• Las espiras se disponen alrededor de un eje de rotación (eje horizontal en el esquema); el eje es perpendicular al campo \vec{B}, que apunta de izquierda a derecha (verticalmente en el libro).
• Cada espira tiene área A con normal \hat{n}; el plano de la espira forma el ángulo \theta con \vec{B}.
• La corriente I circula en el sentido de la mano derecha según \hat{n}.
• \tau = N I A B \sin\theta, máximo cuando \theta = 90^{\circ}, es decir, cuando la normal de la espira es perpendicular a \vec{B} (plano de la espira paralelo a \vec{B}):

\tau_{\max} = N I A B

1. Conversión de unidades:

A = 50\ \text{cm}^{2} \times \frac{1\ \text{m}^{2}}{10^{4}\ \text{cm}^{2}} = 50 \times 10^{-4}\ \text{m}^{2} = 5 \times 10^{-3}\ \text{m}^{2}

I = 500\ \text{mA} = 500 \times 10^{-3}\ \text{A} = 0.5\ \text{A}

2. Despejo B de \tau_{\max} = N I A B:

B = \frac{\tau_{\max}}{N I A}

3. Sustitución:

B = \frac{2.7}{2000 \times 0.5 \times 5 \times 10^{-3}} = \frac{2.7}{5.0\ \text{N}\cdot\text{m/T}}

B = 0.54\ \text{T}

Con I, A y \tau_{\max} constantes, se exige un B menor porque hay más momentos magnéticos que suman el torque:

B = \frac{\tau_{\max}}{N I A} = \frac{2.7}{4000 \times 0.5 \times 5 \times 10^{-3}} = \frac{2.7}{10.0} = 0.27\ \text{T}

B = \frac{\tau_{\max}}{N I A} = \frac{2.7}{1000 \times 0.5 \times 5 \times 10^{-3}} = \frac{2.7}{2.5} = 1.08\ \text{T}

Como \tau = N I A B, al duplicar N con I y B fijos el momento torsor se duplica: el rotor experimenta un empuje torsor mayor, de modo que gira con mayor fuerza (mayor aceleración angular al arrancar).

Al reducir N, con I y B constantes, \tau = N I A B disminuye en proporción directa: hay menos momentos magnéticos que contribuyen al giro.

1. Simetría y ley de Ampère: por la simetría cilíndrica, \vec{B} es tangente a circunferencias centradas en el eje y de módulo constante sobre cada una de ellas. Trazo una curva de Amper C de radio r:

\oint_{C} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} I_{\text{enc}} \quad \Longrightarrow \quad B(2\pi r) = \mu_{0} I_{\text{enc}}

B = \frac{\mu_{0} I_{\text{enc}}}{2\pi r}

2. Región entre a y el conductor externo (1\ \text{mm} < r < 2\ \text{mm}, capa de hule): la curva solo encierra la corriente del conductor central:

I_{\text{enc}} = 1.25\ \text{A} \ (\text{hacia afuera})

B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 1.25}{2\pi r} = \frac{2.5 \times 10^{-7}}{r}\ \text{T} \quad (r\ \text{en metros})

3. Valor en a (r_a = 1\ \text{mm} = 1 \times 10^{-3}\ \text{m}):

B_a = \frac{2.5 \times 10^{-7}}{1 \times 10^{-3}} = 2.5 \times 10^{-4}\ \text{T} = 250\ \mu\text{T}

4. Dirección: regla de la mano derecha con la corriente saliendo del papel (1.25\ \text{A} hacia afuera): las líneas de \vec{B} circulan en sentido antihorario (alrededor del conductor central, saliendo en la parte superior y entrando en la inferior).

5. Fuera del cable, en b (r_b = 3\ \text{mm} = 3 \times 10^{-3}\ \text{m}): la curva encierra ambas corrientes con sentidos opuestos:

I_{\text{enc}} = 1.25 - 4.0 = -2.75\ \text{A} \quad (\text{neto } 2.75\ \text{A\ hacia adentro})

B_b = \frac{\mu_{0}(2.75)}{2\pi r_b} = \frac{2\times 10^{-7} \times 2.75}{3 \times 10^{-3}} = 1.83 \times 10^{-4}\ \text{T}

Hmm, corrijo el valor: B_b = \dfrac{2.75\times10^{-7}}{3\times10^{-3}} = 9.17 \times 10^{-5}\ \text{T} \approx 92\ \mu\text{T}, y su dirección es horaria (al revés que en la región interna, porque domina la corriente del conductor externo).

6. Nota: entre a y b hay, además, la región de la capa conductora exterior (2\ \text{mm} < r < 3\ \text{mm}), donde I_{\text{enc}} crece continuamente de 1.25\ \text{A} a -2.75\ \text{A}; si se supone densidad de corriente uniforme, I_{\text{enc}}(r) = 1.25 - 4\dfrac{r^{2}-4\times10^{-6}}{9\times10^{-6}-4\times10^{-6}}.