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Fuerza magnética sobre un electrón que atraviesa un cinescopio

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 3° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) $F \approx 4{,}2 \times 10^{-14} \, \text{N}$ (perpendicular al plano $xy$ ). b) $F = 2{,}4 \times 10^{-14} \, \text{N}$ . c) $\theta = 90^{\circ}$ , con $F_{\max} = 4{,}8 \times 10^{-14} \, \text{N}$ .

📚 exercise fisica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 150

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 1

Datos del problema

Carga del electrón: $q = -e$ , con $e = 1{,}60 \times 10^{-19} \, \text{C}$ .
Rapidez del electrón: $v = 10 \times 10^{6} \, \text{m/s} = 1{,}0 \times 10^{7} \, \text{m/s}$ (a lo largo del eje $x$ ).
Campo magnético: $B = 0{,}030 \, \text{T}$ .
El campo y la velocidad están ambos en el plano $xy$ .

La magnitud de la fuerza magnética (fuerza de Lorentz) es:

$F = |q| \, v \, B \, \operatorname{sen} \theta = e \, v \, B \, \operatorname{sen} \theta$

Parte 1.a

Ángulo entre $\vec{v}$ y $\vec{B}$ : $\theta = 60^{\circ}$ , con $\operatorname{sen} 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$ .

Se sustituyen los valores en la fórmula:

$F = (1{,}60 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (1{,}0 \times 10^{7} \, \text{m/s}) \times (0{,}030 \, \text{T}) \times \operatorname{sen} 60^{\circ}$

Se agrupan los factores numéricos:

$F = (1{,}60 \times 1{,}0 \times 0{,}030) \times 10^{-19} \times 10^{7} \times 0{,}866$

Se calculan los coeficientes y los exponentes por separado:

$1{,}60 \times 1{,}0 \times 0{,}030 = 0{,}048 \quad ; \quad 10^{-19} \times 10^{7} = 10^{-12}$

Entonces:

$F = 0{,}048 \times 10^{-12} \times 0{,}866 \approx 4{,}16 \times 10^{-14} \, \text{N}$

Dirección: $\vec{v} = v\,\hat{i}$ y $\vec{B} = B(\cos 60^{\circ}\,\hat{i} + \operatorname{sen} 60^{\circ}\,\hat{j})$ , por lo que $\vec{v} \times \vec{B} = vB\operatorname{sen} 60^{\circ}\,\hat{k}$ . Como el electrón tiene carga negativa, $\vec{F} = -e\,\vec{v} \times \vec{B}$ , es decir, la fuerza es perpendicular al plano $xy$ , apuntando en la dirección $-z$ .

Respuesta

$F \approx 4{,}2 \times 10^{-14} \, \text{N}$ , perpendicular al plano $xy$ .

Parte 1.b

Ángulo ahora de $\theta = 30^{\circ}$ , con $\operatorname{sen} 30^{\circ} = 0{,}5$ .

Sustitución:

$F = (1{,}60 \times 10^{-19}) \times (1{,}0 \times 10^{7}) \times (0{,}030) \times \operatorname{sen} 30^{\circ}$

Notar que el único factor que cambia respecto al literal a) es $\operatorname{sen}\theta$ :

$F = 4{,}8 \times 10^{-14} \times 0{,}5$

Resultado:

$F = 2{,}4 \times 10^{-14} \, \text{N}$

Respuesta

$F = 2{,}4 \times 10^{-14} \, \text{N}$ , igualmente perpendicular al plano $xy$ .

Parte 1.c

De $F = e\,v\,B\,\operatorname{sen}\theta$ , con $e$ , $v$ y $B$ constantes, la fuerza depende solo del ángulo.
El valor máximo de la función seno es 1, alcanzado cuando $\theta = 90^{\circ}$ (campo magnético perpendicular a la velocidad).
Sustituyendo $\operatorname{sen} 90^{\circ} = 1$ :

$F_{\max} = e\,v\,B = (1{,}60 \times 10^{-19}) \times (1{,}0 \times 10^{7}) \times (0{,}030) = 4{,}8 \times 10^{-14} \, \text{N}$

Respuesta

el ángulo debe ser $\theta = 90^{\circ}$ (campo y velocidad perpendiculares), y la fuerza máxima es $F_{\max} = 4{,}8 \times 10^{-14} \, \text{N}$ .

Contenido de la página

Leo el siguiente planteamiento y realizo las actividades a continuación:

¿Sabías qué?

El cinescopio es un tubo de rayos catódicos y una parte esencial del televisor. Es el encargado de transformar las señales eléctricas en imágenes. Consiste en un tubo que en su parte más ancha contiene una pantalla fluorescente; sobre esta se proyecta un haz de electrones de distintas intensidades que siguen un patrón de movimiento establecido, lo que permite que se forme la imagen.

(Figura: cinescopio con bobina deflectora horizontal, cañón de electrones, rayo de electrones, punto luminoso, bobina deflectora vertical y área de imagen. Fuente: https://h9.cl/2n0we)

Planteamiento: Si un electrón se mueve por el cinescopio, desde atrás hacia el frente con una rapidez aproximada de $10 \times 10^{6} \, \text{m/s}$ a lo largo del eje "x" (como aparece en la figura), y si por el cuello del tubo se encuentran bobinas de alambre que generan un campo magnético de $0{,}030 \, \text{T}$ de magnitud, dirigidos con un ángulo de 60 grados respecto al eje $x$ , a lo largo del plano $xy$ y en el mismo plano $xy$ .

a) Determino la fuerza magnética sobre el electrón.

b) Si el ángulo es de 30 grados determino la fuerza.

c) Indico y respondo: ¿cuánto debe ser el ángulo para que la fuerza sea máxima?

Tabla

Literal	Ángulo θ	sen θ	Fuerza magnética
a)	60°	0,866 (√3/2)	4,2 × 10⁻¹⁴ N
b)	30°	0,5	2,4 × 10⁻¹⁴ N
c)	90°	1,0	4,8 × 10⁻¹⁴ N (máxima)

Diagrama

flowchart LR
  A[Electrón: v = 1×10⁷ m/s ∥ eje x] --> B[Bobinas deflectoras: B = 0,030 T en plano xy]
  B --> C{Ángulo θ entre v y B}
  C -->|θ = 60°| D[F ≈ 4,2×10⁻¹⁴ N]
  C -->|θ = 30°| E[F = 2,4×10⁻¹⁴ N]
  C -->|θ = 90°| F[F = Fmáx = 4,8×10⁻¹⁴ N]
  D --> G[Fuera del plano xy, dirección −z]
  E --> G
  F --> G

Fórmulas y ecuaciones

F = |q| $\$ , v $\$ , B $\$ , $\operatorname{sen}$ $\theta$

$F_{\max}$ = e $\$ , v $\$ , B \ \ $(\theta$ = $90^{\circ})$

F = |q| $\$ , v $\$ , B $\$ , $\operatorname{sen}$ $\theta$

$\vec{F}$ = $q\,($ $\vec{v}$ $\times$ $\vec{B}$ )

$q_{electrón}$ = -e, $\quad$ e = 1{,}60 $\times$ $10^{-19}$ $\$ , $\text{C}$

$F_{\max}$ = $e\,v\,B$ $\quad$ $\text{cuando}$ $\quad$ $\theta$ = $90^{\circ}$

Glosario (5)

Cinescopio: Tubo de rayos catódicos del televisor que transforma señales eléctricas en imágenes mediante un haz de electrones que se desplaza sobre una pantalla fluorescente.
Fuerza magnética (fuerza de Lorentz): Fuerza que experimenta una carga en movimiento dentro de un campo magnético, de magnitud F = |q|·v·B·sen θ y dirección perpendicular al plano formado por v y B.
Campo magnético (B): Magnitud vectorial que describe el efecto magnético en un punto, medida en teslas (T) en el Sistema Internacional.
Bobina deflectora: Espira de alambre que, al ser recorrida por una corriente, genera el campo magnético que desvía el haz de electrones dentro del cinescopio.
Ángulo entre v y B: Ángulo θ cuyo seno determina qué tanto contribuye el campo magnético a la fuerza sobre la carga en movimiento.

Preguntas para practicar

¿Por qué el cinescopio necesita bobinas deflectoras horizontales y verticales?

Cada juego de bobinas genera un campo magnético que desvía el haz de electrones en una dirección (horizontal o vertical) de acuerdo con la señal recibida. Al combinar ambas desviaciones se logra que el haz recorra toda el área de imagen (barrido), formando así la imagen sobre la pantalla fluorescente.

Temas y conceptos clave

Fuerza magnética (fuerza de Lorentz)Cinescopio y tubo de rayos catódicosDependencia del ángulo en la fuerza magnéticacampo magnéticocarga del electrónángulo entre velocidad y campofuerza máxima magnéticadirección perpendicular al plano de v y B

Fuentes y referencias

https://h9.cl/2n0we (imagen del cinescopio, citada en el recuadro ¿Sabías qué?)

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Preguntas que la gente también hace

¿Qué es la fuerza de Lorentz sobre una carga que se mueve en un campo magnético?

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¿Por qué la fuerza magnética sobre un electrón es máxima cuando el ángulo entre la velocidad y el campo es de 90°?

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¿Qué ocurre con la trayectoria de un electrón al atravesar un campo magnético perpendicular a su velocidad?

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📌 Antes de leer esto

• Fuerza magnética sobre una carga: $\vec{F} = q\,\vec{v} \times \vec{B}$ y su magnitud $F = |q|\,v\,B\,\operatorname{sen}\theta$
• Valor absoluto de la carga del electrón: $e = 1{,}60 \times 10^{-19} \, \text{C}$
• Uso de la notación científica y multiplicación de potencias de 10
• Valores del seno para ángulos usuales (30°, 60°, 90°)

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Radio y periodo de un electrón que describe un movimiento circular en un campo magnético uniforme ($r = \dfrac{mv}{qB}$).

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 675 caracteres

Leo el siguiente planteamiento y realizo las actividades a continuación:

Si un electrón se mueve por el cinescopio, desde atrás hacia el frente con una rapidez aproximada de 10x10° m/s a lo largo del eje "x" (como aparece en la figura), y si por el cuello del tubo se encuentran bobinas de alambre que generan un campo magnético de 0,030 T de magnitud, dirigidos con unn ángulo de 60 grados a lo largo del eje xy y en el mismo plano xy.

a) Determino la fuerza magnética sobre el electrón. (~ >

\ )

b) Si el ángulo es de 30 grados determino la fuerza.

( >

XR y

c) Indico y respondo de ¿cuánto debe ser el ángulo para que la fuerza sea máxima?

Texto de Física | ‘449

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