Preguntas sobre leyes aplicadas al Caso 1 y Caso 2: dualidad entre inducción eléctrica y magnética

¿Qué leyes y ecuaciones se aplicaron para la resolución del Caso 1 (inducción eléctrica: un campo magnético variable genera una fuerza electromotriz)?

1. Ley de Faraday de la inducción electromagnética: la fem inducida es proporcional a la rapidez de cambio del flujo magnético, \varepsilon = -N\frac{d\Phi_B}{d t}, con el signo negativo dado por la convención.
2. Definición de flujo magnético: \Phi_B = \mathbf{B}\cdot\mathbf{A} = B\,A\cos\theta, de donde \varepsilon = -N A\cos\theta\,\dfrac{dB}{dt} si el campo cambia con el tiempo.
3. Ley de Lenz: el signo negativo se interpreta así: la corriente inducida se dirige de modo que su campo magnético se opone al cambio de flujo que la produjo (conservación de la energía).
4. Caso de barra que se desliza (fem motional), aplicable a los alambres móviles del Caso 1: \varepsilon = B\,\ell\,v\,\sin\alpha, obtenida al igualar la fuerza de Lorentz F = qvB\sin\alpha con la fuerza eléctrica qE, de modo que E = vB\sin\alpha y \varepsilon = E\ell.
5. Si el circuito tiene resistencia R, la corriente inducida se calcula con la ley de Ohm: I = \frac{|\varepsilon|}{R}.
6. Para convertir fem en voltaje útil se usa la relación P = \varepsilon\, I = I^{2}R.

¿Qué leyes y ecuaciones se aplicaron para la resolución del Caso 2 (inducción magnética: una corriente produce campo magnético y fuerza sobre el conductor)?

1. Ley de Ampere (circuito magnético de un solenoide o de una espira), para obtener el campo creado por la corriente: B = \mu_0\,n\,I, donde n es el número de espiras por unidad de longitud y \mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}.
2. Ley de Biot–Savart, para campos de distribuciones de corriente más generales: d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}, de la que se obtienen los campos de un alambre recto y de un arco o corona circular.
3. Regla de la mano derecha para determinar la dirección de \mathbf{B} alrededor del conductor con corriente.
4. Ley de fuerza sobre un conductor con corriente en un campo magnético (fuerza de Ampere): \mathbf{F} = I\,\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B}\quad\Rightarrow\quad F = B\,I\,\ell\,\sin\theta.
5. Ley de Ohm para hallar la corriente que circula por el conductor: I = \frac{V}{R}.
6. Ley de la mano derecha para el sentido de la fuerza (los vectores \boldsymbol{\ell}, \mathbf{B} y \mathbf{F} son mutuamente perpendiculares cuando \theta = 90^\circ).

¿En qué caso la corriente crea un campo magnético? Argumenta tu respuesta.

1. Se trata de reconocer el efecto físico que origina cada caso.
2. En el Caso 2 existe una corriente eléctrica (portadores de carga en movimiento) antes de cualquier campo.
3. Un corriente I que circula por un alambre produce a su alrededor un campo B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} (alambre recto) y, en un solenoide, B = \mu_0 n I: el campo es proporcional a la corriente.
4. Por lo tanto, el campo magnético aparece después de la corriente y es causado por ella.

¿En qué caso el campo magnético crea corriente eléctrica?

1. Se evalúa qué magnitud independiente existía en cada caso antes de aparecer la corriente.
2. En el Caso 1 hay un campo magnético B que varía en el tiempo (o un conductor en movimiento dentro de él), de modo que el flujo \Phi_B = BA\cos\theta cambia.
3. Según Faraday, ese cambio de flujo induce una fem \varepsilon = -N\,d\Phi_B/dt.
4. Si el circuito está cerrado, la fem genera corriente según Ohm: I = \varepsilon/R.

Propones dos semejanzas y dos diferencias entre los Casos 1 y 2 con base en la dualidad de inducción eléctrica e inducción magnética.

Semejanzas

1. Ambos involucran campos magnéticos producidos por corrientes o que actúan sobre corrientes: la relación \mathbf{B}–I es común a los dos casos.
2. En ambos se emplean vectores cruzados (\mathbf{F} = q\mathbf{v}\times\mathbf{B}, \mathbf{F} = I\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B}, \varepsilon = -N\,d\Phi_B/dt) y las leyes de la mano derecha para determinar los sentidos.

Diferencias

1. Causalidad opuesta: en el Caso 2 la corriente produce el campo (B = \mu_0 nI); en el Caso 1 el campo variable produce la corriente (\varepsilon = -N\,d\Phi_B/dt \Rightarrow I = \varepsilon/R).
2. Leyes rectores: el Caso 2 se resuelve con Biot–Savart/Ampere y la ley de fuerza F = B I\ell\sin\theta; el Caso 1 se resuelve con Faraday, Lenz y la fem motional \varepsilon = B\ell v\sin\alpha.