Sucesiones y convergencia

Como a_n=5, b_n=-4, c_n=2/3 son constantes, d_n también es constante: d_n=\frac{5(5)+3(5)(-4)}{4(2/3)}=\frac{25-60}{8/3}=\frac{-35\cdot 3}{8}=-\frac{105}{8}.

Sucesión: -\frac{2}{1}, \frac{8}{2}, -\frac{26}{6}, \frac{80}{24}, -\frac{242}{120}.

• Denominadores: 1!, 2!, 3!, 4!, 5! = 1, 2, 6, 24, 120 → n!
• Numeradores: 2, 8, 26, 80, 242. Diferencias: 6, 18, 54, 162 → factores de 3: 6=6, 18=3\cdot 6, 54=3\cdot 18. Se ve que a_{n+1}=3a_n-c. Probando a_n=3^n-1: 3-1=2, 9-1=8, 27-1=26, 81-1=80, 243-1=242 ✓.

Signo alternante (-1)^n.

Término n-ésimo: t_n=\frac{(-1)^n(3^n-1)}{n!}.

Convergencia: \lim_{n\to\infty} \frac{3^n}{n!} = 0 (factorial crece más rápido). Por tanto t_n\to 0. Converge a 0.