Una grúa levanta un contenedor a una altura de h = 1 \, \text{m}. La masa del contenedor m y el tiempo t de elevación no aparecen en la figura de la página (se tomaron de datos previos del libro); la resolución se hace de forma general y con un ejemplo numérico ilustrativo: m = 1\,000 \, \text{kg} y t = 10 \, \text{s}, con g = 9{,}8 \, \text{m/s}^{2}.
Determino el trabajo realizado por la grúa para levantar el contenedor.
- El trabajo que realiza una fuerza constante es W = F \cdot d \cdot \cos\theta.
- La grúa debe vencer el peso del contenedor, de modo que F = P_{\text{peso}} = m \cdot g.
- La fuerza y el desplazamiento son paralelos y en el mismo sentido: \theta = 0^{\circ}, así que \cos 0^{\circ} = 1.
- El desplazamiento es la altura vertical: d = h = 1 \, \text{m}.
- Sustituyo: W = (m \cdot g) \cdot h \cdot \cos 0^{\circ} = m \cdot g \cdot h.
- Con los valores de ejemplo: W = 1\,000 \, \text{kg} \times 9{,}8 \, \text{m/s}^{2} \times 1 \, \text{m} = 9\,800 \, \text{J} = 9{,}8 \, \text{kJ}.
W = m \cdot g \cdot h = 9\,800 \, \text{J} (para m = 1\,000 \, \text{kg}).
Calculo la potencia necesaria para realizar este movimiento.
- La potencia es el trabajo hecho por unidad de tiempo: P = \dfrac{W}{t}.
- Sustituyo el trabajo del literal a): P = \dfrac{m \cdot g \cdot h}{t}.
- Con los valores de ejemplo (t = 10 \, \text{s}): P = \dfrac{9\,800 \, \text{J}}{10 \, \text{s}} = 980 \, \text{W}.
- Equivalencia útil: 980 \, \text{W} = 0{,}98 \, \text{kW} \approx 1 \, \text{kW}.
P = \dfrac{m g h}{t} = 980 \, \text{W} \approx 1 \, \text{kW}.
Tomo en cuenta que la grúa llega a trasladar hasta 100 contenedores diarios; determino la potencia total desarrollada por la grúa en el día.
- Cada contenedor exige el mismo trabajo: W_{\text{unit}} = m \cdot g \cdot h = 9\,800 \, \text{J}.
- El trabajo total del día para n = 100 contenedores es W_{\text{total}} = n \cdot W_{\text{unit}} = 100 \times 9\,800 \, \text{J} = 980\,000 \, \text{J} = 9{,}8 \times 10^{5} \, \text{J}.
- La potencia total es el trabajo total dividido por el tiempo total del día: P_{\text{total}} = \dfrac{W_{\text{total}}}{T_{\text{día}}}.
- Si la jornada se considera de T_{\text{día}} = 8 \, \text{h} = 8 \times 3\,600 \, \text{s} = 28\,800 \, \text{s}, entonces P_{\text{total}} = \dfrac{980\,000 \, \text{J}}{28\,800 \, \text{s}} \approx 34{,}0 \, \text{W}.
- Verificación de coherencia: la potencia media diaria es mucho menor que la potencia instantánea de elevación (980 \, \text{W}), porque la grúa solo trabaja durante la fracción del día dedicada a izar; el promedio se diluye sobre las 8 horas completas. Si además hubiera m y t del libro, el resultado sería P_{\text{total}} = \dfrac{100 \, m \, g \, h}{T_{\text{día}}}.
W_{\text{total}} = 9{,}8 \times 10^{5} \, \text{J} y P_{\text{total}} \approx 34 \, \text{W} (jornada de 8 h); de forma general P_{\text{total}} = \dfrac{n \, m \, g \, h}{T_{\text{día}}}.
