Polinomios y análisis de funciones racionales

Probamos raíces racionales: P(1)=1-3-9+23-12=0 ✓. Dividimos: P(x)=(x-1)Q(x); Q(x)=x^3-2x^2-11x+12. Q(1)=1-2-11+12=0 ✓. Nuevo cociente: R(x)=x^2-x-12=(x-4)(x+3).

Factorización: P(x)=(x-1)^2(x-4)(x+3).

Agrupando: 9x^5-9x^2+\dfrac{1}{3}x^4-\dfrac{1}{3}x+7x^3-7=9x^2(x^3-1)+\dfrac{x}{3}(x^3-1)+7(x^3-1)=(x^3-1)\left(9x^2+\dfrac{x}{3}+7\right).

=(x-1)(x^2+x+1)\left(9x^2+\dfrac{x}{3}+7\right).

• Dominio: \mathbb{R}\setminus\{3/2, -1\}
• Recorrido: \mathbb{R}\setminus\{2\}
• Ceros: 2x+3=0\Rightarrow x=-3/2
• Paridad: ninguna (no par ni impar)
• Monotonía: derivada f'(x)=\dfrac{-1}{(x+1)^2}<0: decreciente en (-\infty,-1) y en (-1,\infty)
• Asíntotas: vertical x=-1, horizontal y=2
• Extremos: ninguno; discontinuidad removible en x=3/2 con valor 6/(5/2)=12/5
• Gráfica: hipérbola trasladada

• Dominio: \mathbb{R}\setminus\{2\}
• Ceros: x=0, x=1
• Asíntotas: vertical x=2; horizontal y=2 (mismo grado)
• Paridad: ninguna
• Derivada: f'(x)=\dfrac{(4x-2)(x-2)^2-(2x^2-2x)\cdot 2(x-2)}{(x-2)^4}=\dfrac{(x-2)[(4x-2)(x-2)-2(2x^2-2x)]}{(x-2)^4}=\dfrac{4x^2-10x+4-4x^2+4x}{(x-2)^3}=\dfrac{-6x+4}{(x-2)^3}. Cero en x=2/3.
• Extremo: máximo local en x=2/3 con f(2/3)=\dfrac{2(2/3)(2/3-1)}{(2/3-2)^2}=\dfrac{(4/3)(-1/3)}{(16/9)}=\dfrac{-4/9}{16/9}=-1/4.
• Recorrido: \mathbb{R}\setminus (-1/4, ??) requiere análisis extra.