Método de componentes y vectores velocidad/aceleración de un avión

Uso el método de componentes para calcular la distancia que debe volar para regresar a Lincoln desde Manhattan.

1. La distancia de regreso es el módulo del vector desplazamiento $ \vec{\Delta r} = \vec{r}_{\text{Lincoln}} - \vec{r}_{\text{Manhattan}}@@MATH_0@@\Delta x = x_L - x_M, \qquad \Delta y = y_L - y_M.@@MATH_1@@d = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}.@@MATH_2@@\theta = \arctan\!\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right),$ que se mide respecto del eje x (o convertido al rumbo/bearing usado en el mapa del problema).
2. Verificación: el vector \vec{\Delta r} sumado al trayecto de ida debe dar \vec{0}, es decir, \vec{\Delta r}_{\text{ida}} + \vec{\Delta r}_{\text{vuelta}} = \vec{0}; por eso la distancia de vuelta coincide en módulo con la de ida, pero con sentido opuesto.

Represento el vector velocidad del avión en el trayecto Lincoln → Clarinda, con módulo constante de 150\ \text{km/h} en la dirección y sentido del movimiento.

1. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU): \vec{a} = \vec{0} y \vec{v} es constante en módulo, dirección y sentido.
2. El vector se dibuja como una flecha tangente a la trayectoria, apuntando de Lincoln hacia Clarinda, con longitud proporcional a v = 150\ \text{km/h}.
3. Proyecciones si \theta es el ángulo del rumbo Lincoln → Clarinda: v_x = 150\cos\theta\ \text{km/h}, \qquad v_y = 150\sin\theta\ \text{km/h}.
4. Comprobación del módulo: |\vec{v}| = \sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}} = \sqrt{(150\cos\theta)^2+(150\sin\theta)^2} = 150\ \text{km/h}.

El avión acelera constantemente, con módulo de aceleración de 1\ \text{km/h} por cada hora, en la dirección y sentido de la velocidad, de Clarinda a St. Joseph. Calculo el vector velocidad final y la aceleración.

1. La aceleración es constante y paralela a \vec{v} (aceleración rectilínea uniforme): \vec{a} = 1\ \text{km/h}^{2}\ \text{en la dirección Clarinda} \rightarrow \text{St. Joseph}.
2. En componentes, con el mismo rumbo \theta: \vec{a} = (1\cdot\cos\theta,\ 1\cdot\sin\theta)\ \text{km/h}^{2}.
3. Velocidad inicial en Clarinda (tomada del literal anterior): v_0 = 150\ \text{km/h}.
4. Para un tiempo de vuelo de t horas en ese tramo, la ecuación cinemática \vec{v}_f = \vec{v}_0 + \vec{a}\,t da v_f = 150 + 1\cdot t = (150 + t)\ \text{km/h}, con \vec{v}_f en la misma dirección y sentido de \vec{v}_0 (porque \vec{a} \parallel \vec{v}_0).
5. Verificación: si t = 0, v_f = 150\ \text{km/h} (coincide con Clarinda); si t = 1\ \text{h}, v_f = 151\ \text{km/h}.