Tiempo para cuadruplicar a 7.3% trimestral

t≈ 19.68 trimestres≈ 4.92 años

Libro de Matemática 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Término general, límites y demostraciones por inducción

📄 ejercicios matematica 🎓 bachillerato · 3° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

4a) $a_n=4n-1$ ; 4c) $\frac{2n}{2n-1}$ ; 5a) 1; 5c) 4; 6a) ≈19.68 trimestres.

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Solución — Página 40

Matematica 3° · Bgu 3 Matematica 2024 · 2024

Ejercicio 4

a

$3, 7, 11, 15, 19$ : PA con $a_1=3, d=4$ . $a_n=3+(n-1)\cdot 4=4n-1$ .

Ejercicio 4

c

$2/1, 4/3, 6/5, 8/7$ : numerador $2n$ , denominador $2n-1$ . $a_n=\frac{2n}{2n-1}$ .

Ejercicio 5

a

$a_n=\frac{9(2^{n-1})+4(3^n)}{9(2^{n-1})+4(3^n)}$ ... Dividir por $3^n$ : numerador $=9(2/3)^{n-1}\cdot(1/3)+4$ ; denominador similar. Como término dominante es $4\cdot 3^n$ en ambos: $\lim=1$ .

Ejercicio 5

c

Si $a_1=\sqrt[3]{60}$ , $a_{n+1}=\sqrt[3]{60+a_n}$ . Si converge a L: $L=\sqrt[3]{60+L}\Rightarrow L^3-L=60\Rightarrow (L-4)(L^2+4L+15)=0$ . Solución real: $L=4$ .

Ejercicio 6

a

Cuadruplicar a 7.3% trimestral: $4=(1.073)^t\Rightarrow t=\log 4/\log 1.073\approx 0.602/0.0306=19.68$ trimestres $\approx 4.92$ años.

Contenido de la página

Ejercicios 4-7

4. Deducir el término general

(a) $3, 7, 11, 15, 19, ...$

(b) $10, 14, 18, 22, 29, ...$

5. Límites de sucesiones

(a) $a_n=\dfrac{9(2^{n-1})+4(3^n)}{9(2^{n-1})+4(3^n)}$

(b) $a_n=(\sqrt[n]{n+1}-\sqrt[n]{n})(\sqrt[n]{n+2})$

6. Problemas financieros

(a) Tiempo para cuadruplicar capital al 7.3% trimestral

(b) A y B con diferencia $5400. A al 2.5%, B al 3%, mismo interés. Suma?

7. Demostraciones por inducción

(a) $1^2+3^2+5^2+\cdots+(2n+1)^2 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ (nota: hay error en la fórmula)

(b) $\dfrac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\dfrac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{n(3n+5)}{4n(n+1)(n+2)}$

Fórmulas y ecuaciones

$a_n=4n-1$

$a_n=$ $\frac{2n}{2n-1}$

L= $\sqrt[3]{60+L}$

Glosario (1)

Inducción matemática: Método de demostración basado en caso base y paso inductivo.

Temas y conceptos clave

Término generalLímites de sucesionesInducción matemáticaTérmino generalLímiteRecurrenciaInducción

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• Sucesiones
• Límites

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Derivadas

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Deduzco la fórmula del término general de cada sucesión a partir de los siguientes términos: a) 3:7;11:15;19;... b) 10;14;18;22;29;...

2.4.6.

4.6: 8 Cd 73357

Calculo el límite de las siguientes sucesiones: an=) 92% 4 4(3D) sy

a) * 1orD+48) x= { (Vn + 1-Vn) ( A In + 1) vor}

b) "

c) Si {an jes una sucesión tal que a; V60y an+;=V 60+ a,,.Vn > 1, ¿cuál es el límite de la sucesión?

Resuelvo los siguientes problemas: a) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que un capital se cuadriplique a una tasa del 7,3% trimestral?

b) La diferencia entre los capitales de dos personas, A y B, es igual a $5 400. Si la primera coloca su capital al 2,5% y la segunda al 3%, ambos reciben el mismo interés después de cierto tiempo.

¿Cuál es la suma de sus capitales?

c) Miguel ha separado su capital en tres partes para imponerlas al a%, 2a% y (2a+2)%, respectivamente. Sabiendo que las tres partes le producen igual interés,

¿cuánto es la parte impuesta al 2a%?