Considerando (^0^-+e^++_) y (n p+e^-): i) ¿qué no se obedece respecto a la energía? ii) respecto al momento angular? iii) número leptónico electrónico? iv) número leptónico muónico? v) número leptónico tauico? vi) proponer una solución que obedezca las leyes para los leptones.

i) ninguna (se conserva); ii) momento angular; iii) L_e; iv) L_; v) 0 (se conserva); vi) ^0^-+e^++_e+_

Libro de Física 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Actividades sobre leptones: leyes de conservación en decaimientos y espín de partículas

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Respuesta rápida

Ej. 4: ninguna ley de energía se viola ( $K_{tot}=28{,}8\ \text{MeV}$ ); sí se violan el momento angular y $L_e, L_\mu$ ; $L_\tau$ se conserva; solución $\pi^0\to\mu^-+e^++\nu_e+\bar\nu_\mu$ . Ej. 5: solo ii) se cumple ( $2s+1=4$ ).

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Solución — Página 250

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 4

Enunciado: Considerando el decaimiento $(\pi^{0} \rightarrow \mu^{-} + e^{+} + \nu_{\mu})$ y $(n \rightarrow p + e^{-})$ , se indica qué leyes de conservación no se obedecen y se propone una corrección.

Datos: $m_{\pi^{0}} = 135{,}0\ \text{MeV}/c^{2}$ , $m_{\mu^{-}} = 105{,}7\ \text{MeV}/c^{2}$ , $m_{e^{+}} = 0{,}511\ \text{MeV}/c^{2}$ .

Comprobación cinemática: $105{,}7 + 0{,}511 = 106{,}2 < 135{,}0$ , así que el decaimiento es energéticamente permitido.
El decaimiento del neutrón completo es $n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}_{e}$ (el libro omite el antineutrino).

Parte 4.i

— Conservación de la energía

En todo decaimiento se cumple $m_{A}c^{2} = \sum m_{i}c^{2} + \sum K_{i}$ .
Sustitución: $135{,}0 = 105{,}7 + 0{,}511 + K_{\mu} + K_{e^{+}} + K_{\nu}$ .
Energía cinética disponible: $K_{\text{tot}} = 135{,}0 - 106{,}2 = 28{,}8\ \text{MeV}$ , repartida entre las tres partículas producto.

Respuesta

No se obedece ninguna ley con respecto a la energía: ésta siempre se conserva en los decaimientos; el resto cinético de $28{,}8\ \text{MeV}$ la garantiza.

Ejercicio 4

ii — Cantidad de movimiento angular (espín total)

$J_{\pi^{0}} = 0$ (mesón pseudoscalar).
Los productos son tres partículas con $s = \tfrac{1}{2}$ ; el acoplamiento da $\tfrac{1}{2} \otimes \tfrac{1}{2} \otimes \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2} \oplus \tfrac{1}{2} \oplus \tfrac{3}{2},$ que nunca contiene $J = 0$ .
Aunque se añada momento orbital $L$ , $J = 0$ exige $S = 0$ , imposible para tres espines $\tfrac{1}{2}$ .

Respuesta

No se obedece la conservación del momento angular total: $0 \neq \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{2}$ . El decaimiento tal como está escrito está prohibido por el espín.

Ejercicio 4

iii — Número leptónico electrónico $L_{e}$

Estado inicial: $L_{e} = 0$ .
Estado final: $e^{+}$ es la antipartícula del electrón, $L_{e} = -1$ ; $\mu^{-}$ y $\nu_{\mu}$ tienen $L_{e} = 0$ .
$\Delta L_{e} = -1 - 0 = -1 \neq 0$ .

Respuesta

No se obedece: el número leptónico electrónico no se conserva.

Ejercicio 4

iv — Número leptónico muónico $L_{\mu}$

Estado inicial: $L_{\mu} = 0$ .
Estado final: $\mu^{-} \Rightarrow L_{\mu} = +1$ y $\nu_{\mu} \Rightarrow L_{\mu} = +1$ , total $+2$ .
$\Delta L_{\mu} = 2 - 0 = 2 \neq 0$ .

Respuesta: No se obedece: el número leptónico muónico no se conserva (se generan dos unidades sin contrapartida).

Parte 4.v

— Número leptónico tauónico $L_{\tau}$

Estado inicial: $L_{\tau} = 0$ .
Estado final: ninguna partícula ( $\mu^{-}, e^{+}, \nu_{\mu}$ ) tiene número tauónico: $L_{\tau} = 0$ .

Respuesta

No se viola ninguna ley respecto a $L_{\tau}$ : éste se conserva ( $0 = 0$ ).

Ejercicio 4

vi — Solución propuesta para obedecer las leyes

Se debe conservar la carga: $Q = 0$ ; el $\mu^{-}$ (que se conserva en el enunciado) exige una partícula de carga $+1$ .
Se debe conservar $L_{\mu}$ : si hay $\mu^{-}$ ( $+1$ ), se necesita un $\bar{\nu}_{\mu}$ ( $-1$ ).
Se debe conservar $L_{e}$ : si hay $e^{+}$ ( $-1$ ), se necesita un $\nu_{e}$ ( $+1$ ).

Solución propuesta: $\pi^{0} \rightarrow \mu^{-} + e^{+} + \nu_{e} + \bar{\nu}_{\mu}$

Verificación:

Carga: $(-1) + (+1) + 0 + 0 = 0$ ✓
$L_{e}$ : $0 + (-1) + (+1) + 0 = 0$ ✓
$L_{\mu}$ : $0 + (+1) + 0 + (-1) = 0$ ✓
$L_{\tau}$ : $0$ ✓
Espín: cuatro partículas de $s = \tfrac{1}{2}$ pueden acoplarse a $J = 0$ (dos pares en estado singlete) ✓

Además, el decaimiento beta del neutrón completo $n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}_{e}$ sí obedece todas las leyes ( $Q: 0 = 1 - 1$ ; $L_{e}: 0 = +1 - 1$ ). En la naturaleza el $\pi^{0}$ decae en dos fotones, $\pi^{0} \rightarrow \gamma + \gamma$ .

Ejercicio 5

Enunciado: Argumentar si se cumple o no cada afirmación para el barión $\Omega^{-}$ , de espín $s = \tfrac{3}{2}$ .

El espín define $2s + 1$ estados posibles: $2\left(\tfrac{3}{2}\right) + 1 = 4$ .
Esos estados son $m_{s} = +\tfrac{3}{2}, +\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}, -\tfrac{3}{2}$ .
En un campo magnético el efecto Zeeman separa exactamente esos $2s + 1 = 4$ subniveles.
La carga del $\Omega^{-}$ es $Q = -1e$ (tres quarks $d$ , cada uno con $-\tfrac{1}{3}e$ ) y es independiente del espín: una partícula de $s = \tfrac{1}{2}$ puede tener carga $-1e$ (electrón), $0$ (neutrón) o $+1e$ (protón), por lo que "tres veces la carga" carece de sentido.
La masa del $\Omega^{-}$ es $m_{\Omega^{-}} \approx 1672\ \text{MeV}/c^{2}$ , mientras que $3 \times m_{N} = 3 \times 938{,}3 = 2815\ \text{MeV}/c^{2} \neq 1672\ \text{MeV}/c^{2}$ ; además la masa no depende del espín sino de las masas de los quarks y de la energía del campo de gluones.
Como al menos la afirmación ii) se cumple, la opción v) "Ninguna de las opciones" es falsa.

Respuestas: i) No se cumple (son 4 estados, no 3). ii) Sí se cumple. iii) No se cumple. iv) No se cumple. v) No se cumple.

Respuesta global: Solo la afirmación ii) es correcta: un barión con espín $\tfrac{3}{2}$ presenta cuatro estados de espín posibles.

Contenido de la página

Actividades sobre leptones y espín

4. Resuelvo en una hoja aparte, las siguientes actividades sobre los leptones:

a) Si se considera el decaimiento:

$(\boldsymbol{\pi}^{0}\rightarrow\boldsymbol{\mu}^{-}+\mathrm{e}^{+}+\mathrm{V}_{\mu});\ (\mathrm{n}\rightarrow\mathrm{p}+\mathrm{e}^{-})$

i) Indica ¿qué leyes de conservación no se obedecen en este decaimiento, en cuanto a energía?

ii) Indica ¿qué leyes de conservación no se obedecen en este decaimiento, en cuanto a cantidad de movimiento angular?

iii) Indica ¿qué leyes de conservación no se obedecen en este decaimiento, en cuanto a número leptónico electrónico?

iv) Indica ¿qué leyes de conservación no se obedecen en este decaimiento, en cuanto a número leptónico muón?

v) Indica ¿qué leyes de conservación no se obedecen en este decaimiento, en cuanto a número leptónico tau?

vi) Establezco una posible solución para el decaimiento a fin de obedecer las leyes para los leptones.

5. Resuelvo las siguientes actividades sobre el espín:

a) Con base en la afirmación mostrada anteriormente, argumento si lo siguiente se cumple o no para el barión.

La partícula $\Omega^{-}$ es un barión con espín $3/2$

i) Tres estados posibles de espín en un campo magnético.

ii) Cuatro posibles estados de espín.

iii) Tres veces la carga de una partícula de espín $1/2$ .

iv) Tres veces la masa de una partícula de un espín $1/2$ .

v) Ninguna de las opciones.

(Texto de Física, página 249)

Ejemplos resueltos

Verificar si el decaimiento $\pi^{0}\rightarrow\mu^{-}+e^{+}+\nu_{\mu}$ obedece todas las leyes de conservación.

Carga: $-1+1+0=0$ ✓. $L_{e}$ : $0\rightarrow -1$ ✗. $L_{\mu}$ : $0\rightarrow +1+1=2$ ✗. $L_{\tau}$ : $0\rightarrow 0$ ✓. Espín: $0\rightarrow$ tres $s=\frac{1}{2}$ , imposible obtener $J=0$ ✗. El decaimiento está prohibido.

Cuantos subniveles de espín produce el $\Omega^{-}$ ( $s=\frac{3}{2}$ ) en un campo magnético?

$2s+1=2\left(\frac{3}{2}\right)+1=4$ subniveles, con $m_{s}=\pm\frac{3}{2},\ \pm\frac{1}{2}$ .

Tablas (3)

Partícula	Carga $Q$	$L_e$	$L_\mu$	$L_\tau$	Espín $s$
$\pi^{0}$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$\mu^{-}$	$-1e$	$0$	$+1$	$0$	$\tfrac{1}{2}$
$e^{+}$	$+1e$	$-1$	$0$	$0$	$\tfrac{1}{2}$
$\nu_{\mu}$	$0$	$0$	$+1$	$0$	$\tfrac{1}{2}$
Total final (enunciado)	$0$	$-1$	$+2$	$0$	$\neq 0$
Total final (solución propuesta)	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$ posible

Afirmación	¿Se cumple para $\Omega^{-}$ , $s=\frac{3}{2}$ ?	Razón
i) Tres estados de espín en campo magnético	No	$2s+1=4$ subniveles Zeeman
ii) Cuatro posibles estados de espín	Sí	$2s+1=4$ , con $m_s=\pm\tfrac{3}{2},\ \pm\tfrac{1}{2}$
iii) Tres veces la carga de una partícula de $s=\tfrac{1}{2}$	No	La carga no depende del espín; $Q_{\Omega^-}=-1e$
iv) Tres veces la masa de una partícula de $s=\tfrac{1}{2}$	No	$1672\ \text{MeV}/c^{2}\neq 3(938{,}3)$ ; la masa no depende del espín
v) Ninguna de las opciones	No	La opción ii) sí se cumple

Proceso	$Q$	$L_e$	$L_\mu$	$L_\tau$	$J$	¿Permitido?
$\pi^{0}\to\mu^-+e^++\nu_\mu$	$0$ ✓	$-1$ ✗	$+2$ ✗	$0$ ✓	$\neq 0$ ✗	No
$\pi^{0}\to\mu^-+e^++\nu_e+\bar\nu_\mu$	$0$ ✓	$0$ ✓	$0$ ✓	$0$ ✓	$0$ ✓	Sí
$n\to p+e^-+\bar\nu_e$	$0$ ✓	$0$ ✓	$0$ ✓	$0$ ✓	$\tfrac{1}{2}$ ✓	Sí

Diagramas (2)

flowchart LR
  P[pi0] --> M[mu-]
  P --> E[e+]
  P --> N1[nu_e]
  P --> N2[nu_mu bar]
  P -.->|decaimiento corregido| P

stateDiagram-v2
  [*] --> m32: m_s = +3/2
  [*] --> m12: m_s = +1/2
  [*] --> mm12: m_s = -1/2
  [*] --> mm32: m_s = -3/2
  m32 --> [*]
  m12 --> [*]
  mm12 --> [*]
  mm32 --> [*]

Fórmulas y ecuaciones

Conservación de la energía en decaimientos: $m_Ac^2 = \sum m_ic^2 + \sum K_i$

Número de estados de espín en campo magnético: $2s+1$

Combinación de espines: $\frac{1}{2}\otimes\frac{1}{2}\otimes\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\oplus\frac{1}{2}\oplus\frac{3}{2}$

Conservación del número leptónico por sabor: $\Delta L_e=0$ , $\Delta L_\mu=0$ , $\Delta L_\tau=0$

$m_{A}c^{2}=\sum m_{i}c^{2}+\sum K_{i}$

$L_{e}:\ e^{+}=-1,\ e^{-}=+1,\ \nu_{e}=+1,\ \bar{\nu}_{e}=-1$

$L_{\mu}:\ \mu^{-}=+1,\ \nu_{\mu}=+1,\ \bar{\nu}_{\mu}=-1$

$\tfrac{1}{2}\otimes\tfrac{1}{2}\otimes\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}\oplus\tfrac{1}{2}\oplus\tfrac{3}{2}$

$N_{estados}=2s+1=2\left(\tfrac{3}{2}\right)+1=4$

$m_{s}=+\tfrac{3}{2},\ +\tfrac{1}{2},\ -\tfrac{1}{2},\ -\tfrac{3}{2}$

$\pi^{0}\rightarrow\mu^{-}+e^{+}+\nu_{e}+\bar{\nu}_{\mu}$

$n\rightarrow p+e^{-}+\bar{\nu}_{e}$

Glosario (7)

Leptón: Partícula elemental (electrón, muón, tau y sus neutrinos) que no participa en la interacción fuerte; posee espín 1/2 y número leptónico propio.
Número leptónico: Cuantidad conservada en las interacciones débil y electromagnética: los leptones tienen L = +1, sus antipartículas L = -1 y los hadrones L = 0.
Decaimiento: Transformación espontánea de una partícula inestable en otras más ligeras, respetando carga, energía, momento y números cuánticos.
Espín: Momento angular intrínseco de una partícula, con valores s = 0, 1/2, 1, 3/2, ...; un espín s tiene 2s+1 estados de proyección ms.
Estado de espín (subnivel Zeeman): Cada uno de los 2s+1 valores de la proyección ms = -s, -s+1, ..., +s; en un campo magnético se separan como subniveles.
Barión: Hadrón compuesto por tres quarks, con espín semi-entero (p. ej. protón, neutrón y Ω⁻ con espín 3/2).
Neutrino y antineutrino: Leptones neutros de masa muy pequeña; el neutrino tiene L = +1 y el antineutrino L = -1 en su sabor correspondiente.

Preguntas para practicar

¿Por qué el decaimiento $\pi^{0}\rightarrow\mu^{-}+e^{+}+\nu_{\mu}$ es imposible si está permitido energéticamente?

Porque aunque la energía y la carga se conservan, se violan el momento angular total y los números leptónicos $L_e$ y $L_\mu$: no hay ninguna ley de conservación de la naturaleza que lo prohíba energéticamente, pero las partículas y las simetrías del modelo estándar no permiten ese canal.

¿Por qué un campo magnético separa un estado de espín $s=\frac{3}{2}$ en cuatro subniveles?

El campo magnético interactúa con el momento magnético asociado al espín y con su proyección $m_s$ sobre el eje del campo; como $m_s$ solo puede tomar los valores $-s, -s+1, \dots, +s$ (es decir $2s+1$ valores), se generan exactamente cuatro subniveles con energía proporcional a $m_s$.

Temas y conceptos clave

Física de partículas elementalesLeyes de conservación en decaimientosNúmero leptónicoEspín de partículas y subniveles Zeemandecaimientonúmero leptónico electrónico/muónico/tauónicomomento angular totalespínestados de espínbaryón Ω⁻antipartícula

Fuentes y referencias

Partículas Data Group: masas y espines de hadrones y leptones
PDG Live - Omega minus baryon: masa 1672,45 MeV/c² y espín 3/2
Reglas de selección del Modelo Estándar: conservación de carga, energía, momento y números leptónicos

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