Densidad de la Tierra mediante la ley de la gravitación universal

Determinar la densidad de la Tierra usando g = 9{,}81\;\text{m/s}^{2}, G = 6{,}67\times10^{-11}\;\dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^{2}}{\text{kg}^{2}} y el radio de la Tierra R = 6{,}37\times10^{6}\;\text{m}.

En la superficie de la Tierra, la gravedad es:

g = \frac{G\,M}{R^{2}}

De donde despejamos la masa:

M = \frac{g\,R^{2}}{G}

M = \frac{(9{,}81)\,(6{,}37\times10^{6})^{2}}{6{,}67\times10^{-11}}

M = \frac{9{,}81\times 4{,}0577\times10^{13}}{6{,}67\times10^{-11}} = \frac{3{,}9806\times10^{14}}{6{,}67\times10^{-11}}

M \approx 5{,}97\times10^{24}\;\text{kg}

V = \frac{4}{3}\,\pi\,R^{3} = \frac{4}{3}\,\pi\,(6{,}37\times10^{6})^{3}

V = \frac{4}{3}\,\pi\,(2{,}5847\times10^{20}) \approx 1{,}083\times10^{21}\;\text{m}^{3}

\rho = \frac{M}{V} = \frac{5{,}97\times10^{24}}{1{,}083\times10^{21}} \approx 5{,}51\times10^{3}\;\text{kg/m}^{3}

Vía abreviada. Sustituyendo M = \dfrac{gR^{2}}{G} en \rho = \dfrac{M}{\frac{4}{3}\pi R^{3}} se simplifica el radio:\

\rho = \frac{3\,g}{4\,\pi\,G\,R} = \frac{3\,(9{,}81)}{4\,\pi\,(6{,}67\times10^{-11})(6{,}37\times10^{6})} = \frac{29{,}43}{5{,}339\times10^{-3}}

\rho \approx 5{,}51\times10^{3}\;\text{kg/m}^{3}

Planteamiento (contexto de la actividad)

En términos generales, la densidad es una magnitud física escalar que resulta de la relación entre la masa y el volumen. Una de las alternativas para realizar este cálculo es aplicar la ley gravitacional universal.