Con B(t)=t^2-4t [T] y una espira de S=0,17 m^2 perpendicular al campo: a) dibujar el diagrama; b) hallar _B(t); c) hallar (t); d) calcular ambos en t=0,15 s.

_B(t)=0,17t^2-0,68t Wb; (t)=0,68-0,34t V; _B(0,15)≈-9,82×10^-2 Wb; (0,15)≈0,63 V

**CASO 1:** Un solenoide de 2,5 cm de diámetro y 30 cm de largo tiene 300 vueltas y transporta aproximadamente 12 A (Serway, 2008). Calcular el campo magnético en su interior, el flujo por vuelta y el flujo total.

B≈1,51×10^-2 T (15,1 mT); _1≈7,4 ; _tot≈2,2×10^-3 Wb

Libro de Física 2 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Inducción electromagnética: flujo y f.e.m en una espira y campo del solenoide

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Respuesta rápida

1.b) $\Phi_{B}(t)=0,17t^{2}-0,68t$ Wb. 1.c) $\varepsilon(t)=0,68-0,34t$ V. 1.d) $\Phi_{B}\approx-9,82\times10^{-2}$ Wb y $\varepsilon\approx0,63$ V. Caso 1: $B\approx1,51\times10^{-2}$ T, $\Phi_{tot}\approx2,2\times10^{-3}$ Wb.

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 196

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 1

En una región del espacio hay un campo magnético generado artificialmente cuyo módulo varía con el tiempo según $B(t)=t^{2}-4t\ [\text{T}]$ . Sobre esa región se coloca una espira de área $S=0,17\ \text{m}^{2}$ , con el campo perpendicular a su plano.

Parte 1.a

Diagrama de la situación. Se dibuja un eje perpendicular a la espira (dirección del vector área $\vec{S}$ ); el campo $\vec{B}$ es paralelo a $\vec{S}$ (perpendicular al plano de la espira), por lo que el ángulo entre ambos es $\theta=0^{\circ}$ y $\cos\theta=1$ .

flowchart LR
  A["Espir circular de área S = 0,17 m²"] -->|plano perpendicular| B["B(t) = t² − 4t  [T]  (campo uniforme en la región)"]
  B -->|dirección perpendicular al plano| C["Vector área S, paralelo a B → θ = 0°"]

Parte 1.b

Flujo magnético: $\Phi_{B}=\vec{B}\cdot\vec{S}=B S\cos\theta$ . Con $\theta=0^{\circ}$ : $\cos 0^{\circ}=1$ .
Sustitución: $\Phi_{B}(t)=\left(t^{2}-4t\right)(0,17)$ .
Desarrollo: $\Phi_{B}(t)=0,17t^{2}-0,68t$ .

Respuesta

$\Phi_{B}(t)=0,17t^{2}-0,68t\ [\text{Wb}]$ .

Parte 1.c

Ley de Faraday: $\varepsilon=-\dfrac{d\Phi_{B}}{dt}$ .
Derivada de la función hallada: $\dfrac{d\Phi_{B}}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left(0,17t^{2}-0,68t\right)=0,34t-0,68$ .
F.e.m inducida: $\varepsilon(t)=-(0,34t-0,68)$ .

Respuesta

$\varepsilon(t)=0,68-0,34t\ [\text{V}]$ . El signo negativo expresa, por la ley de Lenz, que la f.e.m se opone al cambio de flujo.

Parte 1.d

Evaluamos en $t=0,15\ \text{s}$ : $B= (0,15)^{2}-4(0,15)=0,0225-0,6=-0,5775\ \text{T}$ .
Flujo: $\Phi_{B}=B\cdot S=(-0,5775)(0,17)=-0,098175\ \text{Wb}$ .
F.e.m: $\varepsilon=0,68-0,34(0,15)=0,68-0,051=0,629\ \text{V}$ .

Respuesta

$\Phi_{B}\approx-9,82\times10^{-2}\ \text{Wb}$ y $\varepsilon\approx0,63\ \text{V}$ .

Ejercicio 2

— CASO 1

Un solenoide de diámetro $d=2,5\ \text{cm}$ y largo $L=30\ \text{cm}$ tiene $N=300$ vueltas y transporta aproximadamente $I=12\ \text{A}$ (Serway, 2008).

Conversión de unidades: $d=2,5\ \text{cm}=2,5\times10^{-2}\ \text{m}\Rightarrow r=1,25\ \text{cm}=1,25\times10^{-2}\ \text{m}$ ; $L=30\ \text{cm}=0,30\ \text{m}$ .
Longitud de unión: $n=\dfrac{N}{L}=\dfrac{300}{0,30}=1000\ \text{vueltas/m}$ .
Campo interior del solenoide ideal: $B=\mu_{0}nI=(4\pi\times10^{-7})(1000)(12)$ .
$B=4\pi\times12\times10^{-4}=48\pi\times10^{-4}\approx1,51\times10^{-2}\ \text{T}$ .
Área de la sección: $S=\pi r^{2}=\pi(1,25\times10^{-2})^{2}\approx4,91\times10^{-4}\ \text{m}^{2}$ .
Flujo por vuelta: $\Phi_{1}=BS=(1,51\times10^{-2})(4,91\times10^{-4})\approx7,4\times10^{-6}\ \text{Wb}$ .
Flujo total atravesado por las $N$ vueltas: $\Phi_{tot}=N\Phi_{1}=300(7,4\times10^{-6})\approx2,2\times10^{-3}\ \text{Wb}$ .

Respuesta

$B\approx1,51\times10^{-2}\ \text{T}=15,1\ \text{mT}$ ; $\Phi_{1}\approx7,4\ \mu\text{Wb}$ y $\Phi_{tot}\approx2,2\times10^{-3}\ \text{Wb}$ . (El Caso 2 no aparece en esta página; se encuentra en la siguiente.)

Contenido de la página

ACTIVIDADES

Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

En una región del espacio se encuentra un campo magnético generado de manera artificial; el módulo varía en función del tiempo mediante la siguiente ecuación o modelo matemático: $B(t)=t^{2}-4t\ [\text{T}]$ . Sobre esta región se coloca una espira de $S=0,17\ \text{m}^{2}$ , de tal forma que el campo magnético es perpendicular al plano de la espira.

a) Realizo un diagrama de la situación planteada.
b) Calculo el flujo del campo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo.
c) Calculo la f.e.m inducida en la espira en función del tiempo.
d) Calculo el flujo del campo y la f.e.m para $0,15$ segundos.

Resuelvo los ejercicios del Caso 1 y Caso 2.

CASO 1:

Un solenoide de $2,5\ \text{cm}$ de diámetro y $30\ \text{cm}$ de largo tiene $300$ vueltas y transporta aproximadamente $12\ \text{A}$ . (Serway, 2008).

Ilustración: solenoide enrollado con corriente $I$ que circula por sus espiras; en la sección transversal se indica un radio de $1,25\ \text{cm}$ a partir del eje. Fuente: https://n9.cl/4qvzh

Ejemplos resueltos

Campo $B(t)=t^{2}-4t$ en una espira de $S=0,17\ \text{m}^{2}$ ; hallar flujo, f.e.m y sus valores en $t=0,15\ \text{s}$ .

$\Phi_{B}=(t^{2}-4t)(0,17)=0,17t^{2}-0,68t$ Wb; $\varepsilon=-\dfrac{d\Phi_{B}}{dt}=0,68-0,34t$ V; en $t=0,15\ \text{s}$ : $B=-0,5775\ \text{T}$ , $\Phi_{B}=-0,0982\ \text{Wb}$ , $\varepsilon=0,629\ \text{V}$ .

Solenoide de $L=0,30\ \text{m}$ , $N=300$ vueltas, $I=12\ \text{A}$ y $r=1,25\ \text{cm}$ : hallar $B$ , el flujo por vuelta y el flujo total.

$n=1000\ \text{vueltas/m}$ ; $B=(4\pi\times10^{-7})(1000)(12)\approx1,51\times10^{-2}\ \text{T}$ ; $S\approx4,91\times10^{-4}\ \text{m}^{2}$ ; $\Phi_{1}\approx7,4\times10^{-6}\ \text{Wb}$ ; $\Phi_{tot}=300\Phi_{1}\approx2,2\times10^{-3}\ \text{Wb}$ .

Tabla

Magnitud	Expresión	Resultado
Flujo magnético	$\Phi_{B}(t)=0,17t^{2}-0,68t$	Wb
F.e.m inducida	$\varepsilon(t)=0,68-0,34t$	V
Flujo en $t=0,15\ \text{s}$	$\Phi_{B}=BS$	$-9,82\times10^{-2}$ Wb
F.e.m en $t=0,15\ \text{s}$	$\varepsilon=0,68-0,34(0,15)$	$0,63$ V
Campo del solenoide	$B=\mu_{0}nI$	$1,51\times10^{-2}$ T
Flujo total del solenoide	$\Phi_{tot}=NBS$	$2,2\times10^{-3}$ Wb

Diagramas (2)

flowchart TB
  subgraph Región
    B["Campo uniforme variable B(t) = t² − 4t [T]"]
  end
  subgraph Espira
    E["Espir circular, S = 0,17 m², perpendicular a B"]
    V["Vector área S ∥ B → θ = 0°, cos θ = 1"]
  end
  B -->|flujo magnético| E
  E -->|variación con el tiempo| F["f.e.m inducida ε = −dΦ_B/dt"]

flowchart LR
  Solenoide["Solenoide: d = 2,5 cm, L = 30 cm, N = 300"] --> N["n = N/L = 1000 vueltas/m"]
  N --> Bb["B = μ₀ n I ≈ 1,51×10⁻² T"]
  Bb --> Fl["Φ₁ = BS ≈ 7,4×10⁻⁶ Wb"]
  Fl --> Ft["Φ_tot = NΦ₁ ≈ 2,2×10⁻³ Wb"]

Fórmulas y ecuaciones

$\Phi_{B}=BS\cos\theta$

$\varepsilon=-\dfrac{d\Phi_{B}}{dt}$

$B=\mu_{0}nI=\mu_{0}\dfrac{N}{L}I$

$B(t)=t^{2}-4t\$ [ $\text{T}$ ]

$\Phi_{B}=@@MATH_0@@\cdot@@MATH_1@@=BS\cos\theta$

$\Phi_{B}(t)=0,17t^{2}-0,68t\$ [ $\text{Wb}$ ]

$\varepsilon=-$ $\dfrac{d\Phi_{B}}{dt}$

$\varepsilon(t)=0,68-0,34t\$ [ $\text{V}$ ]

$B=\mu_{0}nI,\quad$ n= $\dfrac{N}{L}$

$S=\pi$ $r^{2}$

Glosario (4)

Flujo magnético: Producto escalar $\vec{B}\cdot\vec{S}$ entre el campo magnético y el vector área de la superficie; se mide en webers (Wb).
F.e.m. inducida: Fuerza electromotriz generada por la variación del flujo magnético; $\varepsilon=-\dfrac{d\Phi_{B}}{dt}$, en voltios (V).
Ley de Lenz: El campo inducido se opone al cambio de flujo que lo produce; se expresa con el signo negativo de la ley de Faraday.
Solenoide: Espiras cilíndricas de alambre que crean un campo casi uniforme en su interior, $B=\mu_{0}nI$.

Preguntas para practicar

¿Por qué el signo negativo en la ecuación $\varepsilon=-\dfrac{d\Phi_{B}}{dt}$?

Representa la ley de Lenz: la corriente inducida genera un campo magnético que se opone al cambio de flujo que la produce, es decir, la f.e.m se dirige en sentido contrario al cambio del flujo, garantizando la conservación de la energía.

¿Qué significa el resultado negativo del flujo en $t=0,15\ \text{s}$?

Indica que en ese instante el campo es opuesto al vector área elegida (se dirige en sentido contrario a $\vec{S}$), por eso $B<0$ y el flujo adopta signo negativo; el módulo del flujo es $|\Phi_{B}|\approx0,098\ \text{Wb}$.

Temas y conceptos clave

Inducción electromagnéticaFlujo magnéticoFuerza electromotriz inducidaSolenoide$\Phi_{B}=BS\cos\theta$$\varepsilon=-\dfrac{d\Phi_{B}}{dt}$$B=\mu_{0}nI$ley de Lenzpermutación de vueltas $n=N/L$

Fuentes y referencias

Serway, 2008 (citado en el Caso 1)
https://n9.cl/4qvzh

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Figuras de la página (1)

Solenoide (bobina) de color verde enrollada con alambre, con corriente I entrando por un extremo y saliendo por el otro; a la derecha se muestra su sección transversal con un círculo azul, un disco amarillo y un radio de 1,25 cm medido desde el eje. Fuente: https://n9.cl/4qvzh — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el flujo magnético que atraviesa una espira?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué dice la ley de Faraday-Lenz sobre la f.e.m inducida?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se determina el campo magnético dentro de un solenoide?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Derivación de funciones polinómicas
• Producto punto de vectores y ángulo entre vectores
• Conversión de unidades SI (cm a m, μ₀ = 4π×10⁻⁷ T·m/A)

Siguiente tema sugerido

Caso 2 del solenoide y variación de la corriente inducida (página 196)

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"ACTIVIDADES )

Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

En una región del espacio se encuentra un campo magnético generado de manera artificial; el módulo varía en función del tiempo mediante la siguiente ecuación o modelo matemático: B(t)=t -4t [T]. Sobre esta región se coloca una espira de S=0,17 m?, de tal forma que el campo magnético es perpendicular al plano de la espira.

a) Realizo un diagrama de la situación planteada.

b) Calculo el flujo del campo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo. c) Calculo la f.e.m inducida en la espira en función del tiempo.

d) Calculo el flujo del campo y la f.e.m para 0,15 segundos.