Ecuación vectorial de posición de Messi y Ronaldo y viabilidad de un tiro libre a 10°

Escribir la ecuación vectorial posición para Leonel Messi.

1. En un tiro parabólico con origen en el punto de lanzamiento, la ecuación vectorial posición es \vec{r}(t) = x(t)\,\hat{i} + y(t)\,\hat{j}.
2. Componente horizontal (sin rozamiento): x(t) = v_{0M}\cos\theta_M\, t, ya que a_x = 0.
3. Componente vertical con a_y = -g: y(t) = v_{0M}\sin\theta_M\, t - \tfrac{1}{2}g t^{2}.
4. Sustituyendo los datos típicos del lanzamiento de Messi (v_{0M} = 25\,\text{m/s}, \theta_M = 20^{\circ}, g = 9{,}8\,\text{m/s}^{2}):
   • v_{0M}\cos\theta_M = 25\cos 20^{\circ} = 25(0{,}9397) = 23{,}49\,\text{m/s}
   • v_{0M}\sin\theta_M = 25\sin 20^{\circ} = 25(0{,}3420) = 8{,}55\,\text{m/s}
   • \tfrac{1}{2}g = 4{,}9\,\text{m/s}^{2}
5. Ensamblando las componentes.

Escribir la ecuación vectorial posición para Cristiano Ronaldo.

1. Se usa la misma estructura vectorial: \vec{r}(t) = x(t)\,\hat{i} + y(t)\,\hat{j}.
2. Componente horizontal: x(t) = v_{0R}\cos\theta_R\, t.
3. Componente vertical: y(t) = v_{0R}\sin\theta_R\, t - \tfrac{1}{2}g t^{2}.
4. Sustituyendo los datos típicos de Ronaldo (v_{0R} = 30\,\text{m/s}, \theta_R = 18^{\circ}, g = 9{,}8\,\text{m/s}^{2}):
   • v_{0R}\cos\theta_R = 30\cos 18^{\circ} = 30(0{,}9511) = 28{,}53\,\text{m/s}
   • v_{0R}\sin\theta_R = 30\sin 18^{\circ} = 30(0{,}3090) = 9{,}27\,\text{m/s}
   • \tfrac{1}{2}g = 4{,}9\,\text{m/s}^{2}
5. Ensamblando las componentes.

Con base en las ecuaciones anteriores, establecer si es factible un tiro libre con ángulo de 10^{\circ} para superar una barrera de jugadores que alcanzan 3\,\text{m} de altura; justificar.

1. La altura máxima del tiro parabólico se alcanza cuando v_y = 0, es decir en t_{\text{subida}} = \dfrac{v_{0}\sin\theta}{g}.
2. Sustituyendo ese instante en y(t) se obtiene la cota máxima: y_{\text{máx}} = \dfrac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}.
3. Con \theta = 10^{\circ}: \sin 10^{\circ} = 0{,}1736, por tanto \sin^{2}10^{\circ} = 0{,}03015.
4. Caso Ronaldo (v_{0R} = 30\,\text{m/s}): y_{\text{máx}} = \dfrac{(30)^{2}(0{,}03015)}{2(9{,}8)} = \dfrac{27{,}14}{19{,}6} = 1{,}38\,\text{m}.
5. Caso Messi (v_{0M} = 25\,\text{m/s}): y_{\text{máx}} = \dfrac{(25)^{2}(0{,}03015)}{2(9{,}8)} = \dfrac{18{,}84}{19{,}6} = 0{,}96\,\text{m}.
6. Ambos valores son menores que la barrera de 3\,\text{m}.
7. Velocidad mínima requerida: despejando de y_{\text{máx}} \ge 3\,\text{m}: v_{0} \ge \dfrac{\sqrt{2gy_{\text{máx}}}}{\sin\theta} = \dfrac{\sqrt{2(9{,}8)(3)}}{0{,}1736} = \dfrac{7{,}67}{0{,}1736} = 44{,}2\,\text{m/s} \approx 159\,\text{km/h}.
8. Verificación en la barrera (9,15 m): con v_{0R}=30\,\text{m/s} y \theta=10^{\circ}, t = \dfrac{9{,}15}{30\cos10^{\circ}} = \dfrac{9{,}15}{29{,}54} = 0{,}31\,\text{s}; entonces y = (30\sin10^{\circ})(0{,}31) - 4{,}9(0{,}31)^{2} = 1{,}62 - 0{,}47 = 1{,}14\,\text{m} < 3\,\text{m}.
9. Una velocidad de 44{,}2\,\text{m/s} supera el récord de potencia de tiro de un futbolista (típicamente 25–35 m/s), por lo que la jugada no es viable.