Ejercicios 21-22: cisterna cilíndrica y funciones trigonométricas transformadas

📄 ejercicios matematica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

$A(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{200}{r}$ , $r\ge 0$ ; radio óptimo $r\approx 2.51$ dm; 22a) $\text{Rec}=[-4,8]$ , periodo $2\pi$ ; 22b) $\text{Rec}=(-\infty,-12]\cup[-2,+\infty)$ , periodo $\pi/2$ .

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 10 min lectura

Solución — Página 28

Matematica · 1ro BGU · 2024

Ejercicio 21

a

Volumen del cilindro: $V=\pi r^{2}h=100$ (en litros, si $r,h$ en dm; $1$ L $=1$ dm $^{3}$ ). Despejar $h=\dfrac{100}{\pi r^{2}}$ . Área total (incluye tapa y base): $A(r)=2\pi r^{2}+2\pi r h=2\pi r^{2}+\dfrac{200}{r}$ .

Ejercicio 21

b

Graficar $A(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{200}{r}$ : mínimo en $A'(r)=4\pi r-\dfrac{200}{r^{2}}=0\Rightarrow r^{3}=\dfrac{50}{\pi}\Rightarrow r=\sqrt[3]{50/\pi}\approx 2.51$ dm. Valor mínimo $A\approx 2\pi (2.51)^{2}+\dfrac{200}{2.51}\approx 39.6+79.7\approx 119.3$ dm $^{2}$ .

Ejercicio 22

a

$f(x)=6\sin(x-\pi/4)+2$ .

Dominio: $\mathbb{R}$ .
Recorrido: $[2-6,2+6]=[-4,8]$ .
Ceros: $\sin(x-\pi/4)=-\tfrac{1}{3}\Rightarrow x=\pi/4+\arcsin(-\tfrac{1}{3})+2k\pi$ ó $\pi/4+\pi-\arcsin(-\tfrac{1}{3})+2k\pi$ .
Monotonía: creciente/decreciente en intervalos de longitud $\pi$ .
Simetría: respecto a $x=\pi/4+\pi/2+k\pi$ (máximos).
Asíntotas: ninguna.
Periodicidad: $2\pi$ .
Máximos: $8$ en $x=\pi/4+\pi/2+2k\pi=3\pi/4+2k\pi$ .
Mínimo: $-4$ en $x=\pi/4-\pi/2+2k\pi=-\pi/4+2k\pi$ .

Ejercicio 22

b

$f(x)=5\sec(4x+2)-7$ .

Dominio: $4x+2\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow x\ne \dfrac{\pi/2-2+k\pi}{4}$ .
Recorrido: $(-\infty,-12]\cup[-2,+\infty)$ .
Ceros: $\sec(4x+2)=7/5\Rightarrow \cos(4x+2)=5/7$ .
Asíntotas: $x=\dfrac{\pi/2-2+k\pi}{4}$ .
Periodicidad: $\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$ .
Máximos y mínimos: no acotado.