Contexto (deducido de las preguntas): se estudia un cuerpo que se mueve verticalmente en las proximidades de la superficie terrestre, es decir, con aceleración constante \vec{a} = -\vec{g}, con g \approx 9{,}81\;\text{m/s}^{2} apuntando hacia abajo. El eje y se toma positivo hacia arriba. Los datos numéricos del movimiento (posición inicial y_{0}, rapidez inicial v_{0}) aparecen en la página anterior; por eso la resolución se presenta en forma general, sustituyendo esos valores cuando se disponga de ellos.
Se pide la ecuación general de la posición en función del tiempo.
- Para un movimiento vertical uniformemente acelerado la aceleración es constante: a = -g.
- Integrando una vez la aceleración se obtiene la rapidez: v(t) = v_{0} + a t = v_{0} - g t.
- Integrando de nuevo la rapidez se obtiene la posición, con condición inicial y(0) = y_{0}:
y(t) = y_{0} + v_{0}t + \tfrac{1}{2} a t^{2}
- Sustituyendo a = -g:
\boxed{y(t) = y_{0} + v_{0}\,t - \tfrac{1}{2} g t^{2}}
Con g = 9{,}81\;\text{m/s}^{2} queda y(t) = y_{0} + v_{0}t - 4{,}905\,t^{2}. Esta expresión describe una parábola que abre hacia abajo, consistente con un cuerpo que sube, alcanza una altura máxima y luego cae.
y(t) = y_{0} + v_{0}t - \dfrac{1}{2}gt^{2}, con g \approx 9{,}81\;\text{m/s}^{2}.
Se pide la rapidez en el punto y = 22{,}7\;\text{m}.
- La rapidez |v| es el módulo de la velocidad instantánea; en el ascenso v > 0 y en el descenso v < 0.
- Se elimina el tiempo entre las dos ecuaciones cinemáticas, v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(y - y_{0}) con a = -g:
v^{2} = v_{0}^{2} - 2g\,(y - y_{0})
- Sustituyendo y = 22{,}7\;\text{m}:
|v| = \sqrt{\,v_{0}^{2} - 2g\,(22{,}7\;\text{m} - y_{0})\,}
- Control de coherencia: si v_{0}^{2} < 2g(22{,}7 - y_{0}) la raíz no tiene solución real, lo que indica que el cuerpo nunca alcanza esa altura; en tal caso el máximo alcanzable es y_{máx} = y_{0} + \dfrac{v_{0}^{2}}{2g}, que debe verificarse antes de sustituir.
- Si se conoce el tiempo t en que el cuerpo pasa por ese punto, también puede usarse directamente |v| = |v_{0} - g t|.
|v| = \sqrt{v_{0}^{2} - 2g(22{,}7\;\text{m} - y_{0})}. Con los datos de la página anterior se reemplazan v_{0} y y_{0}; si el cuerpo aún sube el signo es positivo y si ya desciende es negativo.
Se pide la altura total hasta el piso y justificar la respuesta.
- El piso corresponde a la posición y = 0 en el sistema de referencia adoptado (eje positivo hacia arriba, origen en el piso).
- Se imponen simultáneamente y(t) = 0 y v(t) \neq 0 (el cuerpo aún se mueve al tocar el piso):
0 = y_{0} + v_{0}t - \tfrac{1}{2} g t^{2}
- Es una ecuación cuadrática en t: \tfrac{1}{2}g t^{2} - v_{0}t - y_{0} = 0. Aplicando la fórmula general de Bhaskara:
t = \frac{v_{0} \pm \sqrt{v_{0}^{2} + 2g y_{0}}}{g}
- De las dos raíces se descarta la negativa (el tiempo de caída es positivo), de modo que
t_{piso} = \frac{v_{0} + \sqrt{v_{0}^{2} + 2g y_{0}}}{g}
- La altura total hasta el piso es la distancia vertical recorrida desde la altura inicial hasta y = 0, es decir, H = y_{0} (altura del punto de partida sobre el piso). Si el eje tuviera origen en el punto de lanzamiento, la altura total sería H = |y_{final}| = y_{0} medido hacia abajo.
- Justificación: como la aceleración es constante y el movimiento es unidireccional en cada tramo, la posición pasa de y_{0} a 0 de forma continua y monótona; por tanto el valor H = y_{0} es la altura total, verificada al sustituir t_{piso} en y(t) y comprobar que se anula.
Nota: los valores numéricos concretos de y_{0} y v_{0} provienen de la página 74 del mismo problema; al no estar en esta página, se presentan las fórmulas generales listas para sustituir.
H = y_{0} (altura del punto de partida sobre el piso), alcanzada en el instante t_{piso} = \dfrac{v_{0} + \sqrt{v_{0}^{2} + 2g y_{0}}}{g}.
