Calcular el trabajo realizado por la fuerza de 1\,000\,\text{N} al desplazar el vagón a lo largo de la longitud total de la rampa de ascenso.

1. El trabajo de una fuerza constante es W = F\,d\,\cos\theta, donde \theta es el ángulo entre \vec F y el desplazamiento.
2. Como la fuerza del motor actúa en el sentido del ascenso, \theta = 0^\circ y \cos 0^\circ = 1.
3. El desplazamiento es igual a la longitud total de la rampa, d = L. Entonces: W = F\cdot L = (1\,000\,\text{N})\cdot L
4. Ejemplo de sustitución (con L = 50\,\text{m}): W = 1\,000 \times 50 = 5.0 \times 10^{4}\,\text{J} = 50\,\text{kJ}

¿Qué potencia desarrollará el motor al ejercer la fuerza de 1\,000\,\text{N} si el ascenso se realiza a velocidad constante de 5\,\text{m/s}?

1. La potencia es el trabajo por unidad de tiempo: P = \dfrac{W}{t}.
2. Como W = F\,d, se obtiene P = \dfrac{F\,d}{t}.
3. Como \dfrac{d}{t} = v (velocidad constante), queda: P = F\,v
4. Sustitución: P = (1\,000\,\text{N})(5\,\text{m/s}) = 5\,000\,\text{W} = 5\,\text{kW}

Calcular la energía mecánica del vagón en el punto más alto, con ascenso a velocidad constante de 5\,\text{m/s}; deducir el valor máximo de la velocidad y el punto donde se alcanza.

1. La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial: E_m = E_c + E_p = \tfrac{1}{2}mv^{2} + mgh
2. Con v = 5\,\text{m/s} (ascenso a velocidad constante): E_c = \tfrac{1}{2}m(5)^{2} = 12{,}5\,m \quad (\text{J, con } m \text{ en kg}) E_p = m\,g\,h \quad (g = 9{,}8\,\text{m/s}^{2}) E_m = m\left(12{,}5 + 9{,}8\,h\right)\,\text{J}
3. En el ascenso a velocidad constante el trabajo del motor compensa el aumento de energía potencial, de modo que E_m se conserva durante el recorrido posterior (sin fricción).
4. Deducción: como E_m = \tfrac{1}{2}mv^{2} + mgh es constante, la velocidad es máxima cuando la energía potencial es mínima, es decir en el punto más bajo de la pista (la base del rizo, con h = 0): \tfrac{1}{2}mv_{\max}^{2} = E_m \quad \Rightarrow \quad v_{\max} = \sqrt{\frac{2E_m}{m}}
5. Expresada en función del ascenso inicial: v_{\max} = \sqrt{v^{2} + 2gh} = \sqrt{5^{2} + 2(9{,}8)h} = \sqrt{25 + 19{,}6\,h}

Calcular los valores de la energía cinética y la energía potencial en lo alto del rizo; determinar la velocidad en ese punto.

1. Toma el punto más bajo de la pista como nivel de referencia: allí h = 0.
2. En lo alto del rizo la altura es h_{\text{ri}} = 2R (el diámetro del círculo vertical). Entonces: E_{p,\text{ri}} = m\,g\,(2R) = 2\,R\,m\,g
3. Por la conservación de la energía mecánica, E_{c,\text{ri}} = E_m - E_{p,\text{ri}}: E_{c,\text{ri}} = m\left(\tfrac{1}{2}v^{2} + g h\right) - 2Rmg
4. La velocidad en ese punto se despeja de E_{c,\text{ri}} = \tfrac{1}{2}mv_{\text{ri}}^{2}: v_{\text{ri}} = \sqrt{2\left(\tfrac{1}{2}v^{2} + gh - 2Rg\right)} = \sqrt{v^{2} + 2g(h - 2R)} = \sqrt{25 + 19{,}6\,(h-2R)}
5. Condición de seguridad en el rizo: se necesita v_{\text{ri}}^{2} \ge gR para que el vagón no se despegue de la vía en el punto más alto.

¿Cuál será la velocidad al entrar al rizo? ¿Y al abandonarlo?

1. La entrada y la salida del rizo se encuentran en la misma altura (la base del rizo, h = 0).
2. Sin fricción, la energía mecánica se conserva entre esos dos puntos, y como las alturas son iguales, también lo son las energías potenciales.
3. Por consiguiente, las energías cinéticas son iguales: \tfrac{1}{2}mv_{\text{ent}}^{2} = \tfrac{1}{2}mv_{\text{sal}}^{2} \quad \Rightarrow \quad v_{\text{ent}} = v_{\text{sal}}
4. Su valor es justamente la velocidad máxima deducida: v_{\text{ent}} = v_{\text{sal}} = \sqrt{v^{2} + 2gh} = \sqrt{25 + 19{,}6\,h}