**8.a.i)** Un átomo de masa 2,25× 10^-26 kg oscila linealmente con frecuencia propia 5,15× 10^14 Hz. ¿Cuál es el valor de un cuanto de energía del oscilador?

E = 3,41× 10^-19 J ≈ 2,13 eV

**8.c.i)** El molibdeno tiene una función trabajo de 4,20 eV. ¿A qué luz corresponde la frecuencia umbral del molibdeno?

f_0 ≈ 1,02× 10^15 Hz (_0 ≈ 294 nm), luz ultravioleta

**8.c.ii)** Calcula la energía de un fotón rojo con = 700 nm.

E_rojo ≈ 1,77 eV = 2,84× 10^-19 J

**8.c.iii)** Calcula la energía de un fotón azul con = 470 nm.

E_azul ≈ 2,64 eV = 4,23× 10^-19 J

Libro de Física 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

234/274

Un átomo en movimiento: cuantos de energía, incertidumbre y efecto fotoeléctrico

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

8.a.i) $E = hf = 3,41\times 10^{-19} \, \text{J} \approx 2,13 \, \text{eV}$ . 8.a.ii) $A \approx 7,6\times 10^{-12} \, \text{m}$ . 8.b.i) Incertidumbre de Heisenberg $\Delta x\,\Delta p \geq \hbar/2$ , con $\Delta p = m\Delta v$ . 8.b.ii) $\Delta x_e \geq 6,3\times 10^{-4} \, \text{m}$ ; $\Delta x_c \geq 3,5\times 10^{-31} \, \text{m}$ . 8.c.i) $f_0 \approx 1,02\times 10^{15} \, \text{Hz}$ , luz ultravioleta. 8.c.ii) $1,77 \, \text{eV}$ . 8.c.iii) $2,64 \, \text{eV}$ . 8.c.iv) $V_0 \approx 2,70 \, \text{V}$ .

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Solución — Página 234

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 8

a.i

Un átomo de masa $m = 2,25\times 10^{-26} \, \text{kg}$ oscila linealmente con frecuencia propia $f = 5,15\times 10^{14} \, \text{Hz}$ . Se pide el cuanto de energía del oscilador.

Un oscilador cuántico solo puede tener energías $E_n = n\,hf$ , con $n = 0, 1, 2, \dots$
El cuanto mínimo de energía (salto entre niveles consecutivos) es $\Delta E = hf$ .
Sustituyo con $h = 6,626\times 10^{-34} \, \text{J·s}$ : $\Delta E = (6,626\times 10^{-34})(5,15\times 10^{14}) = 34,12\times 10^{-20} \, \text{J}$
Paso a electronvoltios ( $1 \, \text{eV} = 1,602\times 10^{-19} \, \text{J}$ ): $\Delta E = \frac{3,412\times 10^{-19}}{1,602\times 10^{-19}} \approx 2,13 \, \text{eV}$

Respuesta

$\Delta E = hf = 3,41\times 10^{-19} \, \text{J} \approx 2,13 \, \text{eV}$ .

Ejercicio 8

a.ii

¿Cuál es la amplitud máxima del oscilador cuando posee 20 cuantos de energía?

Energía total del estado: $E = 20\,hf = 20(3,412\times 10^{-19}) = 6,825\times 10^{-18} \, \text{J}$ .
Frecuencia angular: $\omega = 2\pi f = 2\pi(5,15\times 10^{14}) = 3,236\times 10^{15} \, \text{rad/s}$ .
En un oscilador armónico $E = \frac{1}{2}kA^2$ y $k = m\omega^2$ , por lo tanto $E = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$ .
Despejo la amplitud: $A = \sqrt{\dfrac{2E}{m\omega^2}} = \dfrac{1}{\omega}\sqrt{\dfrac{2E}{m}}$ .
Sustituyo: $A = \frac{1}{3,236\times 10^{15}}\sqrt{\frac{2(6,825\times 10^{-18})}{2,25\times 10^{-26}}} = \frac{\sqrt{6,067\times 10^{8}}}{3,236\times 10^{15}}$ $A = \frac{2,463\times 10^{4}}{3,236\times 10^{15}} = 7,61\times 10^{-12} \, \text{m}$

Respuesta

$A \approx 7,6\times 10^{-12} \, \text{m}$ (7,6 picómetros).

Ejercicio 8

b.i

Electrón de masa $m_e = 11,22\times 10^{-31} \, \text{kg}$ y bala de cañón de masa $m_c = 2 \, \text{g} = 2\times 10^{-3} \, \text{kg}$ , ambos a $v = 500 \, \text{m/s}$ con precisión $\frac{\Delta v}{v} = 0,0150\%$ .

Concepto principal: principio de incertidumbre de Heisenberg (posiciones y cantidades de movimiento no se pueden conocer con exactitud simultánea).
Ecuaciones que debo usar:
- $\Delta x \, \Delta p \geq \dfrac{\hbar}{2} = \dfrac{h}{4\pi}$ , con $\hbar = 1,0546\times 10^{-34} \, \text{J·s}$ .
- $p = mv \;\Rightarrow\; \Delta p = m\,\Delta v$ .
- $\Delta v = v\times(0,0150\%) = 500 \times 1,5\times 10^{-4} = 0,075 \, \text{m/s}$ .
- Incertidumbre en posición: $\Delta x \geq \dfrac{\hbar}{2\,\Delta p} = \dfrac{h}{4\pi \, m \, \Delta v}$ .
Concepto complementario: longitud de onda de de Broglie, $\lambda = \dfrac{h}{mv}$ , para justificar el carácter ondulatorio del electrón.

Respuesta

Principio de incertidumbre ( $\Delta x \, \Delta p \geq \hbar/2$ ), relación momento-cantidad de movimiento ( $p = mv$ ), incertidumbre en velocidad ( $\Delta p = m\,\Delta v$ ) y, opcionalmente, la longitud de onda de de Broglie ( $\lambda = h/mv$ ).

Ejercicio 8

b.ii

Electrón: $\Delta p_e = m_e\,\Delta v = (11,22\times 10^{-31})(0,075) = 8,415\times 10^{-32} \, \text{kg·m/s}$ .
$\Delta x_e \geq \dfrac{1,0546\times 10^{-34}}{2(8,415\times 10^{-32})} = \dfrac{1,0546\times 10^{-34}}{1,683\times 10^{-31}} = 6,27\times 10^{-4} \, \text{m}$ .
Bala: $\Delta p_c = m_c\,\Delta v = (2\times 10^{-3})(0,075) = 1,5\times 10^{-4} \, \text{kg·m/s}$ .
$\Delta x_c \geq \dfrac{1,0546\times 10^{-34}}{2(1,5\times 10^{-4})} = 3,52\times 10^{-31} \, \text{m}$ .

Respuesta

$\Delta x_e \geq 6,3\times 10^{-4} \, \text{m}$ (≈0,63 mm) para el electrón y $\Delta x_c \geq 3,5\times 10^{-31} \, \text{m}$ para la bala. La incertidumbre es despreciable en la bala e inaceptablemente grande para el electrón.

Ejercicio 8

c.i

Molibdeno con función trabajo $\varphi = 4,20 \, \text{eV}$ .

Frecuencia umbral: $f_0 = \dfrac{\varphi}{h}$ .
Con $h = 4,136\times 10^{-15} \, \text{eV·s}$ : $f_0 = \frac{4,20}{4,136\times 10^{-15}} = 1,02\times 10^{15} \, \text{Hz}$
Longitud de onda correspondiente: $\lambda_0 = \dfrac{c}{f_0} = \dfrac{3\times 10^{8}}{1,02\times 10^{15}} = 2,94\times 10^{-7} \, \text{m} \approx 294 \, \text{nm}$ .
Una longitud de onda de ≈294 nm está por debajo de los 380 nm, es decir, corresponde a luz ultravioleta.

Respuesta

$f_0 \approx 1,02\times 10^{15} \, \text{Hz}$ , luz ultravioleta ( $\lambda_0 \approx 294 \, \text{nm}$ ).

Ejercicio 8

c.ii

Energía de un fotón rojo de $\lambda = 700 \, \text{nm}$ .

$E = \dfrac{hc}{\lambda}$ con $hc = 1242 \, \text{eV·nm}$ :
$E = \dfrac{1242}{700} = 1,77 \, \text{eV}$ .
En julios: $E = 1,77\times 1,602\times 10^{-19} = 2,84\times 10^{-19} \, \text{J}$ .

Respuesta

$E_{rojo} \approx 1,77 \, \text{eV} = 2,84\times 10^{-19} \, \text{J}$ .

Ejercicio 8

c.iii

Energía de un fotón azul de $\lambda = 470 \, \text{nm}$ .

$E = \dfrac{hc}{\lambda} = \dfrac{1242}{470} = 2,64 \, \text{eV}$ .
En julios: $E = 2,64\times 1,602\times 10^{-19} = 4,23\times 10^{-19} \, \text{J}$ .
Como $2,64 \, \text{eV} < 4,20 \, \text{eV} = \varphi$ , este fotón no puede arrancar electrones del molibdeno.

Respuesta

$E_{azul} \approx 2,64 \, \text{eV} = 4,23\times 10^{-19} \, \text{J}$ .

Ejercicio 8

c.iv

Luz incidente con $\lambda = 180 \, \text{nm}$ . Calcular el potencial de frenado $V_0$ .

Energía del fotón: $E = \dfrac{hc}{\lambda} = \dfrac{1242}{180} = 6,90 \, \text{eV}$ .
Ecuación de Einstein: $E = \varphi + K_{máx}$ , con $K_{máx} = eV_0$ .
Despejo: $V_0 = \dfrac{E - \varphi}{e} = \dfrac{6,90 \, \text{eV} - 4,20 \, \text{eV}}{e}$ .
$V_0 = \dfrac{2,70 \, \text{eV}}{e} = 2,70 \, \text{V}$ .

Respuesta

$V_0 \approx 2,70 \, \text{V}$ .

Contenido de la página

8. Realizo los siguientes ejercicios: UN ÁTOMO EN MOVIMIENTO

a) Si un átomo de masa $2,25\times 10^{-26} \, \text{kg}$ oscila de manera lineal con una frecuencia propia de $5,15\times 10^{14} \, \text{Hz}$ , determino:

i) ¿Cuál es el valor de un cuanto de energía del oscilador?
ii) ¿Cuál es la amplitud máxima que adquiere con 20 cuantos de energía?

b) Si un electrón de masa $m_e = 11,22\times 10^{-31} \, \text{kg}$ y una bala de cañón de masa $m_c = 2 \, \text{g}$ tienen una rapidez igual de $500 \, \text{m/s}$ con una precisión dentro del $0,0150\%$ :

i) ¿Qué conceptos debo manejar para resolver el problema? Señalo y coloco las ecuaciones correspondientes.
ii) ¿En qué límites es posible determinar la posición de los objetos a lo largo de la dirección de la velocidad?

c) El molibdeno tiene una función trabajo de $4,20 \, \text{eV}$ .

i) Indico a qué luz corresponde la frecuencia umbral del molibdeno.
ii) Calculo la energía de un fotón rojo $\lambda = 700 \, \text{nm}$ .
iii) Calculo la energía de un fotón azul $\lambda = 470 \, \text{nm}$ .
iv) Determino, ¿cuál es el potencial de frenado si la luz incidente tiene una longitud de onda de $180 \, \text{nm}$ ?

Pie de página: Texto de Física — 233/234

Ejemplos resueltos

Ejemplo guiado: frecuencia umbral del molibdeno (φ = 4,20 eV).

f₀ = φ/h = 4,20 eV / 4,136×10⁻¹⁵ eV·s = 1,02×10¹⁵ Hz. Longitud de onda: λ₀ = c/f₀ = 3×10⁸ / 1,02×10¹⁵ = 2,94×10⁻⁷ m ≈ 294 nm → luz ultravioleta.

Tablas (2)

Caso	Masa (kg)	Δv (m/s)	Δp (kg·m/s)	Δx mínimo (m)
Electrón	11,22×10⁻³¹	0,075	8,415×10⁻³²	6,27×10⁻⁴
Bala de cañón	2×10⁻³	0,075	1,5×10⁻⁴	3,52×10⁻³¹

Color	λ (nm)	E del fotón (eV)	¿Arranca electrones? (φ = 4,20 eV)
Umbral	294	4,20	Límite exacto
Rojo	700	1,77	No
Azul	470	2,64	No
UV	180	6,90	Sí (V₀ ≈ 2,70 V)

Diagramas (2)

flowchart LR
  A[Incidente E = hc/λ] --> B{¿E > φ?}
  B -- No --> C[No emisión de fotoelectrones]
  B -- Sí --> D[Electrón arrancado con K máx = eV₀]
  D --> E[V₀ = E − φ sobre e]

flowchart TB
  A[Principio de incertidumbre] --> B[Δx Δp ≥ ħ/2]
  C[p = mv] --> D[Δp = m Δv]
  B --> E[Δx ≥ ħ / (2 m Δv)]
  D --> E
  E --> F[Electrón: Δx ≥ 6,3×10⁻⁴ m]
  E --> G[Bala: Δx ≥ 3,5×10⁻³¹ m]

Fórmulas y ecuaciones

E = hf (energía de un cuanto de un oscilador)

E = ½kA² con k = mω² (energía de un oscilador armónico)

Δx Δp ≥ ħ/2 (principio de incertidumbre de Heisenberg)

E = hc/λ (energía de un fotón)

V₀ = (hc/λ − φ)/e (potencial de frenado)

$E_n$ = $n\,hf$

E = $\frac{1}{2}$ $kA^2,\quad$ k = $m\omega^2$

$\Delta$ E = hf = $6,626\times$ $10^{-34}\$ , $\text{J·s}$ $\times$ f

$\omega$ = $2\pi$ f

A = $\frac{1}{\omega}$ $\sqrt{\frac{2E}{m}}$

$\Delta$ $x\,\Delta$ p $\geq$ $\frac{\hbar}{2}$ = $\frac{h}{4\pi}$

$\Delta$ p = $m\,\Delta$ v

$\Delta$ v = $v\left(@@MATH_0@@\right)$ = $0,075\$ , $\text{m/s}$

$\Delta$ x $\geq$ $\frac{\hbar}{2m\,\Delta v}$

$\lambda_{dB}$ = $\frac{h}{mv}$

$f_0$ = $\frac{\varphi}{h}$ $,\qquad$ $\varphi$ = $4,20\$ , $\text{eV}$

E = $\frac{hc}{\lambda}$ $,\qquad$ hc = $1242\$ , $\text{eV·nm}$

$eV_0$ = $\frac{hc}{\lambda}$ - $\varphi$

Glosario (6)

Cuantos de energía: Porciones discretas de energía mínimas que un oscilador puede poseer, dadas por E = n·hf.
Función trabajo (φ): Energía mínima necesaria para arrancar un electrón de la superficie de un metal, expresada en eV.
Frecuencia umbral (f₀): Frecuencia mínima de la luz que hace posible el efecto fotoeléctrico: f₀ = φ/h.
Potencial de frenado (V₀): Potencial negativo aplicado que detiene a los fotoelectrones, igual a (E − φ)/e.
Principio de incertidumbre: Limitación fundamental según la cual Δx Δp ≥ ħ/2: no pueden conocerse con exactitud simultánea posición y momento.
Luz ultravioleta: Radiación con longitudes de onda entre aproximadamente 10 y 380 nm.

Preguntas para practicar

¿Qué conceptos debo manejar para resolver el problema del electrón y la bala, y cuáles son sus ecuaciones?

Se debe usar el principio de incertidumbre de Heisenberg (Δx Δp ≥ ħ/2), la relación entre momento y rapidez (p = mv, por lo que Δp = mΔv) y, opcionalmente, la longitud de onda de de Broglie (λ = h/mv). La incertidumbre en la posición se limita por Δx ≥ ħ/(2mΔv).

¿Por qué la incertidumbre en la posición es irrelevante para la bala de cañón y crítica para el electrón?

La incertidumbre es inversamente proporcional a la masa (Δx ≥ ħ/(2mΔv)): para la bala es del orden de 10⁻³¹ m, despreciable frente a cualquier medida, mientras que para el electrón es de 10⁻⁴ m, enorme comparada con dimensiones atómicas. Por eso los efectos cuánticos solo se manifiestan en el mundo microscópico.

Temas y conceptos clave

Física modernaCuantización de la energíaPrincipio de incertidumbreEfecto fotoeléctricoEnergía del cuanto de un oscilador: E = hfEnergía de un oscilador armónico: E = ½kA², con k = mω²Principio de incertidumbre de Heisenberg: Δx Δp ≥ ħ/2Incertidumbre en la cantidad de movimiento: Δp = mΔvFrecuencia umbral: f₀ = φ/hEnergía del fotón: E = hc/λEcuación de Einstein: eV₀ = hc/λ − φ

Fuentes y referencias

Texto de Física (BGU 1, Ecuador, 2024), pág. 233-234
Constantes físicas: h = 6,626×10⁻³⁴ J·s, ħ = 1,0546×10⁻³⁴ J·s, hc = 1242 eV·nm

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el cuanto de energía de un oscilador armónico cuántico?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué dice el principio de incertidumbre de Heisenberg sobre posición y momento?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se determina la frecuencia umbral y el potencial de frenado en el efecto fotoeléctrico?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Constante de Planck h y hbar y su significado
• Energía de un fotón E = hc/lambda
• Relación masa-momento p = mv
• Unidades eV y su conversión a julios
• Ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico

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Modelo de Bohr y espectros del átomo de hidrógeno: niveles de energía, transiciones y series espectrales

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Realizo los siguientes ejercicios:

UN ÁTOMO EN MOVIMIENTO

a) Si un átomo de masa 2,25x10 Kg oscila de manera lineal con una frecuencia propia de 5,15x10 Hz, determino:

i) ¿Cuál es el valor de un cuanto de energía del oscilador?

b) Si un electrón de masa m, = 11,22x 19°31 Kg y una bala de cañón de masa m, = 2g tienen una rapidez igual de 500 m/s con una precisión dentro del 0.0150%.

i) ¿Qué conceptos debo manejar para resolver el problema? Señalo y coloco las ecuaciones correspondientes

( >

ii) ¿En qué límites es posible determinar la posición de los objetos a lo largo de la dirección de la velocidad? ( >

c) El molibdeno tiene una función trabajo de 4,20 eV.

i) Indico a qué luz corresponde La frecuencia umbral del molibdeno. ?

X y iv) Determino, ¿cuál es el potencial de frenado si la luz incidente tiene una longitud de onda de 180 nm?

( y

Texto de Física (233

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