Determinar la ecuación vectorial de la velocidad en 2D para Ronaldo y Messi con la tabla de datos.

v_R=32,21 i+(7,44-9,8t) j; v_M=25,71 i+(5,94-9,8t) j

Libro de Física 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Ecuaciones vectoriales de posición y velocidad en el tiro parabólico

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 3° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Ejercicio 1: r(t) = (32,21 t) î + (7,44 t − 4,9 t²) ĵ. Ejercicio 2: $v_R(t)$ = 32,21 î + (7,44 − 9,8 t) ĵ; $v_M(t)$ = 25,71 î + (5,94 − 9,8 t) ĵ (en m/s).

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 34

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 1

Escribir la ecuación vectorial posición para Cristiano Ronaldo (tiro parabólico con $v_0 = 119\ \text{km/h}$ y $\theta = 13^\circ$ ).

Convertir la velocidad a SI: $119\ \text{km/h} = \frac{119}{3{,}6} = 33{,}06\ \text{m/s}$ .
Calcular el vector velocidad inicial. Componentes: $v_{0x} = v_0\cos\theta = 33{,}06\times\cos 13^\circ = 33{,}06\times 0{,}9744 = 32{,}21\ \text{m/s}$ .
$v_{0y} = v_0\sin\theta = 33{,}06\times\sin 13^\circ = 33{,}06\times 0{,}2250 = 7{,}44\ \text{m/s}$ .
La posición es $\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{1}{2}\vec{g}t^{2}$ , con origen en el punto de lanzamiento ( $\vec{r}_0 = \vec{0}$ ) y $\vec{g} = -9{,}8\,\hat{j}$ .
Sustituyendo: $\vec{r}(t) = (32{,}21\,t)\,\hat{i} + \left(7{,}44\,t - 4{,}9\,t^{2}\right)\,\hat{j}$ .
En forma paramétrica: $x(t) = 32{,}21\,t$ ; $y(t) = 7{,}44\,t - 4{,}9\,t^{2}$ .

Respuesta

$\vec{r}(t) = (32{,}21\ \text{m/s})\,t\,\hat{i} + \left[(7{,}44\ \text{m/s})\,t - (4{,}9\ \text{m/s}^{2})\,t^{2}\right]\hat{j}$

Ejercicio 2

Determinar la ecuación del movimiento de la velocidad en forma vectorial, en dos dimensiones, para ambos jugadores, partiendo de $\overrightarrow{V_f} = \overrightarrow{V_o} + \vec{g}\,t$ .

Parte 2.a

Cristiano Ronaldo ($v_0 = 119\ \text{km/h} = 33{,}06\ \text{m/s}$)

Componentes ya calculadas: $v_{0x} = 32{,}21\ \text{m/s}$ , $v_{0y} = 7{,}44\ \text{m/s}$ .
La gravedad solo afecta el eje vertical: $\vec{g} = (0)\,\hat{i} + (-9{,}8)\,\hat{j}\ \text{m/s}^{2}$ .
Sustituyo en $\overrightarrow{V_f} = \overrightarrow{V_o} + \vec{g}\,t$ : $\vec{v}(t) = (32{,}21\,\hat{i} + 7{,}44\,\hat{j}) + (0\,\hat{i} - 9{,}8\,\hat{j})\,t$ .
Agrupando componentes: $\vec{v}(t) = 32{,}21\,\hat{i} + (7{,}44 - 9{,}8\,t)\,\hat{j}$ .

Respuesta

$\vec{v}_R(t) = (32{,}21\ \text{m/s})\,\hat{i} + \left(7{,}44 - 9{,}8\,t\right)\text{m/s}\,\hat{j}$

Parte 2.b

Lionel Messi ($v_0 = 95\ \text{km/h}$)

Convertir: $95\ \text{km/h} = \frac{95}{3{,}6} = 26{,}39\ \text{m/s}$ .
Componente horizontal: $v_{0x} = 26{,}39\times\cos 13^\circ = 26{,}39\times 0{,}9744 = 25{,}71\ \text{m/s}$ .
Componente vertical: $v_{0y} = 26{,}39\times\sin 13^\circ = 26{,}39\times 0{,}2250 = 5{,}94\ \text{m/s}$ .
Sustituyo: $\vec{v}(t) = (25{,}71\,\hat{i} + 5{,}94\,\hat{j}) + (0\,\hat{i} - 9{,}8\,\hat{j})\,t$ .
Agrupando: $\vec{v}(t) = 25{,}71\,\hat{i} + (5{,}94 - 9{,}8\,t)\,\hat{j}$ .

Verificación: en $t=0$ se recupera $\vec{v}_0$ ; la magnitud $|\vec{v}(0)|$ de Ronaldo es $\sqrt{32{,}21^{2}+7{,}44^{2}} = 33{,}06\ \text{m/s} = 119\ \text{km/h}$ y la de Messi $\sqrt{25{,}71^{2}+5{,}94^{2}} = 26{,}39\ \text{m/s} = 95\ \text{km/h}$ , como se pide.

Respuesta

$\vec{v}_M(t) = (25{,}71\ \text{m/s})\,\hat{i} + \left(5{,}94 - 9{,}8\,t\right)\text{m/s}\,\hat{j}$

Contenido de la página

La ecuación vectorial posición para Cristiano $Ronaldo.\n\n[Cuadro$ en blanco para la respuesta del $estudiante]\n\n**b)**$ Determino la ecuación del movimiento de la velocidad de forma vectorial para el movimiento en dos dimensiones, para ambos $jugadores.\n\n|$ Parámetro | Valor $|\n|---|---|\n|$ Ecuación | $\overrightarrow{V_f}=\overrightarrow{V_o}+\vec{g}*t$ $|\n|$ Ángulo de disparo | Para un tiro libre aproximado de 13° $|\n|$ Velocidad de lanzamiento | Ronaldo: 119 km/h; Messi: 95 km/h |

Ejemplos resueltos

Convertir 119 km/h a m/s y hallar sus componentes con θ = 13°.

$119/3{,}6 = 33{,}06\ \text{m/s}$ . $v_{0x}=33{,}06\cos13^\circ=32{,}21\ \text{m/s}$ ; $v_{0y}=33{,}06\sin13^\circ=7{,}44\ \text{m/s}$ .

Tabla

| Parámetro | Valor $|\n|---|---|\n|$ Ecuación | $\overrightarrow{V_f}=\overrightarrow{V_o}+\vec{g}\cdot t$ $|\n|$ Ángulo de disparo | Tiro libre aproximado de $13^\circ$ $|\n|$ Velocidad de lanzamiento | Ronaldo: 119 km/h; Messi: 95 km/h |

Fórmulas y ecuaciones

$\vec{v}@@MATH_0@@+(v_{0y}-gt)\$ , $\hat{j}$

$\vec{r}@@MATH_0@@+(v_{0y}t-@@MATH_1@@gt^{2})\$ , $\hat{j}$

$\vec{r}$ (t)= $\vec{r}$ _0+ $\vec{v}$ _0 t+ $\frac{1}{2}@@MATH_0@@t^{2}$

$\overrightarrow{V_f}$ = $\overrightarrow{V_o}$ + $\vec{g}$ $\,t$

$v_{0x}=v_0\cos\theta$

$v_{0y}=v_0\sin\theta$

119\ $\text{km/h}$ =33{,}06\ $\text{m/s}$

95\ $\text{km/h}$ =26{,}39\ $\text{m/s}$

Glosario (3)

Ecuación vectorial de posición: Expresión vectorial que da la ubicación de un cuerpo en función del tiempo: r(t) = r₀ + v₀t + ½gt².
Ecuación vectorial de velocidad: Relación v(t) = v₀ + gt que indica cómo cambia el vector velocidad con el tiempo bajo aceleración constante.
Tiro libre (tiro parabólico): Movimiento de un proyectil lanzado con una velocidad inicial en un ángulo, sometido solo a la gravedad.

Preguntas para practicar

¿Por qué la componente horizontal de la velocidad permanece constante en el tiro parabólico?

Porque no existen fuerzas horizontales despreciables (se ignora el aire), la aceleración en x es cero y por lo tanto v_x no cambia con el tiempo; solo la gravedad actúa en la dirección vertical.

Temas y conceptos clave

Cinemática en dos dimensionesEcuaciones vectoriales de posición y velocidadTiro parabólicovector posiciónvector velocidadaceleración de gravedadcomponentes rectangularesvector unitario

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