a) Investigo en qu00e9 consiste el proceso de radiaci00f3n con grafito, lo relaciono con la radiaci00f3n de cuerpos negros.) La temperatura a la que se encuentran los electr00f3nes cuando aumentan su velocidad es la misma. Argumento o refuto.) 00bfEl intercambio de energ00eda de los electr00f3nes se puede analizar mediante la conservaci00f3n de la energ00eda?

5.a radiaci\'on t\'ermica como cuerpo negro; 5.b refuto; 5.c s\'i

Argumento o refuto mediante el principio de incertidumbre: un electr00f3n confinado en un n00facleo de 2×10^-15 m debe desplazarse de manera relativista, mientras que un prot00f3n en el mismo n00facleo podr00eda desplazarse de manera no relativista.

Argumento: v_e≈2,9×10^10 m/s>c; v_p≈1,6×10^7 m/s c

Libro de Física 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

233/274

Radiación de cuerpos negros y principio de incertidumbre de Heisenberg

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 233

233 de 274

Anterior Página 233 / 274 Siguiente

Respuesta rápida

5.a El grafito emite radiación térmica casi idéntica a la de un cuerpo negro (ley de Planck y Wien). 5.b Se refuta: al aumentar la rapidez sube la energía cinética y por tanto la temperatura. 5.c Sí, se aplica la conservación de la energía ( $h\nu+E_{k,i}=E_{k,f}$ +pérdidas). 6.a $\Delta v_{min}=0{,}25\ \text{m/s}$ . 6.b $\Delta x\geq1{,}125\ \text{m}$ . 7 Se argumenta: $v_e\approx2{,}9\times10^{10}\ \text{m/s}>c$ (relativista) y $v_p\approx1{,}6\times10^{7}\ \text{m/s}\ll c$ (no relativista).

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 233

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 5

(continuación de una noticia previa: radiación con grafito)

Parte 5.a

Investigo en qué consiste el proceso de radiación con grafito y lo relaciono con la radiación de cuerpos negros.

El grafito, al calentarse, emite radiación térmica: la energía interna de sus átomos se transforma en ondas electromagnéticas (infrarrojos, visibles y ultravioleta).
El grafito tiene una emisividad cercana a $\varepsilon \approx 0{,}97$ , es decir, irradia casi como un cuerpo negro ideal.
La ley de Planck describe esa distribución espectral: $E(\lambda,T)=\frac{2\pi hc^{2}}{\lambda^{5}}\cdot\frac{1}{e^{hc/(\lambda k_{B}T)}-1}$
Al calentar el grafito cambia el color (naranja $\u2192$ blanco) porque la temperatura determina la longitud de onda dominante, según la ley de Wien: $\lambda_{m\acute{a}x}T=b\approx 2{,}898\times10^{-3}\;\text{m}\cdot\text{K}$ .

Respuesta

El grafito calentado emite radiación térmica y, por su alta emisividad, su espectro se aproxima al de un cuerpo negro: $E(\lambda,T)$ de Planck y desplazamiento de Wien describen bien lo observado.

Parte 5.b

¿Argumento o refuto? "La temperatura a la que se encuentran los electrones cuando aumentan su velocidad es la misma."

La temperatura $T$ de un sistema es una medida de la energía cinética media de sus partículas: $\langle E_k\rangle=\frac{3}{2}k_{B}T$ .
Si la rapidez de los electrones aumenta, su energía cinética $E_k=\frac{1}{2}m_{e}v^{2}$ aumenta.
Como $\langle E_k\rangle$ sube, $T$ también debe subir.

Respuesta

Refuto** la afirmación: si los electrones aumentan su rapidez, aumenta su energía cinética media y, por lo tanto, la temperatura del electrón-gas no se mantiene constante.

Parte 5.c

¿El intercambio de energía de los electrones puede analizarse mediante la conservación de la energía?

En toda interacción electrón–radiación (absorción o emisión de fotones) se cumple $E_{i}=E_{f}\quad\Rightarrow\quad h\nu+E_{k,i}=E_{k,f}\ (\text{absorci}\acute{\text{o}}\text{n}).$
La energía del fotón absorbido se reparte: parte va a la energía cinética del electrón y parte se disipa en el material (Joule, fonones).
En ningún momento se crea ni se destruye energía: el balance energético total se cumple.

Respuesta

Sí**, el intercambio puede analizarse con la conservación de la energía: la energía del fotón incidente iguala la energía cinética ganada por el electrón más las pérdidas internas del sistema.

Ejercicio 6

Súper-héroe en un mundo con $h=2\pi\ \text{J}\cdot\text{s}$

Datos: $m=2\ \text{kg}$ , ancho del lago $\Delta x=1\ \text{m}$ , $h=2\pi\ \text{J}\cdot\text{s}$ .

Constante reducida: $\hbar=\dfrac{h}{2\pi}=\dfrac{2\pi}{2\pi}=1\ \text{J}\cdot\text{s}$ .
Principio de incertidumbre de Heisenberg: $\Delta x\,\Delta p\geq\frac{\hbar}{2}.$

Parte 6.a

Incertidumbre mínima en la componente de la velocidad paralela al ancho

Incertidumbre mínima en posición: $\Delta x=1\ \text{m}$ .
Incertidumbre mínima en momento: $\Delta p_{m\acute{i}n}=\dfrac{\hbar}{2\Delta x}=\dfrac{1\ \text{J}\cdot\text{s}}{2\times 1\ \text{m}}=0{,}5\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .
Como $\Delta p=m\,\Delta v$ : $\Delta v=\dfrac{\Delta p}{m}=\dfrac{0{,}5}{2}=0{,}25\ \text{m/s}$ .

Respuesta

$\Delta v_{m\acute{i}n}=0{,}25\ \text{m/s}$ .

Parte 6.b

Incertidumbre en la posición después de $t=4{,}5\ \text{s}$

Relación incertidumbre posici–velocidad: $\Delta x\geq\Delta v\,\Delta t$ .
Sustitución: $\Delta x\geq 0{,}25\ \text{m/s}\times 4{,}5\ \text{s}=1{,}125\ \text{m}$ .
Comprobación: $\Delta p\,\Delta t=0{,}5\ \text{kg}\cdot\text{m/s}\times 4{,}5\ \text{s}=2{,}25\ \text{kg}\cdot\text{m}=m\,\Delta x$ ; luego $\Delta x=\frac{2{,}25}{2}=1{,}125\ \text{m}$ (resultado equivalente).

Respuesta

$\Delta x\approx1{,}13\ \text{m}$ (incertidumbre mínima en la posición del súper-héroe).

Ejercicio 7

Argumento o refuto mediante el principio de incertidumbre

Datos: $d=2\times10^{-15}\ \text{m}$ , $\hbar=1{,}055\times10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ , $m_e=9{,}11\times10^{-31}\ \text{kg}$ , $m_p=1{,}67\times10^{-27}\ \text{kg}$ .

Incertidumbre mínima en momento dentro del núcleo: $\Delta p\geq\frac{\hbar}{2\Delta x}=\frac{1{,}055\times10^{-34}}{2\times2\times10^{-15}}=2{,}64\times10^{-20}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}.$
Electrón: $v\geq\dfrac{\Delta p}{m_e}=\dfrac{2{,}64\times10^{-20}}{9{,}11\times10^{-31}}\approx2{,}9\times10^{10}\ \text{m/s}$ , que es mayor que $c=3\times10^{8}\ \text{m/s}$ ( $\approx 0{,}97c$ ): su tratamiento debe ser relativista.
Protón: $v\geq\dfrac{\Delta p}{m_p}=\dfrac{2{,}64\times10^{-20}}{1{,}67\times10^{-27}}\approx1{,}6\times10^{7}\ \text{m/s}$ , que es muchísimo menor que $c$ ( $\approx 0{,}05c$ ): su tratamiento puede ser no relativista.
La diferencia se debe a la masa: para la misma incertidumbre en momento, la partícula más ligera adquiere la rapidez más alta.

Respuesta

Argumento** la afirmación: un electrón confinado en un núcleo debe moverse a velocidades relativistas, mientras que un protón, mucho más masivo, puede desplazarse de forma no relativista.

Contenido de la página

Página 233 — Texto de Física (BGU 1°)

Continuación de la noticia sobre radiación con grafito (fuente: Serway, 2008)

a) Investigo en qué consiste el proceso de radiación con grafito, lo relaciono con la radiación de cuerpos negros.

b) La temperatura a la que se encuentran los electrónes cuando aumentan su velocidad es la misma. Argumento o refuto la afirmación propuesta.

c) ¿El intercambio de energía de los electrónes mencionado en la noticia se puede analizar mediante la conservación de la energía?

6. Supongo que un súper-héroe vive en un mundo en donde $h=2\pi\ \text{J}\cdot\text{s}$ . Este tiene una masa de $2\ \text{kg}$ y en un principio se sabe que está en un lago que tiene un ancho teórico de $1\ \text{metro}$ . Con base en esta información, determino lo siguiente:

a) ¿Cuál es la incertidumbre mínima en la componente de esta velocidad que es paralela al ancho del estanque?

b) Si asumo que se mantiene la incertidumbre en la rapidez durante un lapso de tiempo de $4{,}5$ segundos, establezco la incertidumbre del súper-héroe en esa posición, después de ese intervalo.

7. Argumento o refuto, mediante el principio de incertidumbre, la siguiente afirmación.

Si un electrón estuviera confinado en el interior de un núcleo atómico de $2\times10^{-15}\ \text{m}$ de diámetro, tendría que estar con un desplazamiento en un campo de estudio relativista, en tanto que un protón confinado en el mismo núcleo podría desplazarse de manera no relativista.

Fuente: (Serway, 2008).

Ejemplos resueltos

Un cuerpo negro $est\u00e1$ a 5778 K. $\u00bfA$ $qu\u00e9$ longitud de onda se emite la mayor cantidad de $energ\u00eda$ ?

Aplico la ley de Wien: $\lambda_{m\acute{a}x}=\dfrac{b}{T}=\dfrac{2{,}898\times10^{-3}}{5778}=5{,}02\times10^{-7}\ \text{m}=502\ \text{nm}$ (luz verde-amarilla).

Tablas (2)

| $Part\u00edcula$ | Masa (kg) | $\Delta$ p $(kg\u00b7m/s)$ | v $m\u00ednima$ (m/s) | v/c | Tratamiento $|\n|---|---|---|---|---|---|\n|$ $Electr\u00f3n$ | $9,11\times10^{-31}$ | $2,64\times10^{-20}$ | $2,9\times10^{10}$ | $\u22480,97$ | Relativista $|\n|$ $Prot\u00f3n$ | $1,67\times10^{-27}$ | $2,64\times10^{-20}$ | $1,6\times10^{7}$ | $\u22480,05$ | No relativista |

| $S\u00faper-h\u00e9roe$ | Valor $|\n|---|---|\n|$ h | $2\pi\$ $\text{J}@@MATH_0@@\text{s}$ $|\n|$ $\hbar=h/(2\pi)$ | 1\ $\text{J}@@MATH_1@@\text{s}$ $|\n|$ m | 2\ $\text{kg}$ $|\n|$ $\Delta$ x | 1\ $\text{m}$ $|\n|$ $\Delta$ $p_min$ | 0{,}5\ $\text{kg}@@MATH_2@@\text{m/s}$ $|\n|$ $\Delta$ $v_min$ | 0{,}25\ $\text{m/s}$ $|\n|$ $\Delta$ x tras 4,5 s | $\geq1{,}125\$ $\text{m}$ |

Diagrama

flowchart LR\n  A[Calentar grafito] --> B[Radiaci\u00f3n t\u00e9rmica]\n  B --> C{Especie m\u00e1xima \u03bb}\n  C -->|ley de Wien| D[\u03bb_max T = b]\n  B --> E[Distribuci\u00f3n espectral]\n  E -->|ley de Planck| F[E(\lambda,T)]\n  F --> G[Cuerpo negro te\u00f3rico]

Fórmulas y ecuaciones

$\Delta$ $x\,\Delta$ $p\geq$ $\dfrac{\hbar}{2}$

$\Delta$ $v_{min}=$ $\dfrac{\hbar}{2m\Delta x}$

$\lambda_{max}T=b$

$E(\lambda,T)=@@MATH_0@@\cdot$ $\frac{1}{e^{hc/(\lambda k_{B}T)}-1}$

$\lambda_{m@@MATH_0@@x}T=b=2{,}898\times10^{-3}\$ $\text{m}@@MATH_1@@\text{K}$

$\Delta$ $x\,\Delta$ $p\geq@@MATH_0@@,\qquad$ $\hbar=$ $\frac{h}{2\pi}$

$\Delta$ v= $\frac{\Delta p}{m}$ = $\frac{\hbar}{2m\Delta x}$

$\Delta$ $x\geq\Delta$ $v\,\Delta$ t

$v\geq$ $\frac{\hbar}{2m\Delta x}$

$h\nu+E_{k,i}=E_{k,f}+$ $\text{p\'erdidas}$

Glosario (5)

Cuerpo negro: Cuerpo teórico que absorbe toda la radiación incidente y emite el máximo posible para su temperatura.
Emisividad: Razón entre la radiación emitida por un cuerpo y la emitida por un cuerpo negro a la misma temperatura; el grafito tiene \u03b5≈0,97.
Principio de incertidumbre: Principio de Heisenberg que establece que \u0394x\u0394p\u2265\u210f/2: no se pueden conocer simultáneamente con precisión arbitraria la posición y el momento de una partícula.
Constante reducida: \u210f=h/(2\u03c0); aparece en el principio de incertidumbre \u0394x\u0394p\u2265\u210f/2.
Ley de Wien: \u03bb\u2098\u2090\u2093 T = b = 2,898\u00d710\u207b³ \u00b3 m·K: la longitud de onda de mayor intensidad depende de la temperatura.

Preguntas para practicar

\u00bfPor qu\u00e9 el grafito se usa en experimentos de radiaci\u00f3n si no es un cuerpo negro perfecto?

Porque su emisividad (\u22480,97) es muy alta y constante, de modo que sus espectros se ajustan con excelente precisi\u00f3n a las leyes de Planck y de Wien, lo que lo convierte en un material patr\u00f3n para calibrar pir\u00f3metros \u00f3pticos.

\u00bfQu\u00e9 ocurre con la incertidumbre de posici\u00f3n si el s\u00faper-h\u00e9roe tuviera una masa mucho mayor?

Como \Delta v = \hbar/(2m\Delta x), al aumentar m la incertidumbre en velocidad disminuye y, por consiguiente, la incertidumbre en la posici\u00f3n \Delta x \geq \Delta v \Delta t tambi\u00e9n disminuye.

Temas y conceptos clave

Radiación térmica del grafito y cuerpos negrosLey de Planck y ley de WienPrincipio de incertidumbre de HeisenbergIncertidumbre en velocidad y posiciónAnálisis relativista de partículas confinadascuerpo negroemisividadradiación térmicaenergía cinética mediaconstante reducida \u210fincertidumbre en momentovelocidad relativista

Fuentes y referencias

Serway, R. A. (2008). F\u00edsica para ciencias e ingenier\u00eda (7\u00aa ed.). Cengage Learning.

¿Te fue útil esta página?

Preguntas que la gente también hace

¿Qué establece el principio de incertidumbre de Heisenberg?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se relaciona la radiación térmica con los cuerpos negros?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué un electrón confinado en el núcleo debe tratarse relativistamente?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Ley de Planck para la distribución de energía espectral
• Ley de desplazamiento de Wien
• Concepto de temperatura como energía cinética media
• Principio de incertidumbre \u0394x\u0394p≥\u210f/2
• Notación de relatividad especial y comparación con c

Siguiente tema sugerido

Dualidad onda–partícula y experimento de doble rendija (Serway, cap. 28–30)

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1326 caracteres

a) Investigo en qué consiste el proceso de radiación con grafito, lo relaciono con la radiación de cuerpos negros.

b) La temperatura a la que se encuentran los electrones cuando aumentan su velocidad es la misma. Argumento o refuto la afirmación propuesta.

c) ¿El intercambio de energía de los electrones mencionado en la noticia se puede analizar mediante la conservación de la energía?

Supongo que un súper héroe vive en un mundo en donde h=2r Js Este tiene una masa de 2 kg y en un principio se sabe que está en un lago que tiene un ancho teórico de 1 metro. Con base en esta información, determino lo siguiente:

a) ¿Cuál es la incertidumbre mínima en la componente de esta velocidad que es paralela el ancho del estanque?

b) Si asumo que se mantiene la incertidumbre en la rapidez durante un lapso de tiempo de 4,5 segundos, establezco la incertidumbre del súper héroe en esa posición, después de ese intervalo.

Argumento o refuto, mediante el principio de incertidumbre, la siguiente afirmación.

Si un electrón estuviera confinado en el interior de un núcleo atómico de 2x10-* de diámetro, tendría que estar con un desplazamiento en un campo de estudio relativista, en tanto que un protón confinado en el mismo núcleo podría desplazarse de manera no relativista.

Fuente: (Serway, 2008).

232 Texto de Física

Páginas cercanas