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Tema 8: Funciones cuadráticas y polinomiales - asíntotas y tangentes

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5a) $y=18x-28$ . 5b) $y=15x-64$ . 5c) $y=-29x-60$ . 6a-6b) Enunciados aparentemente inconsistentes; se requiere revisión.

📚 theory matematica ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 18 min lectura

Solución — Página 22

Matematica 2° · Bgu 2 Matematica 2024 · 2024

Ejercicio 5

a: tangente a $f(x)=3x^2-1$ en $x=3$

$f'(x)=6x\Rightarrow f'(3)=18$ . Punto $(3, f(3))=(3, 26)$ .

Tangente: $y-26=18(x-3)\Rightarrow y=18x-28$ .

Ejercicio 5

b: tangente a $f(x)=x^2-x$ en $x=8$

$f'(x)=2x-1\Rightarrow f'(8)=15$ . Punto $(8, 56)$ .

Tangente: $y-56=15(x-8)\Rightarrow y=15x-64$ .

Ejercicio 5

c: tangente a $f(x)=3x^2-5x-12$ en $x=-4$

$f'(x)=6x-5\Rightarrow f'(-4)=-29$ . Punto $(-4, 48+20-12)=(-4,56)$ .

Tangente: $y-56=-29(x+4)\Rightarrow y=-29x-60$ .

Ejercicio 6

a: parábola con vértice $(1,5)$ que pasa por $(-3,2)$ y $(3,-8)$

Forma de vértice: $f(x)=a(x-1)^2+5$ . En $x=-3$ : $a(16)+5=2\Rightarrow a=-3/16$ . Verificando $x=3$ : $-3/16\cdot 4+5=-12/16+5=-3/4+5=17/4=4.25\neq -8$ . Sistema inconsistente: no existe una parábola con vértice $(1,5)$ que pase por ambos puntos.

Interpretación: los tres puntos no determinan una parábola con vértice en $A$ ; el ejercicio invita a encontrar una función cuadrática que corte la recta $y=-5x/3-1$ (o similar) en los puntos dados; se sugiere revisión del enunciado.

Ejercicio 6

b: parábola con vértice $(0,-12)$ que pasa por $(-3,2)$ y $(3,-8)$

$f(x)=ax^2-12$ . En $x=-3$ : $9a-12=2\Rightarrow a=14/9$ . En $x=3$ : $9(14/9)-12=14-12=2\neq -8$ . Inconsistente: no hay parábola con vértice en el eje $y$ que pase por dos puntos con misma $|x|$ y distinta $y$ .

Contenido de la página

Tema 8: Funciones cuadráticas y polinomiales

Pregunta: ¿Cómo identificas una función cuadrática?

¿Sabías qué? Las asíntotas son rectas o curvas a las que la función se acerca. Tipos: vertical (denominador $\to 0$ ), horizontal (grado numerador ≤ grado denominador) y oblicua (grado numerador = grado denominador + 1).

5. Determino rectas tangentes

a) $f(x)=3x^2-1$ en $x=3$
b) $f(x)=x^2-x$ en $x=8$
c) $f(x)=3x^2-5x-12$ en $x=-4$

6. Encuentro la función cuadrática que corta a la recta $y=\dfrac{-5x-3}{3}$ en los puntos $(-3,2)$ y $(3,-8)$ , con vértice:

a) $A(1,5)$
b) $B(0,-12)$

Fórmulas y ecuaciones

Ecuación de la tangente $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$

$f(x)=3x^2-1$

$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$

Glosario (2)

Asíntota: Recta a la que una curva se aproxima indefinidamente.
Recta tangente: Recta que toca una curva en un punto con la misma pendiente que la curva.

Preguntas para practicar

¿Cómo identificas una función cuadrática?

Temas y conceptos clave

AsíntotasRecta tangenteFunción cuadrática por vérticeAsíntota verticalAsíntota horizontalAsíntota oblicuaRecta tangenteForma vértice

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¿Cómo identificar una función cuadrática?

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📌 Antes de leer esto

• Derivada de un polinomio
• Forma vértice de la parábola

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Tema 8: Funciones cuadráticas y polinomiales

Responde la siguiente pregunta: ¿Cómo identificas una función cuadrática?

¿Sabías qué?

Las asintotas son líneas rectas o curvas a las que una función se acerca cada vez más, pero nun- ca llega a cruzar o tocar. Son límites o comportamientos que la función tiende a seguir a medida que se aleja hacia valores extremos del dominio.

Existen diferentes tipos de asintotas:

Asintotas verticales: Son líneas verticales a las que la función se acerca a medida que el valor de la variable independiente se acerca a un valor específico. La función puede acercarse infinita- mente a la asintota vertical, pero nunca la cruzará. Estas asintotas ocurren cuando el denomina- dor de la función se hace cero o tiende a infinito.
Asintotas horizontales: Son líneas horizontales a las que la función se acerca a medida que el valor de la variable independiente tiende a infinito o menos infinito. La función puede acercarse infinitamente a la asintota horizontal, pero nunca la cruzará. Estas asintotas ocurren cuando el grado del polinomio en el numerador es menor o igual al grado del polinomio en el denominador.
Asintotas oblicuas: Son líneas diagonales a las que la función se acerca a medida que el valor de la variable independiente tiende a infinito o menos infinito. Estas asintotas ocurren cuando el grado del polinomio en el numerador es exactamente uno mayor que el grado del polinomio en el denominador.
Determino las rectas tangentes a las siguientes funciones en los puntos dados: a) f(x)= 3x?-1, cuando x=3

b) f(J=x?-x, Cuando x=8 e) f(x)= 3x?- 5x - 12, Cuando x=-4