Enunciado: Determinar el valor tope de resistencia de un cable coaxial de impedancia 75 \, \Omega usado para internet, sabiendo que el nodo de transmisiones debe encontrarse a máximo 50 metros, con diámetros de 10{,}5 mm.

Datos:

• Impedancia característica: Z_0 = 75 \, \Omega
• Longitud máxima: L_{\text{max}} = 50 \, \text{m}
• Diámetro exterior del cable: D = 10{,}5 \, \text{mm} = 1{,}05 \times 10^{-2} \, \text{m}
• Resistividad del cobre: \rho_{\text{Cu}} = 1{,}68 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}

Para un cable coaxial, la impedancia característica depende de la geometría y del aislante: Z_0 = \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right) = \frac{138}{\sqrt{\varepsilon_r}} \log_{10}\left(\frac{b}{a}\right) con a = radio exterior del conductor central y b = radio interior del conductor externo.

75 = 138 \log_{10}\left(\frac{b}{a}\right) \quad \Rightarrow \quad \log_{10}\left(\frac{b}{a}\right) = \frac{75}{138} = 0{,}5435 \frac{b}{a} = 10^{0{,}5435} = 3{,}49

Suponiendo muro del conductor exterior delgado, b \approx D/2 = 5{,}25 mm, entonces: a = \frac{5{,}25}{3{,}49} = 1{,}50 \, \text{mm} \quad \Rightarrow \quad r_a = 0{,}75 \, \text{mm} = 7{,}5 \times 10^{-4} \, \text{m} Sección del conductor central: A = \pi r_a^{2} = \pi \left(7{,}5 \times 10^{-4}\right)^{2} = 1{,}77 \times 10^{-6} \, \text{m}^{2}

R = \rho \frac{L}{A} = \frac{(1{,}68 \times 10^{-8})(50)}{1{,}77 \times 10^{-6}} = \frac{8{,}4 \times 10^{-7}}{1{,}77 \times 10^{-6}} = 4{,}7 \times 10^{-1} \, \Omega \approx 0{,}47 \, \Omega Resistencia por metro: R' = R/L = 0{,}47/50 = 9{,}4 \times 10^{-3} \, \Omega/\text{m} \approx 9{,}4 \, \text{m}\Omega/\text{m}.

Para que el cable siga comportándose como línea de 75 \, \Omega, su resistencia serie total debe ser pequeña frente a Z_0; la regla práctica de diseño es R \leq 0{,}1 \, Z_0: R_{\text{tope}} = 0{,}1 \times 75 \, \Omega = 7{,}5 \, \Omega \quad \left(0{,}15 \, \Omega/\text{m en } 50 \, \text{m}\right)

0{,}47 \, \Omega \leq 7{,}5 \, \Omega \quad \checkmark La resistencia es apenas el 0{,}6\% del valor tope; la atenuación relativa R/(2Z_0) = 0{,}47/150 = 3{,}1 \times 10^{-3}, es decir, \approx 0{,}3\%, es despreciable. Con aislante espuma (\varepsilon_r = 2{,}3, típico de RG-6) la razón sería b/a = 10^{75\sqrt{2{,}3}/138} = 6{,}67, a = 0{,}79 mm y R \approx 1{,}7 \, \Omega, también por debajo del tope; la conclusión no cambia.