Fuerza gravitatoria resultante y órbita de la Tierra: leyes de Kepler

1. Cada bola m_2 y m_3 ejerce sobre m_1 una fuerza de atracción según la ley de Newton de la gravitación universal: \vec{F}_{12} = -G\frac{m_1 m_2}{r_{12}^{2}}\,\hat{u}_{12}, \qquad \vec{F}_{13} = -G\frac{m_1 m_3}{r_{13}^{2}}\,\hat{u}_{13}
2. Según el principio de superposición, el vector fuerza resultante es la suma vectorial de ambas: \vec{F}_{\text{res}} = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{13}
3. Se resuelve el vector suma en un plano cartesiano: las componentes se suman componente a componente, F_x = F_{12,x} + F_{13,x} y F_y = F_{12,y} + F_{13,y}, y la resultante apunta hacia el interior de la región definida por las dos bolas (hacia el centro de masa del sistema de las otras dos bolas).

1. El vector unitario se obtiene dividiendo el vector resultante entre su módulo: \hat{u} = \frac{\vec{F}_{\text{res}}}{\left|\vec{F}_{\text{res}}\right|}
2. Sus componentes son \hat{u}_x = \dfrac{F_x}{\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}}} y \hat{u}_y = \dfrac{F_y}{\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}}}.
3. Debe cumplirse \hat{u}_x^{2} + \hat{u}_y^{2} = 1 (módulo unitario) y su orientación es la misma que la de \vec{F}_{\text{res}}.

1. La fuerza gravitatoria entre dos masas depende solo de m_1, de la masa que ejerce la atracción y de la distancia entre ellas: F = G\frac{m_1 m_2}{r^{2}}.
2. G, m_1, m_2 y r no cambian al trasladar el conjunto a la Luna; solo cambia el campo gravitatorio externo (g_{\text{Luna}} \approx 1{,}62\ \text{m/s}^{2} vs. g_{\text{Tierra}} \approx 9{,}81\ \text{m/s}^{2}), que altera el peso pero no la interacción entre las bolas.
3. Como cada vector \vec{F}_{12} y \vec{F}_{13} mantiene módulo y dirección, su suma mantiene también módulo y dirección.

1. La órbita de la Tierra respecto al Sol es elíptica, con el Sol en uno de sus focos (primera ley de Kepler).
2. Perihelio: punto más cercano al Sol (r_p = 147\times10^{6}\ \text{km}). Afelio: punto más lejano (r_a = 152\times10^{6}\ \text{km}).
3. El semieje mayor es a = \frac{r_p + r_a}{2} = \frac{147 + 152}{2}\times10^{6} = 149{,}5\times10^{6}\ \text{km}; la excentricidad es e = \frac{r_a - r_p}{r_a + r_p} = \frac{152-147}{152+147} \approx 0{,}0167 (órbita casi circular).

1. La fuerza gravitatoria \vec{F} = G\frac{M_{\text{Sol}} m_{\text{Tierra}}}{r^{2}}\,\hat{u} es siempre central: apunta al Sol.
2. En el perihelio y el afelio la fuerza es puramente radial, perpendicular a la velocidad: solo cambia la dirección de \vec{v}, no su módulo.
3. En el resto de la órbita la fuerza tiene componente tangencial distinta de cero, que acelera o desacelera al planeta.

1. Según la segunda ley de Kepler (conservación del momento angular o áreas iguales en tiempos iguales): r_p v_p = r_a v_a
2. Despejo la velocidad en el afelio: v_a = v_p\,\frac{r_p}{r_a}
3. Sustituyo los valores: v_p = 30{,}3\ \text{km/s}, r_p = 147\times10^{6}\ \text{km}, r_a = 152\times10^{6}\ \text{km}: v_a = 30{,}3\ \text{km/s} \times \frac{147\times10^{6}\ \text{km}}{152\times10^{6}\ \text{km}} = 30{,}3 \times 0{,}9671 = 29{,}30\ \text{km/s}
4. Verificación de áreas: rac{r_p v_p}{2} = \frac{(147)(30{,}3)}{2} = 2227{,}05 y \frac{r_a v_a}{2} = \frac{(152)(29{,}3)}{2} = 2226{,}8, casi idénticos.

1. En el perihelio v_p = 30{,}3\ \text{km/s}; en el afelio v_a \approx 29{,}3\ \text{km/s}.
2. Por lo tanto v_p > v_a: la Tierra se mueve más rápido cuando está más cerca del Sol.
3. Justificación con la segunda ley de Kepler (áreas iguales en tiempos iguales): en un mismo intervalo de tiempo \Delta t, el radio vector barre áreas iguales; al estar más cerca, r es menor, así que la velocidad v debe ser mayor para que el área barrida sea la misma: \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r v = \text{constante}.
4. Coherencia con la ley de gravitación universal y la conservación de la energía: al acercarse, la energía potencial gravitatoria disminuye y la cinética aumenta (\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = \text{constante}).

¿Sabías qué?

El perihelio es el punto más cercano de la órbita de un cuerpo celeste alrededor del Sol y el afelio es el punto más alejado de la órbita; el afelio es el opuesto al perihelio.