Con sensores de exactitud del 0,002%, estimar la incertidumbre mínima en la posición del electrón.

x = 2 × 10^-5 x ≤ft(≈ 2 × 10^-15 m)

Libro de Física 2 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Incertidumbre en mediciones y longitud de onda de Broglie de neutrones

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Respuesta rápida

3.a) Δx = 2×10⁻⁵·x; para x ≈ 10⁻¹⁰ m, Δx ≈ 2×10⁻¹⁵ m. 3.b) Δx′ = 9×10⁻⁵·x (4,5 veces mayor); menor exactitud ⇒ mayor incertidumbre. 4.a) λ ≈ 7,91×10⁻⁷ m ≈ 0,79 μm. 4.b) y ≈ 6,3×10⁻³ m ≈ 6,3 mm. 4.c) No: medir la rejilla por la que pasó destruye el patrón de interferencia (complementariedad).

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Solución — Página 230

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 3

En un instituto de física se realizan experimentos con rayos de luz y perturbaciones; los sensores muestran información de rapidez y posición con una exactitud del $0{,}002\%$ . Se pide estimar la incertidumbre mínima en la posición del electrón y analizar el efecto de cambiar la exactitud al $0{,}009\%$ .

Parte 3.a

La incertidumbre relativa de un instrumento se expresa como el porcentaje de exactitud indicado: $0{,}002\%$ .
Se convierte a fracción: $0{,}002\% = \dfrac{0{,}002}{100} = 2 \times 10^{-5}$ (es decir, una parte por cada $50\,000$ ).
La incertidumbre absoluta en la posición es la fracción del valor medido: $\Delta x = \left(2 \times 10^{-5}\right) \cdot x$ .
La posición típica de un electrón en un átomo es del orden de $x \approx 10^{-10}\,\text{m}$ (radio de Bohr). Sustituyendo: $\Delta x = 2 \times 10^{-5} \times 10^{-10}\,\text{m} = 2 \times 10^{-15}\,\text{m}$ .

Respuesta

la incertidumbre mínima es el $0{,}002\%$ de la posición: $\Delta x = 2 \times 10^{-5}\, x$ ; para un electrón a $x \approx 10^{-10}\,\text{m}$ , $\Delta x \approx 2 \times 10^{-15}\,\text{m}$ , es decir, una incertidumbre del orden de $2$ femtómetros.

Parte 3.b

Nueva exactitud: $0{,}009\% = \dfrac{0{,}009}{100} = 9 \times 10^{-5}$ .
La nueva incertidumbre absoluta es $\Delta x' = \left(9 \times 10^{-5}\right) \cdot x$ .
Se compara con la anterior: $\dfrac{\Delta x'}{\Delta x} = \dfrac{9 \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-5}} = 4{,}5$ . La incertidumbre crece $4{,}5$ veces.
Para $x \approx 10^{-10}\,\text{m}$ : $\Delta x' = 9 \times 10^{-5} \times 10^{-10}\,\text{m} = 9 \times 10^{-15}\,\text{m}$ .

Respuesta

al cambiar la exactitud de $0{,}002\%$ a $0{,}009\%$ la incertidumbre aumenta en un factor $4{,}5$ ( $\Delta x' = 9 \times 10^{-5}\,x$ ). Conclusión: a menor exactitud del instrumento, mayor incertidumbre y menor confiabilidad de la medición; para determinar posiciones subatómicas se requieren instrumentos de altísima exactitud.

Ejercicio 4

Neutrones que pasan por un par de rejillas separadas por $d = 1{,}25\,\text{mm}$ , con rapidez $v = 0{,}5\,\text{m/s}$ ; los detectores están a $L = 10\,\text{m}$ de las rejillas. Se usa $h = 6{,}626 \times 10^{-34}\,\text{J} \cdot \text{s}$ y $m_n = 1{,}675 \times 10^{-27}\,\text{kg}$ .

Parte 4.a

Se convierte la separación: $d = 1{,}25\,\text{mm} = 1{,}25 \times 10^{-3}\,\text{m}$ .
Se aplica la longitud de onda de de Broglie: $\lambda = \dfrac{h}{m_n\, v}$ .
Se calcula el momento lineal: $p = m_n\, v = 1{,}675 \times 10^{-27} \times 0{,}5 = 8{,}375 \times 10^{-28}\,\text{kg} \cdot \text{m/s}$ .
Se sustituye: $\lambda = \dfrac{6{,}626 \times 10^{-34}}{8{,}375 \times 10^{-28}} = 7{,}91 \times 10^{-7}\,\text{m}$ .

Respuesta

$\lambda \approx 7{,}91 \times 10^{-7}\,\text{m} = 0{,}79\,\mu\text{m}$ , del orden de la radiación infrarroja, muy superior a $d$ , por lo que los neutrones difractan notablemente.

Parte 4.b

La condición de máximo de orden $m = 1$ en un patrón de doble rendija (o difracción) es $d\,\sin\theta = \lambda$ .
Despejándose: $\sin\theta_1 = \dfrac{\lambda}{d} = \dfrac{7{,}91 \times 10^{-7}}{1{,}25 \times 10^{-3}} = 6{,}33 \times 10^{-4}\,\text{rad}$ (ángulo muy pequeño, se puede usar $θ \approx \sin\theta$ ).
La posición sobre el detector es $y = L\,\tan\theta_1 \approx L\,\sin\theta_1$ .
Sustituyendo: $y = 10\,\text{m} \times 6{,}33 \times 10^{-4} = 6{,}33 \times 10^{-3}\,\text{m}$ .

Respuesta

el primer punto de intensidad se forma aproximadamente a $y \approx 6{,}3 \times 10^{-3}\,\text{m} = 6{,}3\,\text{mm}$ del eje central.

Parte 4.c

Para saber a qué rejilla pasó un neutrón sería necesario conocer su posición con una precisión del orden de la separación entre rejillas ( $\Delta x \sim d = 1{,}25 \times 10^{-3}\,\text{m}$ ).
Por el principio de incertidumbre de Heisenberg, determinar esa posición con esa precisión exige fotones (u otro instrumento) con $\lambda_{\text{sonda}} \sim d$ , es decir, irradiar con la misma longitud de onda que el neutrón.
Esa irradiación cambiaría el momento del neutrón ( $\Delta p \sim h/d$ ), alterando drásticamente la fase relativa entre las dos trayectorias y destruyendo el patrón de interferencia.
Además, por el principio de complementariedad, no puede observarse simultáneamente el comportamiento de partícula (trayectoria definida) y el de onda (interferencia).

Verificación (4.a): $\lambda\,d = 7{,}91\times10^{-7} \times 1{,}25\times10^{-3} = 9{,}89\times10^{-10}\,\text{m}^2$ y $\lambda L/d = 7{,}91\times10^{-7}\times10/1{,}25\times10^{-3} = 6{,}33\times10^{-3}\,\text{m}$ , consistente con la separación de los máximos.

Respuesta

No es posible saber simultáneamente a través de qué rejilla pasó el neutrón. Medir su trayectoria destruye el patrón de interferencia: los fenómenos de partícula y de onda son complementarios, no coexisten en el mismo experimento.

Contenido de la página

Problemas de incertidumbre y onda de de Broglie

3. Exactitud de los sensores de laboratorio

En un instituto de física se realizan experimentos mediante rayos de luz y perturbaciones. Los sensores de laboratorio muestran información de rapidez y posición con una exactitud de $0{,}002\%$ .

a) Estimo la incertidumbre mínima para determinar la posición del electrón.

b) Si la exactitud cambia a $0{,}009\%$ , entonces la incertidumbre también cambia. Realizo el cálculo y emito una conclusión referente a la exactitud.

4. Neutrones, rejillas y detectores

A través de un par de rejillas separadas entre sí por $1{,}25\,\text{mm}$ pasan neutrones que viajan a una rapidez de $0{,}5\,\text{m/s}$ . Si a $10\,\text{metros}$ de las rejillas se coloca un grupo de sensores detectores:

a) ¿Cuál es la longitud de onda de Broglie de los neutrones?

b) ¿Qué tan alejado del eje está el primer punto de intensidad sobre el grupo de sensores?

c) Si un neutrón llega a un sensor detector, ¿es posible saber a través de qué rejilla pasó dicho neutrón? Argumento mi respuesta.

Ejemplos resueltos

Calcular la incertidumbre en la posición de un electrón a $10^{-10}\,\text{m}$ con un sensor de exactitud $0{,}002\%$ .

$0{,}002\% = 2\times10^{-5}$ . Entonces $\Delta x = 2\times10^{-5} \times 10^{-10}\,\text{m} = 2\times10^{-15}\,\text{m}$ . La posición debe reportarse como $x = (1{,}00000 \pm 0{,}00002)\times10^{-10}\,\text{m}$ .

Tabla

Magnitud	Valor	Unidad	Observación
Exactitud de los sensores	0,002	%	$2 \times 10^{-5}$
Exactitud alternativa	0,009	%	$9 \times 10^{-5}$ (4,5 veces mayor)
Separación de rejillas $d$	1,25	mm	$1{,}25 \times 10^{-3}$ m
Rapidez de los neutrones $v$	0,5	m/s
Distancia al detector $L$	10	m
Masa del neutrón $m_n$	$1{,}675 \times 10^{-27}$	kg
Longitud de onda $\lambda$	$7{,}91 \times 10^{-7}$	m	≈ 0,79 μm
Posición del primer máximo $y$	$6{,}33 \times 10^{-3}$	m	≈ 6,3 mm

Diagrama

flowchart LR
  A[Exactitud 0,002%] --> B[Incetidumbre relativa 2×10⁻⁵]
  A --> C[Incetidumbre absoluta Δx = 2×10⁻⁵·x]
  D[Exactitud 0,009%] --> E[Incetidumbre relativa 9×10⁻⁵]
  D --> F[Incetidumbre absoluta Δx′ = 4,5·Δx]
  C --> G[Mayor exactitud = mayor precisión]
  F --> G

Fórmulas y ecuaciones

$\lambda$ = $\dfrac{h}{m\,v}$

$\Delta$ x = ( $\text{exactitud}$ $\,\%)$ $\times$ x

$d\,\sin\theta$ = $m\,\lambda$

y = $\dfrac{L\,\lambda}{d}$ $\$ , $\text{ para el primer máximo}$

0{,}002% = $\frac{0{,}002}{100}$ = 2 $\times$ $10^{-5}$

$\Delta$ x = $\left(2$ $\times$ $10^{-5}\right)$ $\cdot$ x

0{,}009% = 9 $\times$ $10^{-5}$

$\lambda$ = $\frac{h}{m_n \, v}$

p = $m_n$ $\$ , v = 8{,}375 $\times$ $10^{-28}\$ , $\text{kg}$ $\cdot$ $\text{m/s}$

d $\$ , $\sin\theta$ = $\lambda$ $\quad$ (m = 1)

y = L $\$ , $\tan\theta$ $\approx$ L $\$ , $\sin\theta$ = $\frac{L\,\lambda}{d}$

$\Delta$ x $\$ , $\Delta$ p $\ge$ $\frac{h}{4\pi}$

Glosario (6)

Exactitud: Cercanía entre el valor medido y el valor verdadero; en los instrumentos se expresa como un porcentaje que fija el rango de incertidumbre.
Incertidumbre: Rango de valores compatibles con la medición; aquí se calcula como el porcentaje de exactitud multiplicado por el valor medido.
Longitud de onda de de Broglie: Longitud de onda asociada a cualquier partícula en movimiento, dada por λ = h/(m·v).
Momento lineal: Producto de la masa por la velocidad de un cuerpo, p = m·v; en cuántica se asocia con λ = h/p.
Patrón de difracción: Distribución de intensidad resultante al pasar un haz ondulatorio por rendijas; sus máximos cumplen d·sen(θ) = m·λ.
Complementariedad: Principio de Bohr según el cual un sistema puede manifestar comportamiento de onda o de partícula, pero no ambos en el mismo experimento.

Preguntas para practicar

Si un neutrón llega a un sensor detector, ¿es posible saber a través de qué rejilla pasó? Argumenta tu respuesta.

No es posible saberlo en el mismo experimento en el que se observa interferencia. Localizar al neutrón con precisión de la separación de las rejillas exige irradiarlo con una longitud de onda del orden de 1,25 mm, lo que modifica su momento lineal y desaparece el patrón de difracción; es decir, la medición de la trayectoria y el comportamiento ondulatorio son fenómenos complementarios (principio de complementariedad de Bohr).

¿Qué conclusión puedes emitir sobre la exactitud de los instrumentos de laboratorio?

La exactitud fija la incertidumbre de la medición: al pasar de 0,002% a 0,009% la incertidumbre se multiplica por 4,5. Por tanto, cuanto menor es la incertidumbre (mejor exactitud), más confiable es la medición; en mediciones subatómicas se necesitan instrumentos de altísima exactitud.

Temas y conceptos clave

Incertidumbre asociada a la exactitud de un instrumentoLongitud de onda de de Broglie de neutronesPatrón de difracción en doble rendijaPrincipio de incertidumbre y complementariedadexactitudincertidumbre absoluta y relativamomento lineallongitud de onda de de Brogliemáximo de orden unoprincipio de complementariedad

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la incertidumbre de una medición a partir de la exactitud del instrumento?

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¿Por qué no es posible conocer la trayectoria de un neutrón sin destruir el patrón de interferencia?

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📌 Antes de leer esto

• Expresar porcentajes como fracciones decimales
• Operar con notación científica
• Fórmula de de Broglie: λ = h/(m·v)
• Condiciones de máximos y mínimos en difracción: d·sen(θ) = m·λ
• Relación entre ángulo pequeño y distancia en una pantalla (tanθ ≈ senθ)

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Niveles de energía del átomo de hidrógeno, series espectrales y el modelo cuántico del átomo

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 985 caracteres

Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

En un instituto de física serealizan diferentes experimentos mediante rayos de luz y perturbaciones. Frente a ello, los sensores de laboratorio muestran información de rapidez y posición con una exactitud de 0,002%.

a) Estimo la incertidumbre mínima para determinar la posición del electrón.

b) Si la exactitud cambia a 0,009%, entonces la incertidumbre también cambia. Realizo el cálculo y emito una conclusión referente a la exactitud.

Leo el problema y determino lo siguiente:

A través de un par de rejillas que se encuentran separadas entre sí por 1,25 mm pasan neutrones que viajan a una rapidez de 0,5 m/s. Si a 10 metros de las rejillas se coloca un grupo de sensores detectores.

a) ¿Cuál es la longitud de la onda de Broglie de los neutrones?

c) Si un neutrón llega a un sensor detector, ¿es posible saber a través de qué rejilla pasó dicho neutrón? Argumento mi respuesta.

Texto de Física \ 599

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