Parámetros de un rotor eléctrico: momento de torsión, trabajo y potencia

Enunciado: si los valores de corrientes aumentan al doble, establecer la magnitud del campo eléctrico.

1. El campo eléctrico generado por un arreglo de conductores es proporcional a las corrientes que los alimentan: E = k \, I, donde k agrupa las constantes geométricas (distancias entre conductores y posición del punto de observación).
2. Si todas las corrientes se duplican: I' = 2I.
3. Sustituyendo: E' = k \, I' = k (2I) = 2 (kI) = 2E.

Enunciado: si los valores de corrientes disminuyen a la mitad, determinar la magnitud del campo eléctrico.

1. Nuevamente se usa la proporcionalidad E = k \, I.
2. Si las corrientes se reducen al 50\%: I' = \dfrac{I}{2}.
3. Sustituyendo: E' = k \, \dfrac{I}{2} = \dfrac{1}{2} (kI) = \dfrac{E}{2}.

Enunciado: indicar y responder qué sucede con el campo eléctrico cuando los valores de corrientes disminuyen.

1. Como E \propto I, cualquier disminución de las corrientes disminuye el campo eléctrico en la misma proporción.
2. Si la corriente se reduce a un factor x (0<x<1), entonces E' = xE.
3. Si la corriente llegara a cero, el campo eléctrico generado por esas corrientes también sería nulo (E' = 0).

Área de la bobina

A = 2{,}54 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} = 12{,}7 \, \text{cm}^{2} = 12{,}7 \times 10^{-4} \, \text{m}^{2} = 1{,}27 \times 10^{-3} \, \text{m}^{2}

Momento magnético

\mu = N \, I \, A = 100 \times 1{,}25 \, \text{A} \times 1{,}27 \times 10^{-3} \, \text{m}^{2}

\mu = 0{,}15875 \approx 0{,}159 \, \text{A} \cdot \text{m}^{2}

Momento de torsión máximo

El torque es \vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}, de modo que \tau = \mu B \sin\alpha, con \alpha el ángulo entre \vec{\mu} y \vec{B}. Cuando el plano de la bobina es perpendicular a \vec{B}, \vec{\mu} es paralelo a \vec{B} (\alpha = 0 o \pi), de modo que en esa orientación el torque es nulo. El torque máximo ocurre cuando el plano es paralelo a \vec{B} (\alpha = 90^{\circ}):

\tau_{\text{máx}} = \mu B \sin 90^{\circ} = 0{,}159 \times 1 \times 1 = 0{,}159 \, \text{N} \cdot \text{m}

Velocidad angular y período de una revolución

\omega = 3600 \, \frac{\text{rev}}{\text{min}} \times \frac{2\pi \, \text{rad}}{1 \, \text{rev}} \times \frac{1 \, \text{min}}{60 \, \text{s}} = 377 \, \text{rad/s}

T = \frac{1}{f} = \frac{60 \, \text{s}}{3600 \, \text{rev}} = 1{,}67 \times 10^{-2} \, \text{s}

Trabajo realizado por el rotor en una revolución

El torque varía como \tau = \tau_{\text{máx}} \sin\theta. El trabajo en valor absoluto se obtiene integrando sobre la revolución completa (los dos semiciclos tienen el mismo sentido de giro):

W = \int_{0}^{2\pi} |\tau_{\text{máx}} \sin\theta| \, d\theta = \tau_{\text{máx}} \int_{0}^{2\pi} |\sin\theta| \, d\theta = 4\tau_{\text{máx}}

W = 4 \times 0{,}159 = 0{,}635 \approx 0{,}64 \, \text{J}

(El trabajo neto firmado sobre el ciclo completo es nulo, porque el rotor absorbe energía en la mitad del ciclo y la devuelve en la otra mitad.)

Pico de potencia

La potencia instantánea es máxima cuando el torque es máximo:

P_{\text{pico}} = \tau_{\text{máx}} \, \omega = 0{,}159 \, \text{N} \cdot \text{m} \times 377 \, \text{rad/s} \approx 59{,}8 \approx 60 \, \text{W}

Potencia media

P_{\text{media}} = \frac{W}{T} = \frac{0{,}635 \, \text{J}}{1{,}67 \times 10^{-2} \, \text{s}} \approx 38{,}1 \, \text{W}

Verificación con el valor medio de |\sin\theta|:

P_{\text{media}} = \frac{2}{\pi} P_{\text{pico}} = \frac{2}{\pi} \times 60 = 38{,}2 \, \text{W} \quad \checkmark

Resumen de parámetros (100 vueltas)

Enunciado: si se añaden 100 vueltas más de alambre (es decir, N' = 200), qué sucedería con el resto de parámetros.

1. El campo magnético B es externo (lo aporta el escáner/equipo), por lo que no cambia: B' = 1 \, \text{T}.
2. El momento magnético depende linealmente del número de vueltas: \mu = N I A.
3. Suponiendo que la corriente se mantiene en I' = 1{,}25 \, \text{A}:

\mu' = N' I' A = 200 \times 1{,}25 \times 1{,}27 \times 10^{-3} = 0{,}318 \, \text{A} \cdot \text{m}^{2}

4. La torsión máxima es proporcional a \mu:

\tau'_{\text{máx}} = \mu' B = 0{,}318 \, \text{N} \cdot \text{m} = 2\tau_{\text{máx}}

5. Como W = 4\tau_{\text{máx}} y P = \tau \omega con \omega fija (377 \, \text{rad/s}):

W' = 4\tau'_{\text{máx}} = 2W = 1{,}27 \, \text{J}

P'_{\text{pico}} = 2P_{\text{pico}} \approx 120 \, \text{W}, \qquad P'_{\text{media}} = 2P_{\text{media}} \approx 76 \, \text{W}

6. Observación crítica: duplicar vueltas duplica también la inductancia y la fuerza electromotriz contraria (\mathcal{E} = -L \frac{dI}{dt}). En la práctica la corriente disminuiría y los valores reales serían menores que el doble; el cálculo anterior es el caso ideal con I constante.