Cálculo de la longitud recorrida estimada (ARCO) de la unidad óptica

La página entrega el enunciado y una cuadrícula en blanco; los datos numéricos (tiempos y velocidades, o coordenadas del recorrido) están en las páginas anteriores del mismo ejercicio. A continuación se explica el procedimiento completo para obtener el valor.

Procedimiento (método del área bajo la curva)

1. Identificar los datos: anotar la tabla de velocidades v(t) vs. tiempo t (o las coordenadas (x,y) de la trayectoria) dada en el ejercicio anterior.

2. Construir el gráfico: en la cuadrícula, ubicar el eje horizontal como tiempo t (o coordenada x) y el eje vertical como velocidad v (o coordenada y), eligiendo una escala tal que los datos ocupen la mayor parte de la hoja.

3. Relacionar distancia y área: la longitud recorrida es la integral de la velocidad respecto al tiempo:

s = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\, dt

geométricamente, esa integral es el área bajo la curva v(t).

• Determinar el valor de un cuadro pequeño: A_{cuadro} = (\Delta t) \times (\Delta v).
  • Contar los cuadros completos dentro del área: N_c.
  • Contar los cuadros parciales y sumar solo los que son \geq medio cuadro: se estiman como N_p cuadros.
  • Área total: A \approx (N_c + N_p)\, A_{cuadro}.

5. Alternativa por trapecios: si la curva se aproxima con segmentos rectos entre puntos (t_i, v_i) y (t_{i+1}, v_{i+1}), cada trapecio aporta

\Delta s_i = \frac{v_i + v_{i+1}}{2}\,(t_{i+1} - t_i)

y la longitud total es la suma s = \sum_i \Delta s_i.

6. Sumar y dar unidades: la longitud recorrida conserva las unidades de la velocidad por el tiempo (ej. \text{m/s} \times \text{s} = \text{m}).

Ejemplo numérico ilustrativo

Si durante los primeros 6\,\text{s} la velocidad varía linealmente de 0 a 12\,\text{m/s}:

1. Área del triángulo bajo la recta: base = 6\,\text{s}, altura = 12\,\text{m/s}.
2. s = \frac{1}{2} \times 6 \times 12 = 36\,\text{m}.