Cuerda vibrante en campo magnético: frecuencia y f. electromotriz inducida

Datos del problema

• Densidad lineal: \mu = 3 \times 10^{-3} \, \text{kg/m}
• Longitud: L = 64 \, \text{cm} = 0{,}64 \, \text{m}
• Tensión: T = 267 \, \text{N}
• Campo magnético: B = 4{,}50 \, \text{mT} = 4{,}50 \times 10^{-3} \, \text{T}
• Tramo en el campo: \ell = 2 \, \text{cm} = 0{,}02 \, \text{m}
• Amplitud de vibración: A = 1{,}5 \, \text{cm} = 0{,}015 \, \text{m}

Determine la frecuencia fundamental de la cuerda.

1. La velocidad de las ondas en una cuerda tensa se calcula con: v = \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.
2. Sustituyendo: v = \sqrt{\dfrac{267}{3 \times 10^{-3}}} = \sqrt{89\,000} \approx 298{,}33 \, \text{m/s}.
3. La frecuencia fundamental (onda estacionaria con un solo armónico, n=1) en una cuerda fija en ambos extremos: f = \dfrac{v}{2L}.
4. Sustituyendo: f = \dfrac{298{,}33}{2 \times 0{,}64} = \dfrac{298{,}33}{1{,}28} \approx 233{,}07 \, \text{Hz}.

Determine la amplitud de la fuerza electromotriz inducida en los extremos de la cuerda.

1. La sección de la cuerda dentro del campo se mueve con rapidez máxima: v_{\max} = \omega A = 2\pi f A.
2. Sustituyendo: v_{\max} = 2\pi (233{,}07)(0{,}015) \approx 21{,}97 \, \text{m/s}.
3. La f. electromotriz inducida en un conductor que se mueve perpendicularmente al campo: \varepsilon = B \, \ell \, v.
4. Sustituyendo la rapidez máxima: \varepsilon_{\max} = (4{,}50 \times 10^{-3})(0{,}02)(21{,}97) \approx 1{,}98 \times 10^{-3} \, \text{V}.

Rango de frecuencias de las cuerdas de una guitarra (afinación estándar):

¿Qué parámetros deberían variarse para recrear un instrumento que indique si una guitarra está afinada?

1. Tensión (T): variando la tensión con los clavijeros cambia v y por lo tanto f.
2. Longitud vibrante (L): usando trastes o moviendo el apoyo se modifica f.
3. Densidad lineal (\mu): usando cuerdas de distinto calibre material.
4. Campo magnético (B) o número de espiras de la bobina: para ajustar la amplitud de la señal eléctrica detectada.
5. Amplitud de vibración (A): la señal inducida es proporcional a A.

¿Es más fácil usar inducción eléctrica o generar un campo magnético con una corriente?

Respuesta orientativa: resulta más sencillo usar la inducción eléctrica: basta con un imán permanente y una bobina (como en las pastillas de una guitarra eléctrica) para que la cuerda vibrante genere una señal alternante que un osciloscopio o multímetro puede leer. Generar el campo magnético mediante una corriente requiere fuentes de alimentación, resistencias y ajustes adicionales, complicando el montaje casero sin aportar ventajas relevantes para medir la frecuencia.