Argumento o refuto, mediante el principio de incertidumbre, la afirmación: Si un electrón estuviera confinado en el interior de un núcleo atómico de 2×10⁻¹⁵ m de diámetro, tendría que estar con un desplazamiento en un campo de estudio relativista, en tanto que un protón confinado en el mismo núcleo podría desplazarse de manera no relativista.

Argumento: electrón relativista (v ≈ 2,88×10^10 m/s), protón no relativista (v ≈ 1,57×10^7 m/s)

Libro de Física 2 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Ejercicios: radiación de grafito, incertidumbre de Heisenberg y regímenes relativistas

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

5.a: grafito = cuerpo negro aproximado; su radiación térmica obedece las leyes de Planck, Stefan–Boltzmann y Wien. 5.b: refuto. 5.c: sí, se analiza con la conservación de la energía. 6.a: Δv = 0,25 m/s. 6.b: Δx = 1,125 m. 7: argumento; electrón relativista (v ≈ 2,88×10¹⁰ m/s), protón no relativista (v ≈ 1,57×10⁷ m/s).

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 233

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 5

a

Enunciado: Investigo en qué consiste el proceso de radiación con grafito y lo relaciono con la radiación de cuerpos negros.

El grafito (forma alotrópica del carbono) presenta una superficie casi perfectamente opaca, negra y rugosa, que absorbe muy bien la radiación incidente en todo el espectro visible.
Por eso, en el laboratorio se utiliza grafito, aluminio negro o carbón como modelos experimentales de cuerpo negro: un objeto que absorbe toda la radiación que incide sobre él (reflexión despreciable).
Al absorber energía, el grafito se calienta y re-emite radiación térmica (infrarroja y visible), cuya intensidad y distribución espectral dependen sólo de su temperatura $T$ .
Esta radiación reemitida se describe por la ley de Planck: $I(\lambda, T) = \frac{2\pi h c^{2}}{\lambda^{5}} \cdot \frac{1}{e^{hc/(\lambda k_B T)} - 1}$
De la radiación de cuerpos negros se derivan: la ley de Stefan–Boltzmann ( $P = \sigma A T^{4}$ ) y la ley de desplazamiento de Wien ( $\lambda_{máx} T = 2{,}898\times10^{-3}\;\text{m}\cdot\text{K}$ ).
En resumen: la "radiación con grafito" es un caso particular de radiación de cuerpo negro, porque el grafito se aproxima a un cuerpo negro ideal.

Respuesta

La radiación con grafito consiste en el fenómeno de emisión térmica de un cuerpo que absorbe prácticamente toda la radiación incidente, característico de cuerpos negros. Al ser negro y opaco, el grafito actúa como un cuerpo negro aproximado, y su radiación reemitida obedece las leyes de Stefan–Boltzmann y de Wien.

Ejercicio 5

b

Enunciado: Argumento o refuto que "la temperatura a la que se encuentran los electrones cuando aumentan su velocidad es la misma".

La temperatura de un sistema de partículas es una medida estadística de su energía cinética promedio, no de cada partícula individual.
Cuando un electrón se acelera (por un campo eléctrico, por ejemplo) aumenta su energía cinética puntual: $K = \frac{1}{2}mv^{2}$ .
Sin embargo, la temperatura del medio (o de la nube electrónica) sólo cambia si ese aumento de energía cinética se reparte entre muchas partículas por colisiones.
Si un solo electrón (o un haz acelerado sin colisionar) aumenta su velocidad, la temperatura del sistema no aumenta de forma correspondiente; el electrón individual puede tener mayor energía mientras la temperatura se mantiene.
Además, en un gas de electrones la temperatura se define a partir de la distribución de velocidades (Maxwell–Boltzmann / Fermi–Dirac en metales). Aumentar la velocidad de un subconjunto estrecha esa distribución, lo que implica un cambio de la temperatura efectiva.
Por tanto, la afirmación es falsa en general: no es cierto que la temperatura sea "la misma" cuando aumenta la velocidad de los electrones.

Respuesta

Refuto la afirmación. La temperatura es un concepto estadístico; el aumento de velocidad de un electrón eleva su energía cinética individual, pero la temperatura del sistema sólo se modifica si la energía se reparte estadísticamente entre las partículas. La temperatura no es "la misma" automáticamente.

Ejercicio 5

c

Enunciado: ¿El intercambio de energía de los electrones mencionado en la noticia se puede analizar mediante la conservación de la energía?

El principio de conservación de la energía es una consecuencia de la invariancia temporal de la naturaleza (teorema de Noether) y es válido en la mecánica clásica y en la relativista.
En procesos donde los electrones intercambian energía (absorción y emisión de fotones, choques), la energía total del sistema aislado se conserva: $E_{inicial} = E_{final}$
Por ejemplo, en la emisión de un electrón por el efecto fotoeléctrico: $hf = \phi + K_{máx}$ la energía del fotón se reparte entre la función trabajo y la energía cinética del electrón.
Sin embargo, si el proceso involucra campos variables en el tiempo (sección transitoria), el sistema no es aislado y debe emplearse el teorema del trabajo–energía, en lugar de la conservación estricta de la energía.
En conclusión: sí se puede analizar mediante la conservación de la energía, siempre que se delimiten correctamente el sistema y su entorno.

Respuesta

Sí. Si el sistema de electrones y el campo de estudio están bien delimitados, el intercambio de energía se analiza con la conservación de la energía: la energía total antes y después del proceso es la misma, repartiéndose entre los electrones y el medio (por ejemplo, fotones).

Ejercicio 6

Enunciado: Un súper héroe vive en un mundo donde $h = 2\pi\;\text{J}\cdot\text{s}$ , tiene masa $m = 2\;\text{kg}$ y se encuentra en un lago de ancho teórico de $1\;\text{m}$ . Determino: (a) la incertidumbre mínima en la componente de su velocidad paralela al ancho; (b) la incertidumbre en su posición después de $4{,}5\;\text{s}$ si se mantiene la incertidumbre en la rapidez.

Parte 6.a

Dato: $h = 2\pi\;\text{J}\cdot\text{s}$ , luego $\hbar = \frac{h}{2\pi} = \frac{2\pi\;\text{J}\cdot\text{s}}{2\pi} = 1\;\text{J}\cdot\text{s}$
El principio de incertidumbre de Heisenberg establece: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$
Como el héroe está en un lago de ancho $\Delta x = 1\;\text{m}$ , la incertidumbre en la posición es: $\Delta x = 1\;\text{m}$
Despejo la incertidumbre en el momento lineal: $\Delta p = \frac{\hbar}{2\Delta x} = \frac{1\;\text{J}\cdot\text{s}}{2 \times 1\;\text{m}} = 0{,}5\;\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Relación momento–velocidad: $p = mv$ , por tanto $\Delta p = m\Delta v$ .
Incertidumbre en la velocidad: $\Delta v = \frac{\Delta p}{m} = \frac{0{,}5\;\text{kg}\cdot\text{m/s}}{2\;\text{kg}} = 0{,}25\;\text{m/s}$

Respuesta

$\Delta v = 0{,}25\;\text{m/s}$ .

Parte 6.b

Si la incertidumbre en la rapidez se mantiene constante durante $\Delta t = 4{,}5\;\text{s}$ , entonces la incertidumbre en la posición acumulada es: $\Delta x = \Delta v \cdot \Delta t$
Sustituyo los valores: $\Delta x = 0{,}25\;\text{m/s} \times 4{,}5\;\text{s} = 1{,}125\;\text{m}$
Interpretación: después de $4{,}5\;\text{s}$ , el súper héroe podría estar en cualquier punto de un intervalo de $\Delta x \approx 1{,}13\;\text{m}$ , es decir, más allá de los $1\;\text{m}$ de ancho teórico del lago.

Respuesta

$\Delta x = 1{,}125\;\text{m} \approx 1{,}13\;\text{m}$ .

Ejercicio 7

Enunciado: Argumento o refuto, mediante el principio de incertidumbre, la afirmación: si un electrón estuviera confinado en el interior de un núcleo atómico de $2\times10^{-15}\;\text{m}$ de diámetro, tendría que desplazarse a velocidades relativistas, en tanto que un protón confinado en el mismo núcleo podría desplazarse de manera no relativista.

Parte 7.a

Análisis del electrón

Incertidumbre en la posición: $\Delta x = 2\times10^{-15}\;\text{m}$
Incertidumbre en el momento: $\Delta p \geq \frac{\hbar}{2\Delta x} = \frac{1{,}05\times10^{-34}\;\text{J}\cdot\text{s}}{2\times2\times10^{-15}\;\text{m}} = 2{,}625\times10^{-20}\;\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Velocidad típica del electrón: $v_e = \frac{\Delta p}{m_e} = \frac{2{,}625\times10^{-20}\;\text{kg}\cdot\text{m/s}}{9{,}11\times10^{-31}\;\text{kg}} \approx 2{,}88\times10^{10}\;\text{m/s}$
Como $v_e \approx 2{,}88\times10^{10}\;\text{m/s} \gg c = 3\times10^{8}\;\text{m/s}$ , el electrón se desplazaría en el régimen relativista.

Parte 7.b

Análisis del protón

La misma incertidumbre en el momento se mantiene: $\Delta p \approx 2{,}625\times10^{-20}\;\text{kg}\cdot\text{m/s}$ .
Velocidad típica del protón: $v_p = \frac{\Delta p}{m_p} = \frac{2{,}625\times10^{-20}\;\text{kg}\cdot\text{m/s}}{1{,}67\times10^{-27}\;\text{kg}} \approx 1{,}57\times10^{7}\;\text{m/s}$
Como $v_p \approx 1{,}57\times10^{7}\;\text{m/s} \ll c = 3\times10^{8}\;\text{m/s}$ , el protón se desplazaría en el régimen no relativista.
Comparación: $\frac{v_e}{v_p} = \frac{m_p}{m_e} \approx \frac{1{,}67\times10^{-27}}{9{,}11\times10^{-31}} \approx 1{,}83\times10^{3}$ El electrón viaja unas $1830$ veces más rápido que el protón en el mismo confinamiento.

Fuente: (Serway, 2008).

Respuesta

La afirmación es correcta: se argumenta. El electrón confinado en un núcleo tendría $v \gg c$ (régimen relativista), mientras que el protón, al tener masa mucho mayor, tendría $v \ll c$ (régimen no relativista).

Contenido de la página

Actividades complementarias — Física BGU (pág. 232)

Fuente: (Serway, 2008).

5. Continuación de un ejercicio sobre radiación con grafito

a) Investigo en qué consiste el proceso de radiación con grafito, lo relaciono con la radiación de cuerpos negros.

El grafito, al ser un material negro y opaco, absorbe casi toda la radiación incidente. Actúa como un cuerpo negro aproximado, y su radiación reemitida depende sólo de su temperatura. Se describe con la ley de Planck y se relaciona con la ley de Stefan–Boltzmann $P = \sigma A T^{4}$ y la ley de Wien $\lambda_{máx} T = 2{,}898\times10^{-3}\;\text{m}\cdot\text{K}$ .

b) La temperatura a la que se encuentran los electrones cuando aumentan su velocidad es la misma. Argumento o refuto la afirmación propuesta.

Se refuta: la temperatura es un concepto estadístico que mide la energía cinética promedio de muchas partículas. El aumento de velocidad de un electrón eleva su energía individual, no necesariamente la temperatura del sistema.

c) ¿El intercambio de energía de los electrones mencionado en la noticia se puede analizar mediante la conservación de la energía?

Sí. Si el sistema está bien delimitado, la energía total se conserva: $E_{inicial} = E_{final}$ , repartida entre los electrones y el medio.

6. Súper héroe en un mundo con $h = 2\pi\;\text{J}\cdot\text{s}$

Un súper héroe de masa $m = 2\;\text{kg}$ está en un lago de ancho teórico $\Delta x = 1\;\text{m}$ .

a) ¿Cuál es la incertidumbre mínima en la componente de esta velocidad que es paralela al ancho del estanque?

$\Delta x \cdot \Delta p \geq \dfrac{\hbar}{2}$ , con $\hbar = \dfrac{2\pi}{2\pi} = 1\;\text{J}\cdot\text{s}$ , se obtiene $\Delta v = 0{,}25\;\text{m/s}$ .

b) Si asumo que se mantiene la incertidumbre en la rapidez durante un lapso de tiempo de 4,5 segundos, establezco la incertidumbre del súper héroe en esa posición, después de ese intervalo.

$\Delta x = \Delta v \cdot \Delta t = 0{,}25\;\text{m/s} \times 4{,}5\;\text{s} = 1{,}125\;\text{m}$ .

7. Argumento o refuto mediante el principio de incertidumbre

Si un electrón estuviera confinado en el interior de un núcleo atómico de $2\times10^{-15}\;\text{m}$ de diámetro, tendría que desplazarse en un campo de estudio relativista, en tanto que un protón confinado en el mismo núcleo podría desplazarse de manera no relativista.

Con $\Delta p \geq \dfrac{\hbar}{2\Delta x} \approx 2{,}625\times10^{-20}\;\text{kg}\cdot\text{m/s}$ : el electrón tendría $v \approx 2{,}88\times10^{10}\;\text{m/s}$ (relativista) y el protón $v \approx 1{,}57\times10^{7}\;\text{m/s}$ (no relativista). La afirmación es correcta.

Ejemplos resueltos

Cálculo de la incertidumbre en la velocidad de un súper héroe de 2 kg confinado en un lago de 1 m de ancho, en un mundo con h = 2π J·s.

ħ = h/(2π) = 2π/(2π) = 1 $J·s.\n2$ . Δp = ħ/(2Δx) = 1/(2×1) = 0,5 $kg·m/s.\n3$ . Δv = Δp/m = 0,5/2 = 0,25 m/s.

Tabla

| Partícula | Masa | Velocidad estimada en Δx = 2×10⁻¹⁵ m | Régimen $|\n|---|---|---|---|\n|$ Electrón | $9{,}11\times10^{-31}\;\text{kg}$ | $v \approx 2{,}88\times10^{10}\;\text{m/s}$ | Relativista ( $v \gg c$ ) $|\n|$ Protón | $1{,}67\times10^{-27}\;\text{kg}$ | $v \approx 1{,}57\times10^{7}\;\text{m/s}$ | No relativista ( $v \ll c$ ) $|\n|$ Constante de la luz | — | $c = 3\times10^{8}\;\text{m/s}$ | Referencia |

Diagrama

flowchart TD
  A[Dato: h = 2π J·s] --> B[ħ = h / 2π = 1 J·s]
  B --> C[Principio de incertidumbre: Δx·Δp ≥ ħ/2]
  C --> D[Δx = 1 m, lago]
  D --> E[Δp = ħ / (2Δx) = 0,5 kg·m/s]
  E --> F[Δv = Δp / m = 0,5 / 2 = 0,25 m/s]
  F --> G[Δx = Δv·Δt = 0,25 × 4,5 = 1,125 m]

Fórmulas y ecuaciones

Δx·Δp ≥ ħ/2

ħ = h/(2π)

P = σAT⁴ (Stefan–Boltzmann)

λ_máx·T = 2,898×10⁻³ m·K (Wien)

$\Delta$ x $\cdot$ $\Delta$ p $\geq$ $\frac{\hbar}{2}$

$\hbar$ = $\frac{h}{2\pi}$

$\Delta$ v = $\frac{\Delta p}{m}$

$\Delta$ x = $\Delta$ v $\cdot$ $\Delta$ t

P = $\sigma$ A $T^{4}$

$\lambda_{máx}$ T = 2{,}898 $\times$ $10^{-3}\$ ; $\text{m}@@MATH_0@@\text{K}$

$I(\lambda$ , T) = $\frac{2\pi h c^{2}}{\lambda^{5}}$ $\cdot$ $\frac{1}{e^{hc/(\lambda k_B T)} - 1}$

v = $\frac{\Delta p}{m}$ $\$ ; $\text{y comparación con }$ c = 3 $\times$ $10^{8}\$ ; $\text{m/s}$

Glosario (6)

Cuerpo negro: Objeto ideal que absorbe toda la radiación electromagnética que incide sobre él y reemite radiación térmica dependiente exclusivamente de su temperatura.
Principio de incertidumbre de Heisenberg: Principio cuántico que establece que no es posible conocer simultáneamente con precisión arbitraria la posición y el momento lineal de una partícula: Δx·Δp ≥ ħ/2.
Constante de Planck reducida: Constante ħ = h/(2π) ≈ 1,055×10⁻³⁴ J·s que aparece en las relaciones de incertidumbre y en la mecánica cuántica.
Régimen relativista: Régimen en el que la velocidad de una partícula es comparable a la de la luz (v ~ c), por lo que deben emplearse las ecuaciones de la relatividad de Einstein.
Ley de Wien: Relación que vincula la temperatura de un cuerpo negro con la longitud de onda de máximo emitido: λ_máx·T = 2,898×10⁻³ m·K.
Ley de Stefan–Boltzmann: La potencia radiada por un cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absolutia: P = σAT⁴.

Preguntas para practicar

¿Por qué el grafito se usa en el laboratorio como modelo de cuerpo negro?

Porque su superficie negra y rugosa absorbe casi toda la radiación incidente (reflexión despreciable), por lo que se comporta como un cuerpo negro ideal cuya radiación reemitida depende exclusivamente de su temperatura, cumpliendo las leyes de Stefan–Boltzmann y de Wien.

¿Por qué la temperatura no aumenta necesariamente cuando un electrón acelera?

La temperatura es un promedio estadístico sobre muchas partículas; si sólo un electrón acelera, su energía individual sube pero la energía total del sistema y su distribución estadística pueden no cambiar.

¿Qué relación tiene la incertidumbre en la posición con la incertidumbre en la velocidad para un cuerpo de masa constante?

Al ser p = mv, la relación Δx·Δp ≥ ħ/2 se traduce en Δx·mΔv ≥ ħ/2, es decir, Δv ≥ ħ/(2mΔx): a mayor masa, menor incertidumbre en la velocidad, y a menor confinamiento en x, mayor incertidumbre en v.

Temas y conceptos clave

Radiación de cuerpos negrosPrincipio de incertidumbre de HeisenbergRelación incertidumbre posición-momentoRégimen relativista y no relativistaConservación de la energíacuerpo negroradiación térmicaincertidumbre de posiciónincertidumbre de momentoincertidumbre de velocidadvelocidad de la luz cconstante de Planck reducida ħelectrón confinado en el núcleoprotón confinado en el núcleo

Fuentes y referencias

Serway, R. A. (2008). Física para ciencias e ingeniería.

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Preguntas que la gente también hace

¿Qué es el principio de incertidumbre de Heisenberg?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué el grafito se usa como cuerpo negro en el laboratorio?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se determina si una partícula se desplaza a velocidades relativistas?

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📌 Antes de leer esto

• Principio de incertidumbre de Heisenberg (Δx·Δp ≥ ħ/2)
• Relación entre momento lineal y velocidad (p = mv)
• Constante de Planck reducida ħ = h/2π
• Concepto de temperatura y radiación térmica de cuerpos negros
• Masas del electrón y del protón y velocidad de la luz

Siguiente tema sugerido

Estructura del átomo y modelo nuclear según Serway (2008), siguiendo con la física moderna y la descripción del núcleo atómico.

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a) Investigo en qué consiste el proceso de radiación con grafito, lo relaciono con la radiación de cuerpos negros.

b) La temperatura a la que se encuentran los electrones cuando aumentan su velocidad es la misma. Argumento o refuto la afirmación propuesta.

c) ¿El intercambio de energía de los electrones mencionado en la noticia se puede analizar mediante la conservación de la energía?

Supongo que un súper héroe vive en un mundo en donde h=2r Js Este tiene una masa de 2 kg y en un principio se sabe que está en un lago que tiene un ancho teórico de 1 metro. Con base en esta información, determino lo siguiente:

a) ¿Cuál es la incertidumbre mínima en la componente de esta velocidad que es paralela el ancho del estanque?

b) Si asumo que se mantiene la incertidumbre en la rapidez durante un lapso de tiempo de 4,5 segundos, establezco la incertidumbre del súper héroe en esa posición, después de ese intervalo.

Argumento o refuto, mediante el principio de incertidumbre, la siguiente afirmación.

Si un electrón estuviera confinado en el interior de un núcleo atómico de 2x10-* de diámetro, tendría que estar con un desplazamiento en un campo de estudio relativista, en tanto que un protón confinado en el mismo núcleo podría desplazarse de manera no relativista.

Fuente: (Serway, 2008).

232 Texto de Física

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