Resuelvo los siguientes ejercicios: a) ecuación vectorial de la recta por A(1,2,3) y B(-1,0,1); b) recta paralela a P:3x-y-4z+16=0 y al plano xy, por P(2,0,3); c) plano P que contiene la recta L:cases2x-y-4z+7=0\\3x+2y+z=0cases y es perpendicular a P_1:2x+y-2z+1=0; d) intersección de P_1:x+y+z+1=0 y P_2:x-y-z+2=0.

a) r=(1,2,3)+t(1,1,1); b) x=2+t, y=3t, z=3; c) 3x+4y+5z-6=0; d) r=≤ft(-32,0,12)+t(0,1,-1)

¿Cómo aplicas los vectores en tu vida diaria? (pregunta introductoria) y preguntas de metacognición: ¿Qué he aprendido?, ¿Cómo lo he aprendido?, ¿Para qué me ha servido?, ¿En qué otras ocasiones puedo usarlo?

Ejemplos: GPS, videojuegos, física y robótica

Libro de Matemática 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Tema 1: Vectores — norma, productos, planos, rectas y dependencia lineal

📄 ejercicios matematica 🎓 bachillerato · 3° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

1.a) $\|\vec u\|=\sqrt6$ ; b) $\|\vec v\|=3$ ; c) $\|\vec x\|=\frac{\sqrt{59}}{2}$ . 2.a) $5$ ; b) $0$ ; c) $0$ . 3.a) No; b) Sí (paralelos); c) No. 4.a) $\vec r=(1,2,3)+t(1,1,1)$ . b) $x=2+t, y=3t, z=3$ . c) $3x+4y+5z-6=0$ . d) $x=-\frac32$ , $y=t$ , $z=\frac12-t$ . 5) Enunciado incompleto; método: reducción de Gauss → fila nula ⇒ dependiente.

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 60

Matematica 3° · 2024

Ejercicio 1

Determinar la norma de los siguientes vectores, usando $\|\vec v\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$ .

Ejercicio a

$\vec u=(2,1,-1)$

Elevo al cuadrado cada componente: $2^2=4$ , $1^2=1$ , $(-1)^2=1$ .
Sumo: $4+1+1=6$ .
$\|\vec u\|=\sqrt{6}$ .

Respuesta

$\|\vec u\|=\sqrt{6}\approx 2,45$ .

Ejercicio b

$\vec v=(2,-1,-2)$

$2^2=4$ , $(-1)^2=1$ , $(-2)^2=4$ .
$4+1+4=9$ .
$\|\vec v\|=\sqrt{9}=3$ .

Respuesta

$\|\vec v\|=3$ .

Ejercicio c

$\vec x=\left(-\tfrac12,\tfrac72,-\tfrac32\right)$

$\left(-\tfrac12\right)^2=\tfrac14$ , $\left(\tfrac72\right)^2=\tfrac{49}{4}$ , $\left(-\tfrac32\right)^2=\tfrac94$ .
$\tfrac14+\tfrac{49}{4}+\tfrac94=\tfrac{59}{4}$ .
$\|\vec x\|=\sqrt{\tfrac{59}{4}}=\tfrac{\sqrt{59}}{2}$ .

Respuesta

$\|\vec x\|=\dfrac{\sqrt{59}}{2}\approx 3,84$ .

Ejercicio 2

Con $\vec A=(2,-1,4)$ , $\vec B=(-1,1,2)$ y $\vec C=(1,-1,1)$ , calcular el producto punto $\vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$ .

Ejercicio a

$\vec A\cdot\vec B$

$\vec A\cdot\vec B=(2)(-1)+(-1)(1)+(4)(2)$ .
$=-2-1+8$ .
$=5$ .

Respuesta

$\vec A\cdot\vec B=5$ .

Ejercicio b

$\vec C\cdot\vec B$

$\vec C\cdot\vec B=(1)(-1)+(-1)(1)+(1)(2)$ .
$=-1-1+2$ .
$=0$ .

Respuesta

$\vec C\cdot\vec B=0$ (los vectores son ortogonales).

Ejercicio c

$\vec B\cdot\vec C$

El producto punto es conmutativo: $\vec B\cdot\vec C=\vec C\cdot\vec B$ .
$=(-1)(1)+(1)(-1)+(2)(1)=-1-1+2$ .

Respuesta

$\vec B\cdot\vec C=0$ .

Ejercicio 3

Dos planos $P_1:n_1\cdot(x,y,z)+d_1=0$ y $P_2:n_2\cdot(x,y,z)+d_2=0$ son paralelos si y solo si sus normales son proporcionales, es decir, si $n_2=k\,n_1$ con $k\neq0$ .

Ejercicio a

$P_1:-3x+2y-7z+2=0$ y $P_2:6x+4y-21z+5=0$

$n_1=(-3,2,-7)$ , $n_2=(6,4,-21)$ .
Ratios: $\tfrac{6}{-3}=-2$ , $\tfrac{4}{2}=2$ , $\tfrac{-21}{-7}=3$ .
$-2\neq2\neq3$ : las normales no son proporcionales.

Respuesta

No son paralelos (se cortan).

Ejercicio b

$P_1:2x+4y-2z=1$ y $P_2:-3x-6y+3z=10$

$n_1=(2,4,-2)$ , $n_2=(-3,-6,3)$ .
$k=\tfrac{-3}{2}$ y verifico: $\tfrac{-6}{4}=-\tfrac32$ , $\tfrac{3}{-2}=-\tfrac32$ : sí son proporcionales.
Como las normales son paralelas, los planos son paralelos (o coinciden); como $P_2$ no se obtiene al multiplicar $P_1$ por $k$ ( $k\cdot1=-\tfrac32\neq10$ ), son paralelos y distintos.

Respuesta

Son paralelos.

Ejercicio c

$P_1:4x-y+3z=1$ y $P_2:2x+2y-3z=5$

$n_1=(4,-1,3)$ , $n_2=(2,2,-3)$ .
Ratios: $\tfrac{2}{4}=\tfrac12$ , $\tfrac{2}{-1}=-2$ : no coinciden.

Respuesta

No son paralelos (se cortan).

Ejercicio 4

a

Ecuación vectorial de la recta que pasa por $\mathcal A(1,2,3)$ y $\mathcal B(-1,0,1)$ .

Vector director: $\vec d=\overrightarrow{\mathcal A\mathcal B}=(-1-1,0-2,1-3)=(-2,-2,-2)$ .
Tomo $\vec u=\tfrac12\vec d=(1,1,1)$ como dirección simplificada.
Ecuación vectorial: $\vec r=\overrightarrow{\mathcal A}+t\,\vec u$ .

Respuesta

$\vec r=(1,2,3)+t(1,1,1)$ , $t\in\mathbb R$ ; en paramétricas: $x=1+t$ , $y=2+t$ , $z=3+t$ .

Ejercicio 4

b

Recta paralela al plano $P:3x-y-4z+16=0$ , paralela al plano $xy$ ( $z=0$ ), que pasa por $P(2,0,3)$ .

Dirección $\vec u=(u_x,u_y,u_z)$ debe cumplir $\vec u\cdot(3,-1,-4)=0$ y $\vec u\cdot(0,0,1)=0$ .
De la segunda: $u_z=0$ .
De la primera: $3u_x-u_y=0\Rightarrow u_y=3u_x$ ; con $u_x=1$ : $\vec u=(1,3,0)$ .
Recta: $\vec r=(2,0,3)+t(1,3,0)$ .

Respuesta

$x=2+t$ , $y=3t$ , $z=3$ .

Ejercicio 4

c

Plano $P$ que contiene la recta $L:\begin{cases}2x-y-4z+7=0\\3x+2y+z=0\end{cases}$ y es perpendicular a $P_1:2x+y-2z+1=0$ .

Dirección de $L$ : $\vec u=(2,-1,-4)\times(3,2,1)=((-1)(1)-(-4)(2),-(2(1)-(-4)(3)),2(2)-(-1)(3))=(7,-14,7)$ , es decir $\vec u=(1,-2,1)$ .
Punto de $L$ : con $z=0$ , $2x-y=-7$ y $3x+2y=0\Rightarrow y=-\tfrac32x$ ; entonces $2x+\tfrac32x=-7\Rightarrow x=-2$ , $y=3$ : $Q(-2,3,0)$ .
Normal de $P$ : $\vec n=\vec u\times n_1=(1,-2,1)\times(2,1,-2)=(4-1,-(-2-2),1+4)=(3,4,5)$ .
Plano: $3(x+2)+4(y-3)+5(z-0)=0\Rightarrow 3x+4y+5z-6=0$ .

Respuesta

$P:3x+4y+5z-6=0$ .

Ejercicio 4

d

Intersección de $P_1:x+y+z+1=0$ y $P_2:x-y-z+2=0$ .

Sumo ambas ecuaciones: $(x+y+z+1)+(x-y-z+2)=0\Rightarrow 2x+3=0\Rightarrow x=-\tfrac32$ .
Resto: $(x+y+z+1)-(x-y-z+2)=0\Rightarrow 2y+2z-1=0\Rightarrow y+z=\tfrac12$ .
Tengo un solo parámetro: con $y=t$ , queda $z=\tfrac12-t$ .
Punto base: $t=0\Rightarrow Q\left(-\tfrac32,0,\tfrac12\right)$ ; dirección $(0,1,-1)$ .

Respuesta

La intersección es la recta $x=-\tfrac32$ , $y=t$ , $z=\tfrac12-t$ ; vectorialmente $\vec r=\left(-\tfrac32,0,\tfrac12\right)+t(0,1,-1)$ .

Ejercicio 5

Determinar con Gauss si conjuntos de vectores son linealmente dependientes.

El enunciado de la página aparece cortado en $\mathsf A=$ (el texto continúa en la página siguiente).
Método indicado: los vectores se colocan como columnas de una matriz, se aplica eliminación de Gauss y se observa si hay una columna que no tiene pivote (equivalente a que exista una combinación no trivial que dé el vector nulo).
Si el renglón reducido presenta una fila nula → el conjunto es linealmente dependiente; si cada columna es pivote → linealmente independiente.

Respuesta orientativa: aplica el método de Gauss sobre la matriz cuyas columnas son los vectores del conjunto indicado; una fila nula después de reducir implica dependencia lineal.

Contenido de la página

Tema 1: Vectores

¿Cómo aplicas los vectores en tu vida diaria?

1. Determino la norma de los siguientes vectores:

$\vec u=(2,1,-1);\quad \vec v=(2,-1,-2);\quad \vec x=\left(-\tfrac12,\tfrac72,-\tfrac32\right)$

2. Calculo las operaciones dados los siguientes vectores: $\vec A=(2,-1,4)$ ; $\vec B=(-1,1,2)$ y $\vec C=(1,-1,1)$ ,

a) $\vec A\cdot\vec B$ b) $\vec C\cdot\vec B$ c) $\vec B\cdot\vec C$

3. Determino si los siguientes pares de planos son paralelos:

a) $P_1:-3x+2y-7z+2=0$ ; $P_2:6x+4y-21z+5=0$

b) $P_1:2x+4y-2z=1$ ; $P_2:-3x-6y+3z=10$

c) $P_1:4x-y+3z=1$ ; $P_2:2x+2y-3z=5$

Dato curioso: Se pueden realizar varias operaciones con vectores cómo: suma, resta, producto punto (o producto escalar) y el producto cruz (o producto vectorial).

4. Resuelvo los siguientes ejercicios:

a) Hallo la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos $\mathcal A(1,2,3)$ y $\mathcal B(-1,0,1)$ .

b) Encuentro las ecuaciones paramétricas de la recta que sea paralela al plano $P:3x-y-4z+16=0$ , al plano $xy$ , y que pase por el punto $P(2,0,3)$ .

c) Hallo la ecuación del plano $P$ que contiene a la recta $L:\begin{cases}2x-y-4z+7=0\\3x+2y+z=0\end{cases}$ y es perpendicular al plano $P_1:2x+y-2z+1=0$ .

d) Encuentro la intersección de los planos: $P_1:x+y+z+1=0$ y $P_2:x-y-z+2=0$ .

5. Determino si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes, usando las transformaciones de Gauss: a) $\mathsf A=$ [enunciado cortado en la página]

METACOGNICIÓN

¿Qué he aprendido?
¿Cómo lo he aprendido?
¿Para qué me ha servido?
¿En qué otras ocasiones puedo usarlo?

Ejemplos resueltos

Determinar si $P_1:2x+4y-2z=1$ y $P_2:-3x-6y+3z=10$ son paralelos.

NORMALES: $n_1=(2,4,-2)$ , $n_2=(-3,-6,3)$ .

RATIOS: $\tfrac{-3}{2}=\tfrac{-6}{4}=\tfrac{3}{-2}=-\tfrac32$ , son proporcionales. Multiplicando $P_1$ por $-\tfrac32$ se obtiene $-3x-6y+3z=-\tfrac32\neq10$ : los planos son paralelos y distintos.

Hallar el vector director de la recta que pasa por $\mathcal A(1,2,3)$ y $\mathcal B(-1,0,1)$ .

$\vec d=\overrightarrow{\mathcal A\mathcal B}=(-1-1,0-2,1-3)=(-2,-2,-2)$ ; se puede simplificar a $\vec u=(1,1,1)$ .

Tabla

Ejercicio	Tema	Respuesta
1.a	Norma de $\vec u=(2,1,-1)$	$\sqrt6$
1.b	Norma de $\vec v=(2,-1,-2)$	$3$
1.c	Norma de $\vec x=(-\tfrac12,\tfrac72,-\tfrac32)$	$\tfrac{\sqrt{59}}{2}$
2.a	$\vec A\cdot\vec B$	$5$
2.b	$\vec C\cdot\vec B$	$0$
2.c	$\vec B\cdot\vec C$	$0$
3.a	Paralelismo de planos	No
3.b	Paralelismo de planos	Sí
3.c	Paralelismo de planos	No
4.a	Ecuación de la recta	$\vec r=(1,2,3)+t(1,1,1)$
4.b	Recta paralela a dos planos	$x=2+t,\ y=3t,\ z=3$
4.c	Plano perpendicular a $P_1$	$3x+4y+5z-6=0$
4.d	Intersección de planos	$x=-\tfrac32,\ y+t,\ z=\tfrac12-t$

Diagrama

flowchart LR
  A[Norma v] --> B[Producto punto]
  B --> C[Vector director]
  C --> D[Recta en el espacio]
  D --> E[Plano con normal]
  E --> F[Planos paralelos]
  E --> G[Intersección de planos]
  G --> H[Dependencia lineal - Gauss]

Fórmulas y ecuaciones

$\|\vec v\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

$\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta$

$\vec u\perp\vec v\iff \vec u\cdot\vec v=0$

Planos paralelos $\iff n_2=k\,n_1$ ( $k\neq0$ )

Plano con normal $\vec n$ y punto $P$ : $\vec n\cdot(\vec r-\vec P)=0$

$\|\vec$ u|= $\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}$

$\vec$ $u\cdot\vec$ $v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$

$\vec$ $r=\vec$ $P+t\,\vec$ u

$\vec$ $n\cdot(\vec$ $r-\vec$ P)=0

$\begin{cases}2x-y-4z+7=0\\3x+2y+z=0\end{cases}$

$P:\;3x+4y+5z-6=0$

$\vec$ $r=\left(-\tfrac32,0,\tfrac12\right)+t(0,1,-1)$

Glosario (6)

Norma de un vector: Longitud o módulo de un vector, dada por $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
Producto punto: Operación escalar $\vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$; cero si los vectores son ortogonales.
Vector director: Vector paralelo a una recta que determina su dirección en el espacio.
Vector normal: Vector perpendicular a un plano; sus componentes son los coeficientes de $x,y,z$ de la ecuación del plano.
Recta vectorial: Conjunto $\{P+t\vec u\}$ que describe una recta a partir de un punto y un vector director.
Dependencia lineal: Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si alguno es combinación lineal de los demás; se detecta con Gauss.

Preguntas para practicar

¿Cómo aplicas los vectores en tu vida diaria?

Los vectores se usan en la navegación GPS (desplazamientos y velocidades con dirección), en videojuegos y realidad virtual (posición y orientación de objetos), en la física (fuerzas, campos magnéticos, velocidad) y en la robótica. En todos estos casos la magnitud se expresa mediante un vector $(x,y,z)$.

¿Qué he aprendido? / ¿Cómo lo he aprendido? / ¿Para qué me ha servido? / ¿En qué otras ocasiones puedo usarlo?

Aprendí a calcular la norma y el producto punto de vectores, a decidir si dos planos son paralelos comparando sus normales, a escribir la ecuación vectorial de una recta y la ecuación de un plano, y a hallar la intersección de dos planos reduciendo el sistema. Lo aprendí resolviendo ejercicios paso a paso con operaciones de vectores. Me sirve para modelar magnitudes con dirección (fuerzas, velocidades) y puede usarse en geometría analítica, física, computación gráfica y GPS.

Temas y conceptos clave

Norma de vectores en R3Producto puntoParalelismo de planosRecta en el espacioPlano perpendicularIntersección de planosDependencia linealnormaproducto puntovector directorvector normalrecta vectorialplanoparalelismointerseccióndependencia linealeliminación de Gauss

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Figuras de la página (2)

Ilustración de una escalera con 4 peldaños numerados y las preguntas: ¿Qué he aprendido?, ¿Cómo lo he aprendido?, ¿Para qué me ha servido?, ¿En qué otras ocasiones puedo usarlo? — Figura 2 image

Figura 3 de Matematica 3° · 2024 — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se determina si dos planos en el espacio son paralelos?

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¿Qué es la norma de un vector y cómo se calcula?

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¿Cómo se halla la ecuación vectorial de una recta que pasa por dos puntos?

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¿Qué significa que un conjunto de vectores sea linealmente dependiente?

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📌 Antes de leer esto

• Componentes y operaciones con vectores en el espacio
• Producto punto y producto vectorial
• Forma general de la ecuación de un plano
• Sistemas de ecuaciones lineales y eliminación de Gauss

Siguiente tema sugerido

Continuación de la Ejercicio 5 con los conjuntos de vectores completos y criterio de Gauss aplicado a dependencia lineal

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1213 caracteres

Tema 1: Vectores

¿Como aplicas los vectores en tu vida diaria?

Determino la norma de los siguientes vectores:

ajú= (2,1,-1)

b) 7 = (2, —1, —2)

0)3= Cs, 773)

Calculo las operaciones dados los siguientes vectores: A= (2,-1,4);B = (-1,1,2)y@= (1,-1,)),

yA E b)C-B YB.

Determino si los siguientes pares de planos son paralelos:

a) Pi: -32 + 2y—72+2=0P): 62 + 4y -2124+5=0 b) P, :22+4y-22=1P,: -3x— 6y +32 =10 OP, :4e—-y+32=1P,:274+2y-32=5

Resuelvo los siguientes ejercicios: a) Hallo la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos: A(1, 2, 3) y BA, 0, 1) b) Encuentro las ecuaciones paramétricas de la recta, que sea paralela al plano P: 3a —y— 42+ 16 =0 y al plano xy, y que pase por el punto P (2,0,3). c) Hallo la ecuación del plano P que contiene a la recta

L: [2e-y—4z+7=0 32+2y+2=0 y es

perpendicularalplanoP: : 22 +y=22+1=0

d) Encuentro la intersección de los planos: P]:24+y+241=0 yP2>:2-y-24+2=0