Calcular el flujo a través de la superficie de un disco de radio de 5\,\text{cm}, colocado perpendicularmente y centrado en el eje del solenoide.

1. El campo \vec{B} de un solenoide es paralelo a su eje y, dentro del solenoide, es prácticamente uniforme: B=\mu_0\,n\,I, donde n es el número de vueltas por metro y I la corriente (datos del enunciado del CASO 1, página anterior).
2. El disco está perpendicular al eje, es decir, su vector área \vec{A} es paralelo a \vec{B}: \theta = 0^\circ y \cos\theta=1.
3. Entonces el flujo es \Phi_B=\iint \vec{B}\cdot d\vec{A}=B\,A\cos\theta = B\,A.
4. El área del disco, con r=5\,\text{cm}=5\times10^{-2}\,\text{m}: A=\pi r^{2}=\pi (5\times10^{-2})^{2}=\pi\times25\times10^{-4}=7.85\times10^{-3}\,\text{m}^{2}.
5. Sustituyendo: \Phi_B=B\times7.85\times10^{-3}\,\text{Wb} = \mu_0\,n\,I\,(7.85\times10^{-3})\,\text{Wb}.

Calcular el flujo a través del área azul de la sección circular del extremo del solenoide, definida por un anillo de radio interno 0{,}4\,\text{cm} y radio externo 0{,}8\,\text{cm}.

1. El campo dentro del solenoide sigue siendo B=\mu_0\,n\,I, uniforme y paralelo al eje.
2. El área del anillo es A=\pi\,(R^{2}-r^{2}), con R=0{,}8\,\text{cm}=8\times10^{-3}\,\text{m} y r=0{,}4\,\text{cm}=4\times10^{-3}\,\text{m}.
3. Calculamos los cuadrados: R^{2}=64\times10^{-6}\,\text{m}^{2} y r^{2}=16\times10^{-6}\,\text{m}^{2}.
4. Restamos: R^{2}-r^{2}=48\times10^{-6}\,\text{m}^{2}.
5. Multiplicamos por \pi: A=\pi\times48\times10^{-6}=1.51\times10^{-4}\,\text{m}^{2}.
6. Como \theta=0^\circ: \Phi_B=B\,A.

Nota: si el anillo está sobre el extremo abierto del solenoide, el campo efectivo allí es aproximadamente B/2; en ese caso se sustituye B por B/2.

CASO 2

Solenoide de radio r=2\,\text{cm} con n=1\times10^{3}\ \text{vueltas/m}, rodeado por una bobina de radio R=10\,\text{cm} con N=15 vueltas; corriente I(t)=5\,\text{A}\,\text{sen}(120\,t). Determinar la f.e.m. inducida en la bobina.

1. Campo dentro del solenoide: B=\mu_0\,n\,I(t), con \mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\text{T·m/A}.
2. La bobina externa (R=0{,}10\,\text{m}) es mucho mayor que el solenoide (r=0{,}02\,\text{m}); el flujo solo existe dentro de la sección del solenoide, de área A=\pi r^{2}=\pi(0{,}02)^{2}=\pi\times4\times10^{-4}=1{,}257\times10^{-3}\,\text{m}^{2}.
3. Flujo a través de una espira: \Phi_{1}=B\,A=\mu_0\,n\,I(t)\,\pi\,r^{2}.
4. Flujo enlazado con las N=15 vueltas: \Phi_{N}=N\,\Phi_{1}=N\,\mu_0\,n\,\pi\,r^{2}\,I(t).
5. Aplicamos la ley de Faraday: \varepsilon=-\dfrac{d\Phi_{N}}{dt}=-N\,\mu_0\,n\,\pi\,r^{2}\,\dfrac{dI}{dt}.
6. Derivamos la corriente: \dfrac{dI}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left[5\,\text{sen}(120\,t)\right]=5\times120\,\cos(120\,t)=600\,\cos(120\,t)\,\text{A/s}.
7. Reunimos las constantes: N\,\mu_0\,n\,\pi\,r^{2}=15\times(4\pi\times10^{-7})\times10^{3}\times(1{,}257\times10^{-3})=2{,}37\times10^{-5}\,\text{Wb/A}.
8. Multiplicamos por 600\,\cos(120\,t): \varepsilon=2{,}37\times10^{-5}\times600\,\cos(120\,t)=1{,}42\times10^{-2}\,\cos(120\,t)\,\text{V}.

Respuesta: \varepsilon(t)=-N\,\mu_0\,n\,\pi\,r^{2}\,\dfrac{dI}{dt} \approx -1{,}42\times10^{-2}\,\cos(120\,t)\ \text{V} = -14{,}2\,\cos(120\,t)\ \text{mV}.

El signo indica, por la regla de Lenz, que la f.e.m. se opone al cambio de corriente; su amplitud es 14{,}2\,\text{mV} y su frecuencia angular \omega=120\,\text{rad/s}.