Verificar mediante cálculos la simulación de las montañas rusas usando el diagrama y la tabla de datos técnicos.

v_m=2.5 m/s; v_3≈48.5 m/s; v_4≈39.6 m/s; N≈2.47×10^4 N; ≈49.5^

5.b) Calcular la energía potencial gravitatoria del vagón en los puntos 1, 2 y 4.

E_p1 ≈ 9.6×10^4 J; E_p2 ≈ 3.3×10^5 J; E_p4 ≈ 1.1×10^5 J

Libro de Física 2 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Montañas rusas: verificación de una simulación mediante cálculos de energía y velocidad

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Respuesta rápida

Velocidad media 2.5 m/s (9 km/h); Ep1 = 9.6 x $10^4$ J, Ep2 = 3.3 x $10^5$ J, Ep4 = 1.1 x $10^5$ J; v3 = 48.5 m/s; v4 = 39.6 m/s (mínima 14 m/s); N = 2.47 x $10^4$ N; pendiente 49.5 grados.

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Solución — Página 168

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 5

Las montañas rusas se mueven primero por un motor que las eleva a una altura determinada y luego el vagón desciende movido por la gravedad. Se pide verificar mediante cálculos la veracidad de la simulación mostrada.

Datos obtenidos del diagrama y de la tabla:

Altura del punto 1 (plataforma de partida): $h_1 = 35\,\text{m}$
Altura de la primera colina (punto 2): $h_2 = 120\,\text{m}$
El lazo del punto 4 es un círculo de radio $R = 20\,\text{m}$ , de modo que el punto superior del lazo está a $h_4 = 2R = 2(20) = 40\,\text{m}$ sobre el suelo.
Longitud de la rampa de ascenso: $l = 46\,\text{m}$ .
Masa del vagón: 4 personas $→ m \approx 4 \times 70\,\text{kg} = 280\,\text{kg}$ .
Longitud total del recorrido: $L = 600\,\text{m}$ .
Tiempo total del recorrido: $t = 4\,\text{min} = 4 \times 60 = 240\,\text{s}$ .
$g = 9.8\,\text{m/s}^{2}$ .

Parte 5.a

Velocidad media del vagón en todo el recorrido

Se aplica la definición de velocidad media: $v_{m} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ .
Se sustituyen los datos: $v_{m} = \dfrac{600\,\text{m}}{240\,\text{s}}$ .
Se obtiene: $v_{m} = 2.5\,\text{m/s}$ .
Para comparar con valores cotidianos: $2.5 \times 3.6 = 9\,\text{km/h}$ .

Respuesta

$v_{m} = 2.5\,\text{m/s} = 9\,\text{km/h}$ .

Parte 5.b

Energía potencial gravitatoria en los puntos 1, 2 y 4

Se usa $E_{p} = m\,g\,h$ .
Punto 1: $E_{p1} = (280)(9.8)(35) = 96\,040\,\text{J} \approx 9.6 \times 10^{4}\,\text{J}$ .
Punto 2: $E_{p2} = (280)(9.8)(120) = 329\,280\,\text{J} \approx 3.3 \times 10^{5}\,\text{J}$ .
Punto 4: $E_{p4} = (280)(9.8)(40) = 109\,760\,\text{J} \approx 1.1 \times 10^{5}\,\text{J}$ .

Respuesta

$E_{p1} \approx 9.6 \times 10^{4}\,\text{J}$ , $E_{p2} \approx 3.3 \times 10^{5}\,\text{J}$ , $E_{p4} \approx 1.1 \times 10^{5}\,\text{J}$ .

Parte 5.c

Velocidad teórica en el punto 3 (base del recorrido) partiendo desde el punto 2

Planteamiento de conservación de la energía mecánica (suponiendo ausencia de rozamiento): $m\,g\,h_2 = \frac{1}{2}\,m\,v_3^{2}$ .
Se cancela la masa $m$ en ambos miembros: $g\,h_2 = \frac{1}{2}\,v_3^{2}$ .
Se despeja: $v_3 = \sqrt{2\,g\,h_2} = \sqrt{2(9.8)(120)}$ .
Se calcula: $v_3 = \sqrt{2352} \approx 48.5\,\text{m/s}$ .
En km/h: $48.5 \times 3.6 \approx 175\,\text{km/h}$ .

Respuesta

$v_3 \approx 48.5\,\text{m/s} \approx 175\,\text{km/h}$ (valor ideal sin rozamiento).

Parte 5.d

Velocidad en el punto 4 y velocidad mínima para pasar el lazo

Energía en el punto 4: $\frac{1}{2}m\,v_4^{2} + m\,g\,h_4 = m\,g\,h_2$ .
Se cancela la masa y se despeja $v_4$ : $v_4 = \sqrt{2g(h_2 - h_4)} = \sqrt{2(9.8)(120 - 40)}$ .
Se calcula: $v_4 = \sqrt{1568} \approx 39.6\,\text{m/s}$ .
Condición mínima para no caer dentro del lazo (punto superior): $v_{min} = \sqrt{g\,R} = \sqrt{(9.8)(20)} = \sqrt{196} = 14\,\text{m/s}$ .
Comparación: $39.6\,\text{m/s} \gg 14\,\text{m/s}$ , es decir, el valor ideal excede 2.8 veces la velocidad mínima.

Respuesta

$v_4 \approx 39.6\,\text{m/s}$ ; la velocidad mínima en el punto superior del lazo es $v_{min} = 14\,\text{m/s}$ .

Parte 5.e

Fuerza que sentiría el vagón en el punto superior del lazo

En el punto superior convergen peso y fuerza normal, ambas hacia el centro: $N + m\,g = \dfrac{m\,v_4^{2}}{R}$ .
Se despeja la fuerza normal: $N = m\left(g + \dfrac{v_4^{2}}{R}\right)$ .
Se sustituyen los valores: $N = 280\left(9.8 + \dfrac{1568}{20}\right) = 280(9.8 + 78.4)$ .
Se calcula: $N = 280(88.2) = 24\,696\,\text{N} \approx 2.47 \times 10^{4}\,\text{N}$ .
El peso del vagón es $P = m\,g = 280(9.8) = 2\,744\,\text{N}$ ; la fuerza normal equivale a $\frac{24\,696}{2\,744} \approx 8.8$ veces el peso.

Respuesta

$N \approx 2.47 \times 10^{4}\,\text{N}$ , unas 8.8 veces el peso del vagón.

Parte 5.f

Inclinación de la rampa de ascenso

La rampa es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos $46\,\text{m}$ y $35\,\text{m}$ .
Se usa el seno del ángulo $\alpha$ : $\sin\alpha = \dfrac{35}{46} \approx 0.761$ .
Se aplica el arcseno: $\alpha = \arcsen(0.761) \approx 49.5^{\circ}$ .

Conclusión de la verificación

Los resultados sin rozamiento (casi 175 km/h en la base y una fuerza normal de casi 9 veces el peso) son superiores a los valores de cualquier montaña rusa real; por tanto, el diseño simulado solo es verosímil si se incluyen pérdidas de energía por fricción y resistencia del aire, además de limitar la velocidad del lazo.

Respuesta

$\alpha \approx 49.5^{\circ}$ .

Contenido de la página

5. Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

Las montañas rusas son uno de los juegos más frecuentados en los parques de diversiones y el diseño de cada una varía según su necesidad. La mayoría utiliza un motor que permita alcanzar una altura determinada y a partir de ahí es cuestión de la gravedad.

El diseño mostrado a continuación se encuentra en proceso de simulación, pero es necesario verificar mediante cálculos la veracidad del programa y realizar una pequeña aproximación a la realidad.

En el diagrama se observan cinco puntos del recorrido: el punto 1 está en la plataforma de partida a 35 m de altura; el punto 2 es la cima de la primera colina a 120 m; el punto 3 está en la base del recorrido; el punto 4 corresponde a la parte superior de un lazo circular de radio R = 20 m; y el punto 5 está nuevamente en el suelo, después del lazo.

DATOS TÉCNICOS

Dato	Valor
Longitud de la rampa de ascenso	46 m
Masa del vagón	4 personas
Longitud total del recorrido	600 m
Tiempo total del recorrido	4 minutos

Fuente de la imagen: https://n9.cl/obxeg3 Fuente de los datos: https://bit.ly/3novekV

Ejemplos resueltos

Un vagón de montaña rusa parte de reposo en la cima de una colina de 120 m de altura. ¿Cuál es su velocidad al llegar al suelo si no hay rozamiento?

Conservación de la energía: $m\,g\,h = \frac{1}{2}m\,v^{2}$ .
Se cancela la masa: $v = \sqrt{2\,g\,h}$ .
Sustitución: $v = \sqrt{2(9.8)(120)} = \sqrt{2352} \approx 48.5\,\text{m/s}$ . En la práctica, con rozamiento, la velocidad es menor.

Tabla

Punto	Altura sobre el suelo	Observación
1	35 m	Plataforma de partida
2	120 m	Cima de la primera colina
3	0 m	Base del recorrido (punto de máxima velocidad teórica)
4	40 m (2R)	Parte superior del lazo, R = 20 m
5	0 m	Base, después del lazo

Dato técnico	Valor
Longitud de la rampa de ascenso	46 m
Masa del vagón	4 personas (aprox. 280 kg)
Longitud total del recorrido	600 m
Tiempo total del recorrido	4 minutos (240 s)

Diagrama

flowchart LR
    A[Partida: punto 1, h = 35 m] -->|motor| B[Cima: punto 2, h = 120 m]
    B -->|gravedad, v_max] C[Base: punto 3, h = 0]
    C --> D[Lazo: punto 4, h = 2R = 40 m, R = 20 m]
    D --> E[Salida: punto 5, h = 0]

    style A fill:#cde4ff
    style B fill:#ffd9c4
    style C fill:#d6f5c9
    style D fill:#f4c2f7
    style E fill:#fff2b3

Fórmulas y ecuaciones

$E_{p}$ = $m\,g\,h$

v = $\sqrt{2\,g\,h}$

$v_{min}$ = $\sqrt{g\,R}$

$v_{m}$ = $\frac{\Delta x}{\Delta t}$

$E_{p}$ = $m\,g\,h$

$E_{c}$ = $\frac{1}{2}$ $\,m\,v^{2}$

$E_{mecánica}$ = $E_{p}$ + $E_{c}$ = $\text{constante}$

$v_{m}$ = $\frac{\Delta x}{\Delta t}$

$v_{3}$ = $\sqrt{2\,g\,h_{2}}$

$v_{4}$ = $\sqrt{2\,g\,(h_{2}-h_{4})}$

$v_{min}$ = $\sqrt{g\,R}$

N = $m\left(g$ + $\frac{v^{2}}{R}$ $\right)$

$\sin\alpha$ = $\frac{h}{l}$

Glosario (5)

Energía potencial gravitatoria: Energía que posee un cuerpo por su posición en el campo gravitatorio, igual al producto de su masa, la aceleración de la gravedad y la altura.
Energía cinética: Energía asociada al movimiento de un cuerpo, igual a la mitad de la masa por el cuadrado de su velocidad.
Velocidad media: Relación entre el desplazamiento total recorrido y el tiempo empleado en recorrerlo.
Fuerza centrípeta: Fuerza dirigida hacia el centro de una trayectoria circular, necesaria para mantener el movimiento circular.
Rozamiento: Fuerza que se opone al movimiento relativo entre dos superficies y disipa energía mecánica en forma de calor.

Preguntas para practicar

¿Por qué la velocidad teórica calculada (casi 175 km/h) no coincide con la velocidad real de una montaña rusa?

Porque el cálculo supone conservación de la energía mecánica, es decir, ausencia de fuerzas no conservativas. En la realidad actúan el rozamiento entre ruedas y rieles y la resistencia del aire, que transforman parte de la energía mecánica en calor y reducen la velocidad del vagón.

¿Qué modificarías en la simulación para que los resultados sean más próximos a la realidad?

Se deberían incorporar un coeficiente de rozamiento (aproximadamente 0.02 a 0.05 para ruedas de acero), la resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad, y limitar la velocidad máxima del lazo. Con eso los valores de velocidad y fuerza normal disminuyen a valores compatibles con los juegos reales.

¿Por qué el vagón debe tener cierta velocidad mínima en el punto superior del lazo?

Porque en ese punto la gravedad tira hacia abajo, hacia el centro del lazo. Si la velocidad es menor que $\sqrt{g\,R}$, la fuerza centrípeta requerida es menor que el peso, el vagón pierde contacto con el riel y cae. La velocidad mínima garantiza que el riel ejerza al menos una fuerza normal nula o positiva.

Temas y conceptos clave

Energía potencial gravitatoriaConservación de la energía mecánicaVelocidad mediaMovimiento circularFuerza normal y centrípetaAnálisis de simulaciones físicasEnergía potencialEnergía cinéticaVelocidad mediaConservación de la energíaVelocidad mínima en un lazoFuerza normalRozamiento