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Radiación de cuerpo negro, espectro visible y ley de Wien

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a.i) Argumento: todos los cuerpos a $T>0$ K emiten, $E=\sigma T^4>0$ . a.ii) Argumento: emiten infrarrojo, $\lambda_{max}\approx9,7\,\mu$ m, fuera del visible. b.i) $400\leq\lambda\leq700$ nm. b.ii) $T\approx7245$ K. b.iii) Sí, $400$ nm es el borde del violeta visible. b.iv) $T\approx5175$ K.

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 228

Fisica 2° · 2024

Ejercicio a

i)

Enunciado: Sobre la radiación de un cuerpo oscuro, argumento o refuto: "Todos los objetos emiten energía".

Todo objeto cuya temperatura sea mayor que el cero absoluto ( $T > 0 \, \text{K}$ ) emite energía en forma de radiación electromagnética, de acuerdo con la teoría de la radiación de cuerpo negro (Planck, Stefan-Boltzmann).
La ley de Stefan-Boltzmann establece que la energía emitida por unidad de área y de tiempo es $E = \sigma T^{4}$ , donde $\sigma = 5,67 \times 10^{-8} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-4}$ .
Como $T^{4} > 0$ para todo $T > 0 \, \text{K}$ , la energía emitida siempre es distinta de cero (solo se anula en el cero absoluto).
Por lo tanto, la afirmación es verdadera.

Respuesta

Argumento (afirmación verdadera).** Todo objeto a temperatura distinta del cero absoluto emite radiación térmica, $E = \sigma T^{4} > 0$ .

Ejercicio a

ii)

Enunciado: "El ojo humano no es capaz de ver todos los objetos que existen en un cuarto que carece de luz o está obscuro."

La visión humana solo percibe radiación electromagnética dentro del rango visible, aproximadamente $400 \, \text{nm} \leq \lambda \leq 700 \, \text{nm}$ .
Un cuerpo a temperatura ambiente (por ejemplo $T \approx 300 \, \text{K}$ ) tiene su pico de emisión según la ley de Wien: $\lambda_{\text{max}} = \dfrac{b}{T} = \dfrac{2,898 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot \text{K}}{300 \, \text{K}} \approx 9,7 \times 10^{-6} \, \text{m} = 9,7 \, \mu\text{m}$ .
Como $9,7 \, \mu\text{m}$ está muy por encima de $700 \, \text{nm}$ , esos objetos emiten principalmente en el infrarrojo, fuera del rango visible.
Además, en un cuarto obscuro no hay radiación visible incidente que reflejen las superficies, así que no llega luz a la retina.
Por lo tanto, la afirmación es verdadera: el ojo humano no ve los objetos que solo emiten (o reflejan) radiación fuera de la banda visible.

Respuesta

Argumento (afirmación verdadera).** Los cuerpos a temperatura ambiente irradian en el infrarrojo ( $\lambda_{\text{max}} \approx 9,7 \, \mu\text{m}$ ), fuera del rango visible ( $400$ – $700 \, \text{nm}$ ), y en la oscuridad no hay luz que reflejen.

Ejercicio b

i)

Enunciado: ¿Cuál es el rango de la longitud de onda de la luz visible?

El ojo humano responde a la radiación electromagnética en la llamada ventana visible.
Desde el borde de la banda ultravioleta hasta el borde de la infrarroja cercana:
- Límite corto (violeta): $\lambda_{\text{min}} \approx 400 \, \text{nm} = 4,0 \times 10^{-7} \, \text{m}$ .
- Límite largo (rojo): $\lambda_{\text{max}} \approx 700 \, \text{nm} = 7,0 \times 10^{-7} \, \text{m}$ .
Algunas fuentes extienden el rango de $380 \, \text{nm}$ a $750 \, \text{nm}$ , pero el intervalo típico usado en el libro es de $400$ a $700 \, \text{nm}$ .

Respuesta

$\lambda \in [400 \, \text{nm}; \, 700 \, \text{nm}]$ , es decir, $4,0 \times 10^{-7} \, \text{m} \leq \lambda \leq 7,0 \times 10^{-7} \, \text{m}$ .

Ejercicio b

ii)

Enunciado: ¿Cuál es la temperatura de un cuerpo negro cuya radiación ocurre a los $400 \, \text{nm}$ ?

Se aplica la ley de desplazamiento de Wien: $\lambda_{\text{max}} T = b$ , con $b = 2,898 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot \text{K}$ .
Se despeja la temperatura: $T = \dfrac{b}{\lambda_{\text{max}}}$ .
Sustitución con $\lambda_{\text{max}} = 400 \, \text{nm} = 4,0 \times 10^{-7} \, \text{m}$ : $T = \frac{2,898 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot \text{K}}{4,0 \times 10^{-7} \, \text{m}}$
Resolución: $T = 7,245 \times 10^{3} \, \text{K} \approx 7245 \, \text{K}$ .

Respuesta

$T \approx 7245 \, \text{K}$ (aproximadamente $7,25 \times 10^{3} \, \text{K}$ ).

Ejercicio b

iii)

Enunciado: ¿A los $400 \, \text{nm}$ es posible detectar o percibir con el ojo humano la radiación de un cuerpo negro?

El límite inferior del rango visible es de aproximadamente $400 \, \text{nm}$ (violeta).
Como $400 \, \text{nm}$ coincide con ese límite, la radiación emitida por el cuerpo negro con pico en $400 \, \text{nm}$ se distribuye tanto en el borde ultravioleta como en el borde del violeta visible.
La sensibilidad ocular en esa zona es muy baja (mínimo de la curva de sensibilidad), pero no nula: aún queda respuesta al estímulo.
Por lo tanto, sí es posible detectarla, aunque con baja intensidad perceptual; por debajo de $\approx 380 \, \text{nm}$ ya sería radiación ultravioleta invisible.

Respuesta

Sí**, es posible percibirla: $400 \, \text{nm}$ está justo en el borde del rango visible (violeta), aunque la sensibilidad del ojo es mínima en ese extremo.

Ejercicio b

iv)

Enunciado: ¿Cuál es la temperatura del cuerpo negro cuando su pico de radiación equivale a $560 \, \text{nm}$ de longitud de onda?

Se usa nuevamente la ley de Wien: $T = \dfrac{b}{\lambda_{\text{max}}}$ .
Sustitución con $\lambda_{\text{max}} = 560 \, \text{nm} = 5,6 \times 10^{-7} \, \text{m}$ : $T = \frac{2,898 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot \text{K}}{5,6 \times 10^{-7} \, \text{m}}$
Resolución: $T = 5,175 \times 10^{3} \, \text{K} \approx 5175 \, \text{K}$ .
Verificación de coherencia: como $560 \, \text{nm} > 400 \, \text{nm}$ , debe cumplirse $T_{560} < T_{400}$ , y en efecto $5175 \, \text{K} < 7245 \, \text{K}$ , lo que es consistente con $\lambda_{\text{max}} \propto \dfrac{1}{T}$ .

Respuesta

$T \approx 5175 \, \text{K}$ (aproximadamente $5,18 \times 10^{3} \, \text{K}$ ).

Contenido de la página

Radiación de cuerpo negro y espectro visible

Con base en los conceptos de radiación de un cuerpo negro, del efecto fotoeléctrico, de la radiación electromagnética y del principio de incertidumbre de Heisenberg, se responden las siguientes preguntas.

a) Sobre la radiación de un cuerpo oscuro, argumento o refuto las siguientes afirmaciones

i) Todos los objetos emiten energía.

ii) El ojo humano no es capaz de ver todos los objetos que existen en un cuarto que carece de luz o está obscuro.

b) El ojo humano tiene una máxima sensibilidad a la luz de $560 \, \text{nm}$ . Por tanto, respondo

i) ¿Cuál es el rango de la longitud de onda de la luz visible?

ii) ¿Cuál es la temperatura de un cuerpo negro cuya radiación ocurre a los $400 \, \text{nm}$ ?

iii) ¿A los $400 \, \text{nm}$ es posible detectar o percibir con el ojo humano la radiación de un cuerpo negro?

iv) ¿Cuál es la temperatura del cuerpo negro cuando su radio está en el punto más intenso equivalente a $560 \, \text{nm}$ de longitud de onda?

Diagrama de la página: Diagrama vertical del espectro de radiación electromagnética, con frecuencia ( $\text{Hz}$ ) en el eje izquierdo (de $10^{20}$ a $10^{0}$ ) y longitud de onda en el eje derecho (de $1 \, \text{pm}$ a $1 \, \text{km}$ ). De arriba hacia abajo: rayos gamma, rayos X, ultravioleta, luz visible, infrarrojo, microondas, TV AM, ondas de radio, AM y ondas de radio. Un recuadro amplía la banda visible con el arco cromático: violeta ( $400 \, \text{nm}$ ), azul, verde, amarillo, naranja y rojo ( $700 \, \text{nm}$ ). Fuente: https://n9.cv/sizk3.

Nota: el enunciado menciona el efecto fotoeléctrico y el principio de incertidumbre de Heisenberg como contexto conceptual de la unidad, pero las preguntas concretas de esta página se centran en la radiación de cuerpo negro y el espectro visible.

Ejemplos resueltos

Calcular la temperatura de un cuerpo negro cuya radiación máxima ocurre a $400 \, \text{nm}$ .

Convertir: $\lambda_{\text{max}} = 400 \, \text{nm} = 4,0 \times 10^{-7} \, \text{m}$ .
Aplicar Wien: $T = \dfrac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \dfrac{2,898 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot \text{K}}{4,0 \times 10^{-7} \, \text{m}}$ .
$T = 7245 \, \text{K}$ .

Estimar la longitud de onda de máxima emisión de un cuerpo a temperatura ambiente ( $300 \, \text{K}$ ).

$\lambda_{\text{max}} = \dfrac{b}{T} = \dfrac{2,898 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot \text{K}}{300 \, \text{K}} \approx 9,7 \times 10^{-6} \, \text{m} = 9,7 \, \mu\text{m}$ , es decir, en el infrarrojo cercano.

Tabla

Magnitud	Valor	Uso en el ejercicio
$b$ (constante de Wien)	$2,898 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot \text{K}$	$T = b/\lambda_{\text{max}}$
$\lambda$ visible	$400$ – $700 \, \text{nm}$	Rango del ojo humano
$\lambda_{\text{max}} = 400 \, \text{nm}$	$T \approx 7245 \, \text{K}$	b.ii
$\lambda_{\text{max}} = 560 \, \text{nm}$	$T \approx 5175 \, \text{K}$	b.iv
$\sigma$ (Stefan-Boltzmann)	$5,67 \times 10^{-8} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-4}$	Energía emitida $E=\sigma T^4$

Diagrama

graph TD
  A[Rayos gamma<br/>λ < 1 nm] --> B[Rayos X<br/>1 nm < λ < 10 nm]
  B --> C[Ultravioleta<br/>10 nm < λ < 400 nm]
  C --> D[Luz visible<br/>400 nm a 700 nm<br/>Violeta-Azul-Verde-Amarillo-Naranja-Rojo]
  D --> E[Infrarrojo<br/>700 nm < λ < 1 mm]
  E --> F[Microondas<br/>1 mm < λ < 1 m]
  F --> G[Ondas de radio<br/>AM y TV<br/>λ > 1 m]

Fórmulas y ecuaciones

Ley de desplazamiento de Wien: $\lambda_{\text{max}} T = b = 2,898 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot \text{K}$

Ley de Stefan-Boltzmann: $E = \sigma T^{4}$ con $\sigma = 5,67 \times 10^{-8} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-4}$

$\lambda_{$ $\text{max}$ } T = b

T = $\frac{b}{\lambda_{\text{max}}}$

E = $\sigma$ $T^{4}$

$\lambda_{$ $\text{max}$ } = $\frac{b}{T}$

b = 2,898 $\times$ $10^{-3}$ $\$ , $\text{m}$ $\cdot$ $\text{K}$

c = $\lambda$ f

Glosario (8)

Cuerpo negro: Objeto ideal que absorbe toda la radiación incidente y, a su temperatura, emite la máxima radiación posible; su espectro depende únicamente de la temperatura.
Ley de Wien: Relación $\lambda_{\text{max}} T = b$ que permite hallar la longitud de onda de máxima emisión de un cuerpo negro a partir de su temperatura absoluta.
Constante de Wien ($b$): Constante física de valor $2,898 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot \text{K}$ que interviene en la ley de desplazamiento de Wien.
Luz visible: Porción del espectro electromagnético perceptible por el ojo humano, entre aproximadamente $400 \, \text{nm}$ (violeta) y $700 \, \text{nm}$ (rojo).
Infrarrojo: Radiación electromagnética de longitud de onda mayor que la del rojo ($\lambda > 700 \, \text{nm}$), asociada a la emisión térmica de cuerpos a temperatura ambiente.
Temperatura absoluta: Temperatura medida en kelvin (K) desde el cero absoluto ($0 \, \text{K} \approx -273,15 \, ^\circ\text{C}$), escala utilizada en las leyes de radiación.
Principio de incertidumbre de Heisenberg: Principio cuántico que limita la precisión simultánea con que pueden conocerse la posición y el momento de una partícula.
Efecto fotoeléctrico: Emisión de electrones al incide luz sobre un material; evidencia que la luz se comporta como paquetes de energía (fotones).

Preguntas para practicar

¿Por qué los objetos calientes lucen rojizos y luego blancos?

Al aumentar la temperatura, el pico de emisión de un cuerpo negro se desplaza hacia longitudes de onda más cortas (ley de Wien). Un objeto a unos $800\,\text{K}$ emite principalmente en el infrarrojo y un poco de rojo ($\lambda_{\text{max}} \approx 3{,}6\,\mu\text{m}$); al superar $1000\,\text{K}$ su emisión visible se intensifica y aparece el color rojo; a temperaturas mayores ($> 5000\,\text{K}$) el espectro abarca todas las longitudes de onda visibles y el objeto se ve blanco, como el Sol ($\approx 5800\,\text{K}$, con $\lambda_{\text{max}} \approx 500\,\text{nm}$).

¿Qué relación existe entre el efecto fotoeléctrico y la ley de Wien?

Ambos fenómenos se explican desde la naturaleza cuántica de la radiación. En el efecto fotoeléctrico, un fotón de energía $E = hf$ arranca electrones si su energía supera la función de trabajo, lo que exige una frecuencia umbral. En la ley de Wien, la distribución del espectro de un cuerpo negro depende de la temperatura, y el pico de emisión se desplaza como $\lambda_{\text{max}} = b/T$. Complementariamente, el principio de incertidumbre de Heisenberg impide describir simultáneamente con exactitud la posición y el momento del electrón expulsado.

Temas y conceptos clave

Radiación de cuerpo negroLey de desplazamiento de WienEspectro electromagnético y luz visibleEmisión térmica y temperatura absolutaCuerpo negroRadiación térmicaLey de Wien ($\lambda_{\text{max}} T = b$)Constante de Wien $b = 2,898 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot \text{K}$Ventana visible del ojo humano (400–700 nm)InfrarrojoEfecto fotoeléctricoPrincipio de incertidumbre de Heisenberg

Fuentes y referencias

https://n9.cv/sizk3 (diagrama del espectro electromagnético)

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Figuras de la página (1)

Diagrama vertical del espectro de radiación electromagnética con el eje de frecuencia en Hz (izquierda, de 10^20 a 10^0) y el de longitud de onda (derecha, de 1 pm a 1 km). Etiqueta las bandas: rayos gamma, rayos X, ultravioleta, luz visible, infrarrojo, microondas, TV AM, ondas de radio, AM y ondas de radio. Un recuadro amplía la banda visible con el arco cromático de violeta (400 nm) a rojo (700 nm). — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué dice la ley de desplazamiento de Wien y para qué sirve?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué no podemos ver en la oscuridad los objetos que están a temperatura ambiente?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es el rango de longitudes de onda que el ojo humano puede percibir?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Concepto de longitud de onda, frecuencia y su relación $c = \lambda f$
• Conocimiento del espectro electromagnético y sus bandas (rayos gamma, X, UV, visible, infrarrojo, microondas, ondas de radio)
• Energía de un fotón y el efecto fotoeléctrico
• Noiones de temperatura absoluta en kelvin y cero absoluto

Siguiente tema sugerido

Efecto fotoeléctrico: ecuación de Einstein, función de trabajo y relación entre frecuencia umbral y energía de enlace

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 981 caracteres

crecen He Leni dena Con base en los conceptos de radiación de un AS cuerpo negro, del efecto fotoeléctrico, de la we Pepe d.. radiación electromagnética y del principio de aT y 2 4 incertidumbre de Heisenberg, respondo las =P q J... corn siguientes preguntas:

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Fuente: https://n9.cl/sizk3

a) Sobre la radiación de un cuerpo oscuro, argumento o refuto las siguientes afirmaciones. i) Todos los objetos emiten energía.

ii) El ojo humano no es capaz de ver todos los objetos que existen en un cuarto que carece de luz o está obscuro.

b) El ojo humano tiene una máxima sensibilidad a la luz de 560 nm. Por tanto, respondo: i) ¿Cuál es el rango de la longitud de onda de la luz visible?

'8 y X y iii) ¿A los 400 nm es posible detectar o percibir con el ojo humano la radiación de un cuerpo negro?

'8 y

iv) ¿Cuál es la temperatura del cuerpo negro cuando su radio está en el punto más intenso equivalente a 560 nm de longitud de onda?

Texto de Física (777

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