Ejercicio 168
Problema continuado (los datos de la figura —longitud d de la rampa, altura h del punto más alto, masa m del vagón y radio r del rizo— están en la página anterior). Se conoce: fuerza del motor F = 1\,000\ \text{N}, velocidad constante v = 5\ \text{m/s}.
Parte 168.a
— Trabajo realizado por la fuerza
- El trabajo de una fuerza constante que actúa a lo largo del desplazamiento es W = F \cdot d \cdot \cos\theta.
- Como la fuerza del motor empuja el vagón en la dirección del movimiento sobre la rampa, \theta = 0^\circ y \cos 0^\circ = 1.
- Sustitución: W = 1\,000\ \text{N} \times d\ \text{m}.
- Si, por ejemplo, d = 40\ \text{m} (dato de la página anterior), entonces W = 1\,000 \times 40 = 40\,000\ \text{J} = 4.0 \times 10^{4}\ \text{J}.
Respuesta
W = F\,d = 1\,000\,d\ \text{J} (con d = longitud total de la rampa; con d = 40\ \text{m}: W = 40\,000\ \text{J}).
Parte 168.b
— Potencia desarrollada por el motor
- Potencia instantánea con fuerza y velocidad paralelas: P = F\,v.
- Sustitución: P = 1\,000\ \text{N} \times 5\ \text{m/s}.
- P = 5\,000\ \text{W}.
- En kilovatios: P = \dfrac{5\,000\ \text{W}}{1\,000} = 5\ \text{kW}.
- Verificación dimensional: [\text{N}]\cdot[\text{m/s}] = \text{J/s} = \text{W} ✔.
Respuesta
P = F\,v = 5\,000\ \text{W} = 5\ \text{kW}.
Parte 168.c
— Energía mecánica en el punto más alto y velocidad máxima
- En el punto más alto el vagón tiene energía cinética y energía potencial gravitatoria: E_{m} = E_{c} + E_{p} = \frac{1}{2}mv^{2} + mgh = \frac{1}{2}m(5)^{2} + mgh E_{m} = 12.5\,m + mgh \quad (\text{con } m \text{ en kg y } h \text{ en m})
- Como el ascenso es a velocidad constante, E_{c} se mantiene en \tfrac{1}{2}mv^{2} a lo largo de toda la rampa (si hay fricción, el trabajo de la fuerza lo compensa).
- Por el principio de conservación de la energía (sistema aislado, sin pérdidas): la energía mecánica total es constante, E_{m} = \text{cte} = E_{c} + E_{p}.
- La velocidad es máxima cuando la energía potencial es mínima, es decir, en el punto más bajo de la pista (la base de la rampa / la entrada al rizo): E_{m} = \frac{1}{2}mv_{max}^{2} + 0 \quad \Rightarrow \quad v_{max} = \sqrt{\frac{2E_{m}}{m}}
- Si E_{m} = 40\,000\ \text{J} y m = 200\ \text{kg} (valores ilustrativos de la figura anterior): v_{max} = \sqrt{\frac{2(40\,000)}{200}} = \sqrt{400} = 20\ \text{m/s}.
Respuesta
E_{m} = \frac{1}{2}mv^{2} + mgh (constante). La velocidad máxima se alcanza en el punto más bajo de la pista: v_{max} = \sqrt{2E_{m}/m}.
Parte 168.d
— Energía cinética y potencial en lo alto del rizo
- Llamemos h_{r} la altura del centro del rizo sobre la base. La energía potencial en lo alto es E_{p} = mgh_{r}.
- La energía mecánica total se conserva: E_{m} = E_{c} + E_{p}, de donde E_{c} = E_{m} - mgh_{r}
- La velocidad en ese punto se obtiene de E_{c} = \tfrac{1}{2}mv^{2}: v_{r} = \sqrt{\frac{2\left(E_{m} - mgh_{r}\right)}{m}} = \sqrt{v_{max}^{2} - 2gh_{r}}
- Con valores ilustrativos (E_{m} = 40\,000\ \text{J}, m = 200\ \text{kg}, h_{r} = 12\ \text{m}): E_{p} = 200(9.8)(12) = 23\,520\ \text{J}; E_{c} = 40\,000 - 23\,520 = 16\,480\ \text{J}; v_{r} = \sqrt{\frac{2(16\,480)}{200}} = \sqrt{164.8} \approx 12.8\ \text{m/s}.
Respuesta
E_{p} = mgh_{r}, E_{c} = E_{m} - mgh_{r} y v_{r} = \sqrt{2(E_{m}-mgh_{r})/m}.
Parte 168.e
— Velocidad al entrar y al abandonar el rizo
- Al entrar al rizo: el vagón se encuentra en la base, en el punto de mínima altura, por lo que toda la energía mecánica es cinética: v_{entrada} = v_{max} = \sqrt{2E_{m}/m} (máxima velocidad de la pista).
- Al abandonar el rizo: el rizo cierra en el mismo punto de entrada (misma altura h = 0), y como E_{m} se conserva, se tiene de nuevo E_{p} = 0 y E_{c} = E_{m}.
- Por lo tanto v_{salida} = v_{entrada} = v_{max}.
- Con los valores ilustrativos: v_{entrada} = v_{salida} = 20\ \text{m/s}. (Si el rizo devolviera el vagón a una altura h' mayor que la base, v_{salida} = \sqrt{2(E_{m}-mgh')/m} < v_{entrada}.)
Respuesta
v_{entrada} = v_{salida} = v_{max} = \sqrt{2E_{m}/m}, la mayor velocidad del recorrido, alcanzada en la base del rizo.
