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Enunciado: Completar la siguiente tabla para calcular la rapidez de escape de cada cuerpo astronómico, realizando los cálculos necesarios y tomando en cuenta el valor de la masa terrestre y el valor del radio terrestre (masa y radio expresados en unidades terrestres).
Paso 1. Fórmula general de la rapidez de escape
La rapidez de escape de un cuerpo de masa M y radio R es:
v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}
con G = 6.67\times10^{-11}\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2.
Paso 2. Referencia terrestre
Tomamos los valores de la Tierra:
M_{\oplus} = 5.97\times10^{24}\,\text{kg},\qquad R_{\oplus} = 6.37\times10^{6}\,\text{m}
v_{e,\oplus} = \sqrt{\frac{2(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})}{6.37\times10^{6}}} \approx 1.12\times10^{4}\,\text{m/s} = 11.2\,\text{km/s}
Paso 3. Ley de escalado
Si M = m\,M_{\oplus} y R = r\,R_{\oplus} (siendo m y r los datos de la tabla):
v_e = \sqrt{\frac{2G\,m\,M_{\oplus}}{r\,R_{\oplus}}} = v_{e,\oplus}\sqrt{\frac{m}{r}} = 11.2\,\text{km/s}\times\sqrt{\frac{m}{r}}
Así, basta dividir la raíz de la masa entre la raíz del radio (ambas en unidades terrestres) y multiplicar por 11.2\,\text{km/s}.
Paso 4. Sustitución para cada cuerpo
Sol:
v_e = 11.2\times\sqrt{\frac{318}{11}} = 11.2\times\frac{17.832}{3.317} = 11.2\times5.377 = 60.2\,\text{km/s}
Sol (a distancia de la órbita terrestre):
v_e = 11.2\times\sqrt{\frac{95.2}{9.1}} = 11.2\times\frac{9.757}{3.017} = 11.2\times3.234 = 36.2\,\text{km/s}
Júpiter:
v_e = 11.2\times\sqrt{\frac{17.1}{3.9}} = 11.2\times\frac{4.135}{1.975} = 11.2\times2.094 = 23.5\,\text{km/s}
Saturno:
v_e = 11.2\times\sqrt{\frac{14.5}{4}} = 11.2\times\frac{3.808}{2.000} = 11.2\times1.904 = 21.3\,\text{km/s}
Neptuno:
v_e = 11.2\times\sqrt{\frac{1}{1}} = 11.2\times1.000 = 11.2\,\text{km/s}
Urano:
v_e = 11.2\times\sqrt{\frac{0.82}{0.95}} = 11.2\times\sqrt{0.863} = 11.2\times0.929 = 10.4\,\text{km/s}
Tierra:
v_e = 11.2\times\sqrt{\frac{0.11}{0.53}} = 11.2\times\sqrt{0.208} = 11.2\times0.456 = 5.1\,\text{km/s}
Venus:
v_e = 11.2\times\sqrt{\frac{0.055}{0.38}} = 11.2\times\sqrt{0.145} = 11.2\times0.380 = 4.3\,\text{km/s}
Marte:
v_e = 11.2\times\sqrt{\frac{0.0123}{0.27}} = 11.2\times\sqrt{0.0456} = 11.2\times0.213 = 2.4\,\text{km/s}
Paso 5. Verificación con el método directo (ejemplo con el Sol)
Masa: M = 318\times5.97\times10^{24} = 1.899\times10^{27}\,\text{kg}; radio: R = 11\times6.37\times10^{6} = 7.007\times10^{7}\,\text{m}.
v_e = \sqrt{\frac{2(6.67\times10^{-11})(1.899\times10^{27})}{7.007\times10^{7}}} = \sqrt{3.60\times10^{9}} = 6.00\times10^{4}\,\text{m/s} = 60.0\,\text{km/s}
El resultado coincide con el de la ley de escalado (\approx 60.2\,\text{km/s}), salvo diferencias por redondeo.
Paso 6. Tabla completada
| Cuerpo astronómico | Masa (M_{\oplus}) | Radio (R_{\oplus}) | Cálculos | Rapidez de escape (km/s) |
|---|---|---|---|---|
| Sol | 318 | 11 | 11.2\sqrt{318/11} | 60.2 |
| Sol (a distancia de la órbita terrestre) | 95.2 | 9.1 | 11.2\sqrt{95.2/9.1} | 36.2 |
| Júpiter | 17.1 | 3.9 | 11.2\sqrt{17.1/3.9} | 23.5 |
| Saturno | 14.5 | 4 | 11.2\sqrt{14.5/4} | 21.3 |
| Neptuno | 1 | 1 | 11.2\sqrt{1/1} | 11.2 |
| Urano | 0.82 | 0.95 | 11.2\sqrt{0.82/0.95} | 10.4 |
| Tierra | 0.11 | 0.53 | 11.2\sqrt{0.11/0.53} | 5.1 |
| Venus | 0.055 | 0.38 | 11.2\sqrt{0.055/0.38} | 4.3 |
| Marte | 0.0123 | 0.27 | 11.2\sqrt{0.0123/0.27} | 2.4 |
Interpretación: el Sol (y su valor a la distancia de la órbita terrestre) exige velocidades enormes para escapar; los planetas gigantes superan los 20\,\text{km/s}; los planetas terrestres, entre 2 y 6 km/s según los datos de la tabla.
Nota de integridad: los datos numéricos de la tabla del libro no coinciden con los valores astronómicos reales (por ejemplo, en la Tierra real m = 1 y r = 1, y el Sol tiene m \approx 3.33\times10^{5} y r \approx 109). Se resuelve la actividad con los datos tal como aparecen impresas, que es lo que pide el enunciado.
