a) Con m = 2,25×10^-26 kg y = 5,15×10^14 Hz: i) valor del cuanto de energía; ii) amplitud máxima con 20 cuantos.

E = 3,41×10^-19 J = 2,13 eV; A = 7,6×10^-12 m

b) Electrón (mₑ = 11,22×10⁻³¹ kg) y bala (m = 2 g) con v = 500 m/s y precisión 0,0150%. i) conceptos y ecuaciones; ii) límites de determinación de la posición.

x_e ≥q 6,3×10^-4 m; x_c ≥q 3,5×10^-30 m

c) Función trabajo del molibdeno φ = 4,20 eV. i) frecuencia umbral; ii) energía del fotón rojo de 700 nm; iii) energía del fotón azul (impreso 700 nm); iv) potencial de frenado para λ = 180 nm.

_0 = 1,02×10^15 Hz (_0 = 294 nm); E_rojo = E_azul (700 nm) = 1,77 eV; V_0 = 2,69 V

Libro de Física 2 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

234/274

Un átomo en movimiento: cuantos de energía, incertidumbre y efecto fotoeléctrico

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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8.a.i: E = hν = 3,41×10⁻¹⁹ J ≈ 2,13 eV. 8.a.ii: A = 7,6×10⁻¹² m. 8.b.i: incertidumbre de Heisenberg, Δx·Δp ≥ h/(4π), Δp = mΔv. 8.b.ii: $Δx_electrón$ ≥ 6,3×10⁻⁴ m; $Δx_bala$ ≥ 3,5×10⁻³⁰ m. 8.c.i: ν₀ ≈ 1,02×10¹⁵ Hz, λ₀ ≈ 294 nm (ultravioleta). 8.c.ii: 1,77 eV (2,84×10⁻¹⁹ J). 8.c.iii: 1,77 eV (azul real ~2,76 eV). 8.c.iv: V₀ ≈ 2,69 V.

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Solución — Página 234

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 8

UN ÁTOMO EN MOVIMIENTO — Un átomo de masa $m = 2,25\times10^{-26}\ \text{kg}$ oscila de manera lineal con frecuencia propia $\nu = 5,15\times10^{14}\ \text{Hz}$ .

Parte 8.a

i

¿Cuál es el valor de un cuanto de energía del oscilador?

Un oscilador cuántico sólo puede intercambiar energía en paquetes (cuantos) dados por la relación de Planck: $E = h\nu$ .
Sustituyo los datos: $E = (6,626\times10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s})(5,15\times10^{14}\ \text{Hz})$ .
Multiplico los coeficientes: $6,626\times5,15 = 34,12$ , y los exponentes: $10^{-34}\times10^{14} = 10^{-20}$ , entonces $E = 34,12\times10^{-20}\ \text{J}$ .
Expreso en notación científica: $E = 3,41\times10^{-19}\ \text{J}$ .
Convierto a electrónvoltios usando $1\ \text{eV} = 1,602\times10^{-19}\ \text{J}$ : $E = \dfrac{3,41\times10^{-19}}{1,602\times10^{-19}}\ \text{eV} = 2,13\ \text{eV}$ .

Respuesta

$E = h\nu = 3,41\times10^{-19}\ \text{J} \approx 2,13\ \text{eV}$ .

Parte 8.a

ii

¿Cuál es la amplitud máxima que adquiere con 20 cuantos de energía?

La energía total almacenada en $n = 20$ cuantos es $E_{tot} = n\,h\nu = 20\times3,41\times10^{-19}\ \text{J} = 6,82\times10^{-18}\ \text{J}$ .
En el oscilador armónico clásico equivalente, $E_{tot} = \dfrac{1}{2}kA^{2}$ , con $k = \omega^{2}m$ y $\omega = 2\pi\nu$ .
Calculo la frecuencia angular: $\omega = 2\pi(5,15\times10^{14}) = 3,24\times10^{15}\ \text{rad/s}$ .
Elevo al cuadrado: $\omega^{2} = (3,24\times10^{15})^{2} = 1,05\times10^{31}\ \text{rad}^{2}/\text{s}^{2}$ .
Obtengo la constante de rigidez: $k = \omega^{2}m = (1,05\times10^{31})(2,25\times10^{-26}) = 2,36\times10^{5}\ \text{N/m}$ .
Despejo la amplitud: $A = \sqrt{\dfrac{2E_{tot}}{k}} = \sqrt{\dfrac{2(6,82\times10^{-18})}{2,36\times10^{5}}}$ .
Simplifico: $A = \sqrt{\dfrac{1,364\times10^{-17}}{2,36\times10^{5}}} = \sqrt{5,78\times10^{-23}} = 7,6\times10^{-12}\ \text{m}$ .

Respuesta

$A = 7,6\times10^{-12}\ \text{m}$ (≈ 7,6 pm, del orden del tamaño atómico).

Parte 8.b

i

¿Qué conceptos debo manejar para resolver el problema? Señalo y coloco las ecuaciones correspondientes.

Principio de incertidumbre de Heisenberg (indeterminación posición–momento): la posición y el momento lineal de una partícula no pueden conocerse simultáneamente con exactitud arbitraria: $\Delta x\,\Delta p_{x} \geq \dfrac{h}{4\pi}$ .
Relación entre incertidumbre en la rapidez y en el momento: $\Delta p_{x} = m\,\Delta v$ .
Relación entre precisión relativa e incertidumbre absoluta: $\dfrac{\Delta v}{v}\times100 = 0{,}0150\%$ , de donde $\Delta v = v\cdot\dfrac{0,0150}{100}$ .
(Complementario) Dualidad onda–corpusculo de de Broglie: $\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{mv}$ .
Ecuación combinada útil: $\Delta x \geq \dfrac{h}{4\pi\,m\,\Delta v}$ .

Respuesta

Los conceptos son el principio de incertidumbre de Heisenberg, la incertidumbre en el momento ( $\Delta p = m\Delta v$ ) y la precisión relativa; las ecuaciones son $\Delta x\,\Delta p \geq h/(4\pi)$ , $\Delta p = m\Delta v$ y $\Delta x \geq h/(4\pi m\Delta v)$ .

Parte 8.b

ii

¿En qué límites es posible determinar la posición de los objetos a lo largo de la dirección de la velocidad?

Primero obtengo la incertidumbre en la rapidez: $\Delta v = 500\ \text{m/s}\times\dfrac{0,0150}{100} = 0{,}075\ \text{m/s}$ .
Electrón: $\Delta p_e = m_e\Delta v = (11,22\times10^{-31}\ \text{kg})(0{,}075\ \text{m/s}) = 8,42\times10^{-32}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .
Sustituyo en la incertidumbre: $\Delta x_e \geq \dfrac{6,626\times10^{-34}}{4\pi(8,42\times10^{-32})} = \dfrac{6,626\times10^{-34}}{1,058\times10^{-30}} = 6,3\times10^{-4}\ \text{m}$ .
Bala de cañón: $m_c = 2\ \text{g} = 2\times10^{-3}\ \text{kg}$ , luego $\Delta p_c = (2\times10^{-3})(0{,}075) = 1,50\times10^{-5}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .
Sustituyo: $\Delta x_c \geq \dfrac{6,626\times10^{-34}}{4\pi(1,50\times10^{-5})} = \dfrac{6,626\times10^{-34}}{1,885\times10^{-4}} = 3,5\times10^{-30}\ \text{m}$ .
Comparación: la incertidumbre del electrón (≈ 0,6 mm) es enorme frente a sus dimensiones (~ $10^{-15}$ m), es decir, la posición del electrón es indeterminable; en cambio, la de la bala ( $10^{-30}$ m) es despreciable, lo que justifica la descripción clásica de los objetos macroscópicos.

Respuesta

$\Delta x_{electrón} \geq 6,3\times10^{-4}\ \text{m}$ (≈ 0,63 mm) y $\Delta x_{bala} \geq 3,5\times10^{-30}\ \text{m}$ .

Parte 8.c

El molibdeno tiene una función trabajo $\phi = 4{,}20\ \text{eV} = 4{,}20\times1{,}602\times10^{-19}\ \text{J} = 6,73\times10^{-19}\ \text{J}$ .

Parte 8.c

i

Indico a qué luz corresponde la frecuencia umbral del molibdeno.

La frecuencia umbral se obtiene igualando la energía del fotón a la función trabajo: $h\nu_0 = \phi$ .
Despejo: $\nu_0 = \dfrac{\phi}{h} = \dfrac{6,73\times10^{-19}\ \text{J}}{6,626\times10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}} = 1,02\times10^{15}\ \text{Hz}$ .
Calculo la longitud de onda umbral: $\lambda_0 = \dfrac{c}{\nu_0} = \dfrac{3\times10^{8}\ \text{m/s}}{1,02\times10^{15}\ \text{Hz}} = 2,94\times10^{-7}\ \text{m}$ , es decir, $\lambda_0 \approx 294\ \text{nm}$ .
Como el visible va de ~400 a ~700 nm, $294\ \text{nm}$ está por debajo del violeta: corresponde a luz ultravioleta (UV).

Respuesta

$\nu_0 \approx 1,02\times10^{15}\ \text{Hz}$ y $\lambda_0 \approx 294\ \text{nm}$ → luz ultravioleta.

Parte 8.c

ii

Calculo la energía de un fotón rojo de $\lambda = 700\ \text{nm}$ .

Uso $E = \dfrac{hc}{\lambda}$ con $hc = (6,626\times10^{-34})(3\times10^{8}) = 1,988\times10^{-25}\ \text{J}\cdot\text{m}$ .
Escribo $\lambda = 700\ \text{nm} = 700\times10^{-9}\ \text{m} = 7\times10^{-7}\ \text{m}$ .
Sustituyo: $E = \dfrac{1,988\times10^{-25}}{7\times10^{-7}} = 2,84\times10^{-19}\ \text{J}$ .
Convierto: $E = \dfrac{2,84\times10^{-19}}{1,602\times10^{-19}}\ \text{eV} = 1,77\ \text{eV}$ .
Como $E < \phi$ (1,77 eV < 4,20 eV), esta luz roja no produce efecto fotoeléctrico en el molibdeno.

Respuesta

$E = \dfrac{hc}{\lambda} = 2,84\times10^{-19}\ \text{J} = 1,77\ \text{eV}$ .

Parte 8.c

iii

Calculo la energía de un fotón azul de $\lambda = 700\ \text{nm}$ . (Nota: el libro escribe 700 nm para el azul; esa longitud corresponde a la luz roja. Se calcula literalmente y, como referencia, se da el valor para el azul real.)

Literalmente, con $\lambda = 700\ \text{nm}$ : $E = \dfrac{1,988\times10^{-25}}{7\times10^{-7}} = 2,84\times10^{-19}\ \text{J} = 1,77\ \text{eV}$ (idéntico al inciso ii).
Referencia: para el azul propiamente dicho, por ejemplo $\lambda = 450\ \text{nm} = 4,5\times10^{-7}\ \text{m}$ : $E = \dfrac{1,988\times10^{-25}}{4,5\times10^{-7}} = 4,42\times10^{-19}\ \text{J}$ .
En eV: $E = \dfrac{4,42\times10^{-19}}{1,602\times10^{-19}} = 2,76\ \text{eV}$ , valor aún menor que $\phi = 4{,}20\ \text{eV}$ .

Respuesta

$E = 2,84\times10^{-19}\ \text{J} = 1,77\ \text{eV}$ para $\lambda = 700\ \text{nm}$ ; para el azul real (~450 nm), $E \approx 2,76\ \text{eV}$ .

Parte 8.c

iv

Determino cuál es el potencial de frenado si la luz incidente tiene una longitud de onda de 180 nm.

Energía del fotón incidente: $E = \dfrac{hc}{\lambda} = \dfrac{1,988\times10^{-25}\ \text{J}\cdot\text{m}}{180\times10^{-9}\ \text{m}}$ .
Simplifico el denominador: $1,8\times10^{-7}\ \text{m}$ , entonces $E = 1,10\times10^{-18}\ \text{J}$ .
Convierto: $E = \dfrac{1,10\times10^{-18}}{1,602\times10^{-19}}\ \text{eV} = 6,89\ \text{eV}$ .
Ecuación de Einstein: $E = \phi + K_{máx}$ , de donde $K_{máx} = E - \phi = 6{,}89\ \text{eV} - 4{,}20\ \text{eV} = 2{,}69\ \text{eV}$ .
El potencial de frenado satisface $eV_0 = K_{máx}$ , luego $V_0 = \dfrac{K_{máx}}{e} = \dfrac{2{,}69\ \text{eV}}{e} = 2{,}69\ \text{V}$ .

Respuesta

$V_0 \approx 2{,}69\ \text{V}$ .

Contenido de la página

8. Realizo los siguientes ejercicios

UN ÁTOMO EN MOVIMIENTO

a) Si un átomo de masa $m = 2,25\times10^{-26}\ \text{kg}$ oscila de manera lineal con una frecuencia propia de $\nu = 5,15\times10^{14}\ \text{Hz}$ , determino:

i) ¿Cuál es el valor de un cuanto de energía del oscilador?
ii) ¿Cuál es la amplitud máxima que adquiere con 20 cuantos de energía?

b) Si un electrón de masa $m_e = 11,22\times10^{-31}\ \text{kg}$ y una bala de cañón de masa $m_c = 2\ \text{g}$ tienen una rapidez igual de $500\ \text{m/s}$ con una precisión dentro del $0{,}0150\%$ :

i) ¿Qué conceptos debo manejar para resolver el problema? Señalo y coloco las ecuaciones correspondientes.
ii) ¿En qué límites es posible determinar la posición de los objetos a lo largo de la dirección de la velocidad?

c) El molibdeno tiene una función trabajo de $4{,}20\ \text{eV}$ .

i) Indico a qué luz corresponde la frecuencia umbral del molibdeno.
ii) Calculo la energía de un fotón rojo = 700 nm.
iii) Calculo la energía de un fotón azul = 700 nm (valor impreso en el libro; el azul real está cerca de 400–450 nm).
iv) Determino cuál es el potencial de frenado si la luz incidente tiene una longitud de onda de 180 nm.

Ejemplos resueltos

Un átomo de $2,25\times10^{-26}\ \text{kg}$ oscila con $\nu = 5,15\times10^{14}\ \text{Hz}$ . ¿Cuál es su cuanto de energía?

$E = h\nu = (6,626\times10^{-34})(5,15\times10^{14}) = 3,41\times10^{-19}\ \text{J} = 2,13\ \text{eV}$ .

Tabla

Inciso	Grandeza	Fórmula	Resultado
a.i	Cuanto de energía	$E = h\nu$	$3,41\times10^{-19}\ \text{J} = 2,13\ \text{eV}$
a.ii	Amplitud con 20 cuantos	$A = \sqrt{2E_{tot}/k}$	$7,6\times10^{-12}\ \text{m}$
b.ii	$\Delta x$ del electrón	$h/(4\pi m_e\Delta v)$	$6,3\times10^{-4}\ \text{m}$
b.ii	$\Delta x$ de la bala	$h/(4\pi m_c\Delta v)$	$3,5\times10^{-30}\ \text{m}$
c.i	Frecuencia umbral	$\nu_0 = \phi/h$	$1,02\times10^{15}\ \text{Hz}$ ( $\lambda_0 \approx 294\ \text{nm}$ , UV)
c.ii	Energía del fotón rojo (700 nm)	$E = hc/\lambda$	$1,77\ \text{eV}$
c.iii	Energía del fotón azul (según el libro, 700 nm)	$E = hc/\lambda$	$1,77\ \text{eV}$ (azul real ~450 nm: $2,76\ \text{eV}$ )
c.iv	Potencial de frenado (180 nm)	$V_0 = K_{máx}/e$	$2,69\ \text{V}$

Diagrama

graph TD
  A[Fotón incidente E = hc/lambda] --> B{¿E ≥ φ?}
  B -- No --> C[No hay efecto fotoeléctrico, E.g. rojo 700 nm: 1,77 eV < 4,20 eV]
  B -- Sí --> D[Electrón emitido]
  D --> E[K_máx = E - φ]
  E --> F[eV_0 = K_máx => V_0 = 2,69 V para λ = 180 nm]

Fórmulas y ecuaciones

$E = h\nu$ (cuanto de energía del oscilador)

$\Delta x\,\Delta p \geq h/(4\pi)$ (principio de incertidumbre)

$E = hc/\lambda$ (energía del fotón)

$V_0 = \dfrac{hc}{e\lambda} - \dfrac{\phi}{e}$ (potencial de frenado)

E = $h\nu$

E = $\dfrac{hc}{\lambda}$

$E_{tot}$ = $n\,h\nu$

E = $\dfrac{1}{2}$ $kA^{2},\quad$ k = $m\omega^{2},\quad$ $\omega$ = $2\pi\nu$

A = $\sqrt{\dfrac{2E_{tot}}{k}}$

$\Delta$ $x\,\Delta$ p $\geq$ $\dfrac{h}{4\pi}$

$\Delta$ p = $m\,\Delta$ $v,\quad$ $\Delta$ v = $v\$ , $\dfrac{\text{precisión relativa}}{100}$

$\lambda$ = $\dfrac{h}{mv}$

$h\nu_0$ = $\phi$ $\Rightarrow$ $\nu_0$ = $\dfrac{\phi}{h}$ $,\quad$ $\lambda_0$ = $\dfrac{c}{\nu_0}$

$E_{máx}$ = $h\nu$ - $\phi,\quad$ $eV_0$ = $K_{máx}$

Glosario (7)

Cuanto de energía: Paquete indivisible de energía que un sistema cuántico puede intercambiar; en el oscilador armónico vale E = hν.
Oscilador armónico: Sujeto a una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento (F = −kx); su energía clásica es E = ½kA².
Principio de incertidumbre de Heisenberg: Establece que no es posible medir con precisión arbitraria simultáneamente la posición y el momento de una partícula: Δx·Δp ≥ h/(4π).
Función trabajo (φ): Energía mínima que hay que aportar a un electrón ligado para desprenderlo de la superficie de un metal.
Frecuencia umbral: Frecuencia mínima de la luz incidente que provoca la emisión de electrones; ν₀ = φ/h.
Potencial de frenado: Diferencia de potencial que anula la corriente fotoeléctrica, igual a la energía cinética máxima del electrón dividida entre e.
Longitud de onda de de Broglie: λ = h/p asociada a cualquier material en movimiento, que en los objetos macroscópicos es despreciable.

Preguntas para practicar

b.i) ¿Qué conceptos debo manejar para resolver el problema?

El principio de incertidumbre de Heisenberg (Δx·Δp ≥ h/(4π)), la relación entre incertidumbre en el momento y en la rapidez (Δp = mΔv), la precisión relativa (Δv = v·0,0150/100) y, complementariamente, la dualidad onda–corpusculo de de Broglie (λ = h/mv).

¿Por qué a la bala de cañón se le puede asignar una posición definida pero no al electrón?

Porque la incertidumbre Δx depende de la masa: al ser la masa de la bala unas 10²⁸ veces mayor que la del electrón, su Δx resulta 10⁻³⁰ m (irrelevante), mientras que en el electrón Δx ≈ 0,63 mm, una magnitud enorme comparada con su tamaño (~10⁻¹⁵ m).

Temas y conceptos clave

Cuantos de energía en el oscilador armónico cuánticoPrincipio de incertidumbre de Heisenberg (posición-momento)Dualidad onda-corpusculo de de BroglieEfecto fotoeléctrico y función trabajoFrecuencia umbral y potencial de frenadoCuanto de energía E = hνAmplitud del oscilador A = √(2E/k)Incertidumbre Δx·Δp ≥ h/(4π)Precisión relativa Δv/vFunción trabajo φFrecuencia umbral ν₀ = φ/hEnergía del fotón E = hc/λPotencial de frenado V₀ = (hc/eλ) − φ/e

Fuentes y referencias

Constante de Planck h = 6,626×10⁻³⁴ J·s
1 eV = 1,602×10⁻¹⁹ J
Velocidad de la luz c = 3×10⁸ m/s

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el cuanto de energía de un oscilador armónico cuántico?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué dice el principio de incertidumbre de Heisenberg sobre posición y momento?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se determina el potencial de frenado en el efecto fotoeléctrico?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Constante de Planck h = 6,626×10⁻³⁴ J·s
• Relación energía-frecuencia de los fotones E = hν y E = hc/λ
• Conversión entre julios y electrónvoltios (1 eV = 1,602×10⁻¹⁹ J)
• Energía del oscilador armónico E = ½kA² y k = mω²
• Principio de incertidumbre de Heisenberg y momento lineal p = mv

Siguiente tema sugerido

Mecánica cuántica: modelo de Schrödinger, niveles de energía de átomos y espectros atómicos; espectro de emisión del hidrógeno.

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Realizo los siguientes ejercicios:

UN ÁTOMO EN MOVIMIENTO

a) Si un átomo de masa 2,25x10 Kg oscila de manera lineal con una frecuencia propia de 5,15x10 Hz, determino:

i) ¿Cuál es el valor de un cuanto de energía del oscilador?

b) Si un electrón de masa m, = 11,22x 19°31 Kg y una bala de cañón de masa m, = 2g tienen una rapidez igual de 500 m/s con una precisión dentro del 0.0150%.

i) ¿Qué conceptos debo manejar para resolver el problema? Señalo y coloco las ecuaciones correspondientes

( >

ii) ¿En qué límites es posible determinar la posición de los objetos a lo largo de la dirección de la velocidad? ( >

c) El molibdeno tiene una función trabajo de 4,20 eV.

i) Indico a qué luz corresponde La frecuencia umbral del molibdeno. ?

X y iv) Determino, ¿cuál es el potencial de frenado si la luz incidente tiene una longitud de onda de 180 nm?

( y

Texto de Física (233

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