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Rotor eléctrico: cálculo de parámetros y análisis al aumentar las vueltas

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Respuesta rápida

a) $l \approx 18{,}85\,\text{m}$ , $A \approx 1{,}26 \times 10^{-7}\,\text{m}^{2}$ , $R \approx 2{,}52\,\Omega$ , $\mathcal{E} \approx 6\,\text{V}$ , $I \approx 2{,}38\,\text{A}$ , $\tau \approx 28{,}6\,\text{mN}\cdot\text{m}$ . b) Con 100 vueltas más, $l$ , $R$ , $\mathcal{E}$ y el calor producido aumentan proporcionalmente; con la misma tensión, la corriente y el par disminuyen.

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 154

Fisica 3° · 2024

153

Ejercicio 153

Los enunciados corresponden a la continuación de una práctica de laboratorio (motor/rotor de corriente continua). Los datos de la prueba (diámetro del alambre, diámetro del rotor, tensión, campo magnético, vueltas $N$ , etc.) están en la página anterior, que no forma parte de esta imagen; por eso se resuelve el procedimiento completo con símbolos y se aplica un ejemplo numérico ilustrativo de valores típicos.

Parámetros que suelen calcularse en una prueba de rotor:

Vueltas del devanado: $N$
Radio del rotor (donde va el alambre): $r$
Longitud del conductor: $l = N \cdot 2\pi r$
Diámetro del alambre: $d$ y su sección: $A = \dfrac{\pi d^{2}}{4}$
Resistencia del devanado: $R = \rho \dfrac{l}{A}$ , con $\rho$ la resistividad del cobre
Fuerza electromotriz inducida al girar: $\mathcal{E} = N \, B \, A_{v} \, \omega \, \sin(\omega t)$
Corriente del circuito: $I = \dfrac{V - \mathcal{E}}{R}$
Par motor: $\tau = N \, B \, I \, A_{v} \, \sin\theta$

Parte 153.a

— Cálculo de todos los parámetros

Valores ilustrativos de referencia (sustituir por los reales de la prueba):

$N = 200$ vueltas; $r = 1{,}5 \times 10^{-2}\,\text{m}$ ; $d = 0{,}4 \times 10^{-3}\,\text{m}$ ; $\rho = 1{,}68 \times 10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}$ ; $A_{v} = 3{,}0 \times 10^{-4}\,\text{m}^{2}$ (área de la sección del bobinado); $B = 0{,}2\,\text{T}$ ; $\omega = 500\,\text{rad/s}$ ; $V = 12\,\text{V}$ .

Longitud total del alambre: $l = N \cdot 2\pi r = 200 \times 2\pi (1{,}5 \times 10^{-2}) = 200 \times 0{,}0942\,\text{m} \approx 18{,}85\,\text{m}$ .
Sección del alambre: $A = \dfrac{\pi d^{2}}{4} = \dfrac{\pi (0{,}4 \times 10^{-3})^{2}}{4} = 1{,}26 \times 10^{-7}\,\text{m}^{2}$ .
Resistencia del devanado: $R = \rho \dfrac{l}{A} = (1{,}68 \times 10^{-8})\,\dfrac{18{,}85}{1{,}26 \times 10^{-7}} \approx 2{,}52\,\Omega$ .
Fuerza electromotriz inducida (valor máximo, con $\sin(\omega t)=1$ ): $\mathcal{E} = N \, B \, A_{v} \, \omega = 200 \times 0{,}2 \times 3{,}0 \times 10^{-4} \times 500 = 6{,}0\,\text{V}$ .
Corriente en el rotor: $I = \dfrac{V - \mathcal{E}}{R} = \dfrac{12 - 6}{2{,}52} \approx 2{,}38\,\text{A}$ .
Par motor máximo: $\tau = N \, B \, I \, A_{v} = 200 \times 0{,}2 \times 2{,}38 \times 3{,}0 \times 10^{-4} \approx 2{,}86 \times 10^{-2}\,\text{N}\cdot\text{m} = 28{,}6\,\text{mN}\cdot\text{m}$ .
Potencia eléctrica disipada: $P_{J} = I^{2}R = (2{,}38)^{2}(2{,}52) \approx 14{,}3\,\text{W}$ , que se transforma en calor (calentamiento del rotor).
Potencia mecánica entregada: $P_{m} = \mathcal{E} I = 6{,}0 \times 2{,}38 \approx 14{,}3\,\text{W}$ .

Respuesta (a): Con los datos de la prueba se calculan $l$ , $A$ , $R$ , $\mathcal{E}$ , $I$ , $\tau$ y la potencia; en el ejemplo, $l \approx 18{,}85\,\text{m}$ , $R \approx 2{,}52\,\Omega$ , $\mathcal{E} \approx 6\,\text{V}$ , $I \approx 2{,}38\,\text{A}$ y $\tau \approx 28{,}6\,\text{mN}\cdot\text{m}$ .

Parte 153.b

— ¿Qué pasa si se añaden 100 vueltas?

Sea $N' = N + 100 = 300$ vueltas (un $50\%$ más).

Longitud y resistencia: $l' = N' \cdot 2\pi r = 300 \times 0{,}0942 \approx 28{,}27\,\text{m}$ . Como $R = \rho\dfrac{l}{A}$ , con $A$ constante: $R' = 2{,}52 \times \dfrac{300}{200} \approx 3{,}78\,\Omega$ . La resistencia aumenta en el mismo factor que $N$ .
Fuerza electromotriz: $\mathcal{E}' = N' B A_{v}\omega = 6{,}0 \times \dfrac{300}{200} = 9{,}0\,\text{V}$ . La FEM inducida aumenta linealmente con el número de vueltas (cada vuelta adicional corta el flujo magnético una vez más por vuelta y vuelta).

Ejercicio 3

Corriente (si se mantiene $V$ y $\omega$):

$I' = \dfrac{V - \mathcal{E}'}{R'} = \dfrac{12 - 9}{3{,}78} \approx 0{,}79\,\text{A}$ . Como $\mathcal{E}'$ se acerca a $V$ , la corriente disminuye.

Par motor: $\tau' = N' B I' A_{v} = 300 \times 0{,}2 \times 0{,}79 \times 3{,}0 \times 10^{-4} \approx 1{,}42 \times 10^{-2}\,\text{N}\cdot\text{m}$ . Es menor que antes: el aumento de vueltas se ve contrarrestado por la caída de corriente y por la saturación magnética del núcleo.
Análisis general: si la corriente se mantuviera constante (fuente de corriente), $\tau \propto N$ y el par aumentaría en el mismo $50\%$ ; con tensión constante, el aumento de vueltas encarece el circuito y, por consunción de campo y saturación, los beneficios son limitados.
Efectos secundarios: más alambre ⇒ más masa y mayor momento de inercia del rotor (arranque más lento), mayor calentamiento ( $P_J = I^2R$ ) y posible saturación del hierro, lo que hace que $B$ ya no crezca con $N$ .

Respuesta (b): Al añadir 100 vueltas, $l$ , $R$ , $\mathcal{E}$ y la masa del rotor aumentan proporcionalmente a $N$ ; con la misma tensión aplicada, $\mathcal{E}$ se acerca a $V$ , la corriente y el par disminuyen, y el rotor se calienta más. El efecto neto es que más vueltas no siempre implican más fuerza: depende de si se controla la corriente o la tensión.

Contenido de la página

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Actividad (continuación de la página anterior)

a) Calculo todos los parámetros antes mencionados para poder estimar el comportamiento del rotor.

b) Si en la prueba se pudieran añadir 100 vueltas más de alambre, ¿qué sucedería con el resto de parámetros? Explico mi respuesta.

Espacio para respuestas (la página presenta un gran recuadro con renglones punteados para la redacción del estudiante).

Pie de página: "Texto de Física", número 153.

Ejemplos resueltos

Calcular la resistencia y la FEM de un rotor con $N=200$ vueltas, $r=1{,}5\,\text{cm}$ , $d=0{,}4\,\text{mm}$ , $\rho=1{,}68\times10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}$ , $A_v=3\times10^{-4}\,\text{m}^2$ , $B=0{,}2\,\text{T}$ y $\omega=500\,\text{rad/s}$ .

$l = 200\times2\pi(0{,}015)=18{,}85\,\text{m}$ . $A=\frac{\pi(0{,}4\times10^{-3})^2}{4}=1{,}26\times10^{-7}\,\text{m}^2$ . $R=\rho\frac{l}{A}=2{,}52\,\Omega$ . $\mathcal{E}=200\times0{,}2\times3\times10^{-4}\times500=6\,\text{V}$ .

Tabla

Parámetro	Expresión	Con $N = 200$	Con $N' = 300$	Efecto
Longitud del alambre	$l = N\cdot2\pi r$	$18{,}85\,\text{m}$	$28{,}27\,\text{m}$	Aumenta 50 %
Resistencia	$R = \rho\,l/A$	$2{,}52\,\Omega$	$3{,}78\,\Omega$	Aumenta 50 %
FEM inducida	$\mathcal{E} = N B A_v\omega$	$6{,}0\,\text{V}$	$9{,}0\,\text{V}$	Aumenta 50 %
Corriente ( $V=12\,\text{V}$ )	$I = (V-\mathcal{E})/R$	$2{,}38\,\text{A}$	$0{,}79\,\text{A}$	Disminuye
Par motor	$\tau = N B I A_v$	$28{,}6\,\text{mN}\cdot\text{m}$	$14{,}2\,\text{mN}\cdot\text{m}$	Disminuye

Diagramas (2)

flowchart LR
  A[Número de vueltas N] --> B[Longitud l = N·2πr]
  B --> C[Resistencia R = ρ·l/A]
  A --> D[FEM E = N·B·A_v·ω]
  C --> E[Corriente I = (V−E)/R]
  D --> E
  A --> F[Par τ = N·B·I·A_v]
  E --> F
  F --> G[Desempeño del rotor]

timeline
  title Efecto de añadir 100 vueltas al rotor
  N = 200 vueltas : l = 18,85 m : R = 2,52 Ω : E = 6 V : I = 2,38 A : τ = 28,6 mN·m
  N' = 300 vueltas : l' = 28,27 m : R' = 3,78 Ω : E' = 9 V : I' = 0,79 A : τ' = 14,2 mN·m

Fórmulas y ecuaciones

$R = \rho \, \dfrac{l}{A}$ con $A = \dfrac{\pi d^{2}}{4}$

$\mathcal{E} = N B A_v \omega \sin(\omega t)$

$\tau = N B I A_v \sin\theta$

l = N $\cdot$ $2\pi$ r

A = $\frac{\pi d^{2}}{4}$

R = $\rho$ $\frac{l}{A}$

$\mathcal{E}$ = N $\$ , B $\$ , $A_{v}$ $\$ , $\omega$ $\$ , $\sin(\omega$ t)

I = $\frac{V - \mathcal{E}}{R}$

$\tau$ = N $\$ , B $\$ , I $\$ , $A_{v}$ $\$ , $\sin\theta$

$P_{m}$ = $\mathcal{E}$ I, $\qquad$ $P_{J}$ = $I^{2}$ R

Glosario (6)

Rotor: Parte giratoria de una máquina eléctrica que lleva el devanado conductor y gira dentro del estator.
Devanado: Conjunto de vueltas de alambre aislado que forma la bobina del rotor o del estator.
Fuerza electromotriz (FEM): Tensión que aparece en un conductor al variar el flujo magnético que lo atraviesa, según la ley de Faraday.
Resistividad ($\rho$): Propiedad del material que indica su oposición al paso de corriente; para el cobre, $1{,}68\times10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}$.
Par motor ($\tau$): Momento de fuerza que produce el motor sobre su eje de giro, en $\text{N}\cdot\text{m}$.
Saturación magnética: Condición en la que el campo magnético $B$ deja de crecer al aumentar la corriente en el electroimán.

Preguntas para practicar

¿Qué sucedería con el resto de parámetros si en la prueba se pudieran añadir 100 vueltas más de alambre?

Aumentan proporcionalmente la longitud del alambre, la resistencia del devanado y la fuerza electromotriz inducida (ya que $l \propto N$, $R \propto N$ y $\mathcal{E} \propto N$), además de la masa y el calentamiento del rotor. Sin embargo, con la tensión de alimentación constante la FEM se acerca a la tensión aplicada, la corriente disminuye y el par puede no aumentar; además el núcleo puede saturarse magnéticamente.

Explica por qué a veces añadir vueltas al devanado de un motor no mejora su desempeño.

Porque más vueltas implican más resistencia y más FEM contraria a la tensión de alimentación; la corriente cae y el par $\tau = N B I A_v$ deja de crecer. La saturación magnética y el mayor momento de inercia agravan el efecto.

Temas y conceptos clave

Práctica de laboratorio sobre rotor de motor eléctricoCálculo de parámetros eléctricos y magnéticos del devanadoAnálisis de variación de parámetros al cambiar el número de vueltasNúmero de vueltas $N$Longitud del alambreResistencia y resistividadFuerza electromotriz inducidaPar motorSaturación magnética

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