Tres bolas de billar de 250 g están en las esquinas de un triángulo rectángulo con a = 40 cm, b = 30 cm, c = 50 cm. Calcular las fuerzas gravitatorias y la resultante sobre m_1.

F_12 ≈ 2.61×10^-12 N, F_13 ≈ 4.63×10^-12 N, F_23 ≈ 1.67×10^-12 N, F_1 ≈ 5.31×10^-12 N ( ≈ 29.4^)

Libro de Física 2 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

215/274

Gravitación universal: masa del Sol y fuerzas entre bolas de billar

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 215

215 de 274

Anterior Página 215 / 274 Siguiente

Respuesta rápida

Ej. 5: $M_{\text{Sol}} \approx 2.0 \times 10^{30}\,\text{kg}$ . Ej. 6: $F_{12} \approx 2.61 \times 10^{-12}\,\text{N}$ , $F_{13} \approx 4.63 \times 10^{-12}\,\text{N}$ , $F_{23} \approx 1.67 \times 10^{-12}\,\text{N}$ ; resultante sobre $m_{1}$ : $5.31 \times 10^{-12}\,\text{N}$ a $29.4^{\circ}$ sobre el eje $x$ .

📚 exercise fisica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 215

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 5

La Tierra describe una órbita circular alrededor del Sol de radio $r = 150$ millones de km y período $T = 365$ días. Determinar la masa del Sol.

Convierto las unidades al SI:
- $r = 150 \times 10^{6}\,\text{km} = 1.50 \times 10^{11}\,\text{m}$
- $T = 365\,\text{d} \times 86400\,\frac{\text{s}}{\text{d}} = 3.1536 \times 10^{7}\,\text{s}$
- $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\frac{\text{N}\cdot\text{m}^{2}}{\text{kg}^{2}}$
En la órbita circular la fuerza gravitatoria que ejerce el Sol sobre la Tierra es exactamente la fuerza centrípeta: $\frac{G\,M\,m}{r^{2}} = \frac{m\,v^{2}}{r}$
Como $v = \dfrac{2\pi r}{T}$ , entonces $\dfrac{v^{2}}{r} = \dfrac{4\pi^{2} r}{T^{2}}$ (segunda ley de Kepler). Al cancelar la masa terrestre $m$ obtengo: $\frac{G\,M}{r^{2}} = \frac{4\pi^{2} r}{T^{2}} \quad \Longrightarrow \quad M = \frac{4\pi^{2} r^{3}}{G\,T^{2}}$
Calculo los valores intermedios:
- $r^{3} = \left(1.50 \times 10^{11}\right)^{3} = 3.375 \times 10^{33}\,\text{m}^{3}$
- $T^{2} = \left(3.1536 \times 10^{7}\right)^{2} = 9.945 \times 10^{14}\,\text{s}^{2}$
Sustituyo en la expresión: $M = \frac{4\pi^{2}\left(3.375 \times 10^{33}\right)}{\left(6.67 \times 10^{-11}\right)\left(9.945 \times 10^{14}\right)} = \frac{1.332 \times 10^{35}}{6.633 \times 10^{4}} \approx 2.01 \times 10^{30}\,\text{kg}$

Respuesta

La masa del Sol es $M \approx 2.0 \times 10^{30}\,\text{kg}$ .

Ejercicio 6

Tres esferas de billar de masa $m = 250\,\text{g}$ cada una, ubicadas en las esquinas de un triángulo rectángulo con catetos $a = 40\,\text{cm}$ , $b = 30\,\text{cm}$ e hipotenusa $c = 50\,\text{cm}$ . Calcular las fuerzas gravitatorias y su resultante sobre la esfera $m_{1}$ (esquina inferior izquierda, origen del sistema $xy$ ).

Datos en unidades SI: $m = 250\,\text{g} = 0.25\,\text{kg}$ ; $a = 0.40\,\text{m}$ (eje $y$ ); $b = 0.30\,\text{m}$ (eje $x$ ); $c = 0.50\,\text{m}$ .
Verifico el triángulo rectángulo: $a^{2} + b^{2} = 0.16 + 0.09 = 0.25\,\text{m}^{2} = c^{2}$ . Se confirma que es rectángulo (teorema de Pitágoras).
Fuerza de $m_{2}$ sobre $m_{1}$ (separación $a = 0.40\,\text{m}$ ), dirigida hacia $+y$ : $F_{12} = \frac{G\,m_{1}\,m_{2}}{a^{2}} = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(0.25)(0.25)}{(0.40)^{2}} = \frac{4.169 \times 10^{-12}}{0.16} \approx 2.61 \times 10^{-12}\,\text{N}$
Fuerza de $m_{3}$ sobre $m_{1}$ (separación $b = 0.30\,\text{m}$ ), dirigida hacia $+x$ : $F_{13} = \frac{G\,m_{1}\,m_{3}}{b^{2}} = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(0.25)(0.25)}{(0.30)^{2}} = \frac{4.169 \times 10^{-12}}{0.09} \approx 4.63 \times 10^{-12}\,\text{N}$
Fuerza entre $m_{2}$ y $m_{3}$ (separación $c = 0.50\,\text{m}$ ): $F_{23} = \frac{G\,m_{2}\,m_{3}}{c^{2}} = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(0.25)(0.25)}{(0.50)^{2}} = \frac{4.169 \times 10^{-12}}{0.25} \approx 1.67 \times 10^{-12}\,\text{N}$
Componentes de la fuerza resultante sobre m_{1} (sobre m_{1} actúan F_{12} y F_{13}):
- $F_{x} = F_{13} = 4.63 \times 10^{-12}\,\text{N}$
- $F_{y} = F_{12} = 2.61 \times 10^{-12}\,\text{N}$
Magnitud de la resultante: $F_{1} = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2}} = \sqrt{(4.63 \times 10^{-12})^{2} + (2.61 \times 10^{-12})^{2}} = \sqrt{2.824 \times 10^{-23}} \approx 5.31 \times 10^{-12}\,\text{N}$
Dirección: el ángulo $\theta$ entre la resultante $F_{1}$ y la horizontal ( $F_{13}$ ): $\tan\theta = \frac{F_{12}}{F_{13}} = \frac{2.61 \times 10^{-12}}{4.63 \times 10^{-12}} = 0.5637 \quad \Longrightarrow \quad \theta = \arctan(0.5637) \approx 29.4^{\circ}$ (equivalentemente, con la vertical: $90^{\circ} - 29.4^{\circ} = 60.6^{\circ}$ ).
(Complementario) Si no hubiera apoyos, la aceleración de $m_{1}$ sería: $a_{1} = \frac{F_{1}}{m_{1}} = \frac{5.31 \times 10^{-12}}{0.25} \approx 2.13 \times 10^{-11}\,\text{m/s}^{2}$

Respuesta

$F_{12} \approx 2.61 \times 10^{-12}\,\text{N}$ (hacia arriba), $F_{13} \approx 4.63 \times 10^{-12}\,\text{N}$ (hacia la derecha), $F_{23} \approx 1.67 \times 10^{-12}\,\text{N}$ ; resultante sobre $m_{1}$ : $F_{1} \approx 5.31 \times 10^{-12}\,\text{N}$ a $\theta \approx 29.4^{\circ}$ sobre el eje $x$ .

Contenido de la página

5. Leo el siguiente planteamiento y realizo las actividades a continuación:

Si se sabe que la Tierra describe una órbita circular alrededor del Sol con un radio de 150 millones de kilómetros y que su período es de 365 días, determina cuál es la masa del Sol.

6. Leo el siguiente planteamiento y realizo las actividades a continuación:

En la figura a continuación se presenta una situación específica en un juego de billar, en el que las tres esferas de billar tienen una masa de 250 gramos y se colocan en las esquinas de la mesa. Las longitudes del triángulo rectángulo son $a = 40\,\text{cm}$ ; $b = 30\,\text{cm}$ y $c = 50\,\text{cm}$ . Con base en esta información, calculo lo siguiente:

Fuente: (Serway, 2008).

(Figura: mesa de billar con las esferas $m_{1}$ (esquina inferior izquierda), $m_{2}$ (esquina superior) y $m_{3}$ (esquina derecha); catetos $a$ (vertical), $b$ (horizontal) e hipotenusa $c$ ; sobre $m_{1}$ se muestran $F_{1}^{2}$ (vertical, desde $m_{2}$ ), $F_{1}^{3}$ (horizontal, desde $m_{3}$ ) y la resultante $F_{1}$ que forma el ángulo $\theta$ con la horizontal.)

Ejemplos resueltos

Determinar la masa del Sol si la Tierra orbita a $1.50 \times 10^{11}\,\text{m}$ con período de $3.1536 \times 10^{7}\,\text{s}$ .

$M = \dfrac{4\pi^{2}(3.375 \times 10^{33})}{(6.67 \times 10^{-11})(9.945 \times 10^{14})} \approx 2.01 \times 10^{30}\,\text{kg}$ .

Tabla

Magnitud	Valor	Distancia asociada
$F_{12}$ (m2 sobre m1)	$2.61\times10^{-12}\,\text{N}$ (hacia $+y$ )	$a = 0.40\,\text{m}$
$F_{13}$ (m3 sobre m1)	$4.63\times10^{-12}\,\text{N}$ (hacia $+x$ )	$b = 0.30\,\text{m}$
$F_{23}$ (m2 sobre m3)	$1.67\times10^{-12}\,\text{N}$	$c = 0.50\,\text{m}$
$F_{1}$ resultante sobre m1	$5.31\times10^{-12}\,\text{N}$	$\theta = 29.4^{\circ}$ sobre $x$

Diagramas (2)

flowchart TD
    A[Órbita circular de la Tierra] --> B[Fuerza gravitatoria = fuerza centrípeta]
    B --> C[GMm/r^2 = m v^2 / r]
    C --> D[v = 2 pi r / T]
    D --> E[M = 4 pi^2 r^3 / (G T^2)]
    E --> F[M del Sol = 2.0 x 10^30 kg]

flowchart LR
    m1[(m1)] -->|F12 vertical| m2[(m2)]
    m1 -->|F13 horizontal| m3[(m3)]
    m2 -->|F23 diagonal| m3
    m1 --> F1[Resultante F1 = 5.31e-12 N a 29.4°]

Fórmulas y ecuaciones

M = $\dfrac{4\pi^{2} r^{3}}{G\,T^{2}}$

F = $\dfrac{G\,m_{1}\,m_{2}}{r^{2}}$

$F_{R}$ = $\sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2}}$

F = $\frac{G\,m_{1}\,m_{2}}{r^{2}}$

$\frac{G\,M\,m}{r^{2}}$ = $\frac{m\,v^{2}}{r}$

M = $\frac{4\pi^{2} r^{3}}{G\,T^{2}}$

$F_{1}$ = $\sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2}}$

$\tan\theta$ = $\frac{F_{y}}{F_{x}}$

$T^{2}$ = $\frac{4\pi^{2} r^{3}}{G\,M}$

Glosario (5)

Ley de gravitación universal: Todo punto de materia atrae a cualquier otro con una fuerza directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa: $F = Gm_{1}m_{2}/r^{2}$.
Segunda ley de Kepler: Establece que el cuadrado del período orbital es proporcional al cubo de la semieje mayor: $T^{2} = 4\pi^{2}r^{3}/(GM)$.
Fuerza centrípeta: Fuerza dirigida hacia el centro de una trayectoria circular que cambia la dirección de la velocidad: $F_{c} = mv^{2}/r$.
Resultante de fuerzas: Vector suma de todas las fuerzas que actúan sobre un mismo cuerpo, que determina la aceleración según la segunda ley de Newton.
Constante G: Constante de gravitación universal, $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\frac{\text{N}\cdot\text{m}^{2}}{\text{kg}^{2}}$.

Preguntas para practicar

¿Por qué en el ejercicio 5 se puede cancelar la masa de la Tierra en la ecuación de fuerza?

Porque la masa de la Tierra aparece como factor común en los dos términos de la igualdad entre fuerza gravitatoria y fuerza centrípeta; al dividir entre ella se cancela. Esto significa que la órbita (radio y período) no depende de la masa del cuerpo que gira, sino únicamente de la masa del cuerpo central, el Sol.

¿Qué ocurriría con las fuerzas del ejercicio 6 si se duplica la masa de una de las bolas?

Al duplicar la masa de una esfera, las fuerzas que ella ejerce sobre y recibe de las demás se duplican (ya que $F$ es proporcional al producto de las masas), y la resultante sobre esa esfera cambiaría en módulo y dirección; se recomienda recomputar $F = Gm_{1}m_{2}/r^{2}$ con la nueva masa.

¿Por qué las fuerzas gravitatorias entre bolas de billar son tan pequeñas?

Porque la constante $G$ es extremadamente pequeña ($6.67\times10^{-11}\,\frac{\text{N}\cdot\text{m}^{2}}{\text{kg}^{2}}$) y las masas son pequeñas (0.25 kg). Las fuerzas del orden de $10^{-12}\,\text{N}$ son despreciables frente a la fricción de la mesa y al peso, por eso en la vida cotidiana no percibimos la atracción gravitatoria entre objetos pequeños.

Temas y conceptos clave

Ley de gravitación universalSegunda ley de KeplerFuerza centrípetaDescomposición y suma de vectores de fuerzaconstante de gravitación universal Gperiodo orbitalradio orbitalmasa centralfuerza gravitatoriaresultante de fuerzas

Fuentes y referencias

Serway, R. (2008). Física. Volumen 1.
https://n9.cl/p9dslr

¿Te fue útil esta página?

Figuras de la página (1)

Mesa de billar en perspectiva con tres esferas: m1 en la esquina inferior izquierda, m2 en la esquina superior izquierda y m3 en la esquina derecha. Un triángulo rectángulo dibujado con líneas punteadas une las tres esferas, con cateto vertical a = 40 cm, cateto horizontal b = 30 cm e hipotenusa c = 50 cm. Sobre m1 se representan las fuerzas: F1^2 vertical hacia arriba, F1^3 horizontal hacia la derecha, la resultante F1 en verde y el ángulo θ con la horizontal. Se incluyen ejes cartesianos x e y. Fuente: https://n9.cl/p9dslr. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la masa del Sol a partir de la órbita de la Tierra?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué leyes permiten relacionar el período de una órbita con la masa de un astro?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se determina la fuerza resultante gravitatoria sobre un cuerpo con más de un cuerpo fuente?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Ley de gravitación universal $F = Gm_{1}m_{2}/r^{2}$
• Fuerza centrípeta y velocidad circular
• Teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas
• Conversión de unidades (km, días, gramos a metros, segundos y kilogramos)

Siguiente tema sugerido

Gravedad cerca de la superficie terrestre y comparación con $G$ (página siguiente, 216)

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 738 caracteres

Leo el siguiente planteamiento y realizo las actividades a continuación:

Si se sabe que la Tierra describe una órbita circular alrededor del Sol con un radio de 150 millones de kilómetros y que su período es de 365 días, determina cuál es la masa del Sol.