}8 \approx 38{,}1\,\text{W}$ , ¡coincide!)

Respuesta

$\mu \approx 0{,}16\,\text{A·m}^{2}$ ; $\tau_{max} \approx 0{,}16\,\text{N·m}$ ; $W \approx 0{,}635\,\text{J}$ por revolución; $P_{max} \approx 60\,\text{W}$ ; $P_{media} \approx 38{,}1\,\text{W}$ .

Parte 7.b

Enunciado: si se añaden 100 vueltas más ( $N' = 200$ ), ¿qué sucede con el resto de parámetros?

Todos los parámetros calculados dependen de forma lineal de $N$ :
- $\mu = NIA \propto N$
- $\tau_{max} = NIBA \propto N$
- $W = 4NIBA \propto N$
- $P_{max} = NIBA\,\omega \propto N$
- $P_{media} = \dfrac{2}{\pi}NIBA\,\omega \propto N$
Sustitución con $N' = 2N$ : cada magnitud se multiplica por $2$ .
Resultados:
- $\mu' = 2\mu \approx 0{,}318\,\text{A·m}^{2}$
- $\tau'_{max} = 2\tau_{max} \approx 0{,}318\,\text{N·m}$
- $W' = 2W \approx 1{,}27\,\text{J}$
- $P'_{max} = 2P_{max} \approx 119{,}7\,\text{W}$
- $P'_{media} = 2P_{media} \approx 76{,}2\,\text{W}$

Respuesta

al duplicar el número de vueltas, todos los parámetros (momento magnético, torque máximo, trabajo por revolución, potencia pico y potencia media) se duplican, porque son directamente proporcionales a $N$ .

Contenido de la página

Página 153 — Texto de Física

b) Si los valores de corrientes aumentan al doble, establezco la magnitud del campo eléctrico.

c) Si los valores de corrientes disminuyen a la mitad, determino la magnitud del campo eléctrico.

d) Indico y respondo: ¿qué sucede cuando los valores de corrientes disminuyen en el campo eléctrico?

7. Leo el siguiente planteamiento y realizo las actividades a continuación:

Una empresa de la capital, encargada de proveer compresores eléctricos de alta presión a petroleras, analiza el comportamiento de un nuevo rotor. Para esto es necesario analizar parámetros como el momento de torsión máximo, la intensidad del campo magnético, el trabajo realizado por el rotor para una revolución, el pico de potencia del rotor, y la potencia media del rotor. De un modelo a escala del rotor, puesto en marcha y a prueba, se obtienen los siguientes resultados.

Si el rotor es una bobina rectangular plana con 100 vueltas de alambre y de dimensiones de 2,54 cm × 5 cm, y del escáner se sabe que gira a B = 1 T.
Cuando el plano del rotor es perpendicular a la dirección del campo magnético lleva una corriente de 1,25 A. En esta orientación, el momento magnético del rotor está en dirección opuesta al campo magnético.

a) Calculo todos los parámetros antes mencionados para poder estimar el comportamiento del rotor.

b) Si en la prueba se pudieran añadir 100 vueltas más de alambre, ¿qué sucedería con el resto de parámetros? Explico mi respuesta.

Después el rotor gira media revolución. Este proceso se repite haciendo que gire de manera estable a 3600 rev/min.

Ejemplos resueltos

Una bobina de 200 vueltas, área $1\times10^{-3}\,\text{m}^2$ , con $I=2\,\text{A}$ , en $B=0{,}5\,\text{T}$ . Calcular $\tau_{max}$ .

$\tau_{max} = NIBA = 200\times2\times0{,}5\times10^{-3} = 0{,}2\,\text{N·m}$

Tabla

Parámetro	Fórmula	Valor (N=100)	Valor (N=200)
Superficie	$A = 2{,}54\times10^{-2} \times 5\times10^{-2}$	$1{,}27\times10^{-3}\,\text{m}^2$	$1{,}27\times10^{-3}\,\text{m}^2$
Momento magnético	$\mu = NIA$	$0{,}159\,\text{A·m}^2$	$0{,}318\,\text{A·m}^2$
Torque máximo	$\tau_{max} = NIBA$	$0{,}159\,\text{N·m}$	$0{,}318\,\text{N·m}$
Trabajo por revolución	$W = 4\tau_{max}$	$0{,}635\,\text{J}$	$1{,}27\,\text{J}$
Potencia pico	$P_{max} = \tau_{max}\omega$	$59{,}8\,\text{W}$	$119{,}7\,\text{W}$
Potencia media	$P_{media} = W\cdot f$	$38{,}1\,\text{W}$	$76{,}2\,\text{W}$
Velocidad angular	$\omega = 120\pi$	$377\,\text{rad/s}$	$377\,\text{rad/s}$

Diagrama

flowchart LR
  A[Datos del rotor\nN=100 vueltas\nA=1,27×10⁻³ m²\nB=1 T\nI=1,25 A\nf=60 rev/s] --> B[Momento magnético\nμ = NIA = 0,16 A·m²]
  A --> C[Torque máximo\nτ_max = NIBA = 0,16 N·m]
  B --> D[Trabajo por revolución\nW = 4τ_max = 0,635 J]
  C --> E[Pico de potencia\nP_max = τ_max·ω ≈ 60 W]
  D --> F[Potencia media\nP_media = W·f ≈ 38,1 W]
  E --> F

Fórmulas y ecuaciones

$\mu$ = NIA

$\tau_{max}$ = NIBA

$P_{max}$ = $\tau_{max}\omega$

$P_{media}$ = $\dfrac{2}{\pi}$ $P_{max}$ = $\dfrac{W}{T}$

$W_{rev}$ = $4\tau_{max}$

A = $2{,}54\times10^{-2}\$ , $\text{m}@@MATH_0@@^{2}$

$\mu$ = $N\,I\,A$ = $0{,}1588\$ , $\text{A·m}$ $^{2}$

$\tau_{max}$ = $N\,B\,I\,A$ = $0{,}1588\$ , $\text{N·m}$

$\omega$ = $3600\times$ $\frac{2\pi}{60}$ = $377\$ , $\text{rad/s}$

W = $\int_0^{2\pi}\tau_{max}|\sin\theta|\,d\theta$ = $4\tau_{max}$ = $0{,}635\$ , $\text{J}$

$P_{max}$ = $\tau_{max}\,\omega$ = $59{,}8\$ , $\text{W}$

$P_{media}$ = $\frac{2}{\pi}$ $P_{max}$ = $38{,}1\$ , $\text{W}$

E $\propto$ I $\Rightarrow$ I'=2I $\Rightarrow$ E'=2E

Glosario (5)

Momento magnético (μ): Vector que caracteriza la capacidad de una corriente de crear campo magnético; su módulo es μ = N·I·A en A·m².
Momento de torsión (τ): Tendencia de una fuerza a hacer rotar un cuerpo; en una bobina, τ = N·B·I·A·sin θ, en N·m.
Potencia media: Energía total entregada por unidad de tiempo en un ciclo completo; para torque sinusoidal, P_media = (2/π)·P_max.
Radian (rad): Unidad del SI de ángulo; 2π rad equivalen a una vuelta completa.
Velocidad angular (ω): Rapidez de rotación en radianes por segundo; ω = 2π·(n/60) si n está en rev/min.

Preguntas para practicar

¿Qué sucede cuando los valores de corrientes disminuyen en el campo eléctrico?

Al disminuir la corriente, el campo eléctrico disminuye en la misma proporción, porque E es directamente proporcional a I (E = k·I). Si I se reduce a la mitad, E también se reduce a la mitad, manteniendo la misma distribución espacial del campo.

Si en la prueba se pudieran añadir 100 vueltas más de alambre, ¿qué sucedería con el resto de parámetros?

Todos los parámetros (momento magnético, torque máximo, trabajo por revolución, pico de potencia y potencia media) aumentarían exactamente al doble, ya que son directamente proporcionales al número de vueltas N (μ = NIA, τ = NIBA, W = 4NIBA, P = NIBAω).

Temas y conceptos clave

Campos magnéticos en bobinas y rotoresParámetros de un motor eléctrico: torque, trabajo y potenciaProporcionalidad entre corriente y campo eléctricoMomento magnético ($\mu = NIA$)Torque máximo ($\tau_{max} = NIBA$)Trabajo por revolución ($W = 4\tau_{max}$)Potencia pico ($P_{max} = \tau_{max}\omega$)Potencia media ($P_{media} = \frac{2}{\pi}P_{max}$)Relación $E \propto I$

Fuentes y referencias

Texto de Física, Bachillerato General Unificado, Ecuador, 2024, página 152/153.

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📌 Antes de leer esto

• Unidades del SI y conversión de cm² a m²
• Definición de radianes y velocidad angular
• Fórmulas del torque magnético y el momento magnético
• Ley de proporcionalidad directa

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b) Si los valores de corrientes aumentan al doble, establezco la magnitud del campo eléctrico.

XY y c) Si los valores de corrientes disminuyen a la mitad, determino la magnitud del campo eléctrico. 8 y

\ )

d) Indico y respondo ¿qué sucede cuando los valores de corrientes disminuyen en el campo eléctrico?

7.Leo el siguiente planteamiento y realizo las actividades a continuación:

Una empresa de la capital, encargada de proveer compresores eléctricos de alta presión a petroleras, analiza el comportamiento de un nuevo rotor. Para esto es necesario analizar parámetros como el momento de torsión máximo, la intensidad del campo magnético, el trabajo realizado por el rotor para una revolución, el pico de potencia del roto, y la potencia media del rotor. De un modelo a escala del rotor, puesto en marcha y a prueba, se obtienen los siguientes resultados.

e Si el rotor es una bobina rectangular plana con 100 vueltas de alambre y de dimensiones de 2,54 cm x 5 cm, y del escáner se sabe que gira a B=1T.

e Cuando el plano del rotor es perpendicular a la dirección del campo magnético lleva una corriente de 1,25 A. En esta orientación, el momento magnético del rotor está en dirección opuesta al campo magnético.

a) Calculo todos los parámetros antes mencionados para poder estimar el comportamiento del rotor.

b) Si en la prueba se pudieran añadir 100 vueltas más de alambre, qué sucedería con el resto de parámetros. Explico mi respuesta.

e Despúes el rotor gira media revolución. Este proceso se repite haciendo que gire de manera estable a 3600 rev/min.

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