Observa la gráfica y determina el dominio, el recorrido, los intervalos en los que la función es creciente y los intervalos en los que es decreciente.

D=[-2,10]; R=[-3,3]; creciente en (-1,0)(2,4)(6,8); decreciente en (-2,-1)(0,2)(4,6)(9,10).

Expresa tus emociones sobre el trabajo en grupo, participa activamente, expresa tus opiniones y escucha las de los demás.

Respuesta personal. Se debe mencionar la participación, el respeto por las opiniones y la escucha activa.

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Aplicación del teorema de Pitágoras y análisis de funciones

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

5b) $a\approx 231,37\text{ cm}$ , opción A. 6) $\sqrt{2}\text{ m}$ , opción a. 8) $d=5\sqrt{73}\text{ m}\approx 42,72\text{ m}$ . 9) Dominio: $[-2,10]$ ; recorrido: $[-3,3]$ ; creciente: $(-1,0)$ , $(2,4)$ y $(6,8)$ ; decreciente: $(-2,-1)$ , $(0,2)$ , $(4,6)$ y $(9,10)$ .

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Solución — Página 133

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 5

b

Se conoce la hipotenusa $c=234\text{ cm}$ y un cateto $b=35\text{ cm}$ . Por el teorema de Pitágoras:

$a^2+b^2=c^2$

Despejamos $a$ :

$a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{234^2-35^2}=\sqrt{54756-1225}=\sqrt{53531}$

Por tanto:

$a\approx 231,37\text{ cm}$

La respuesta correcta es la opción A.

Ejercicio 6

El triángulo rectángulo es isósceles, por lo que sus dos catetos miden $1\text{ m}$ . Aplicamos el teorema de Pitágoras:

$h^2=1^2+1^2=2$

Entonces:

$h=\sqrt{2}\text{ m}$

La respuesta correcta es la opción a.

Ejercicio 8

La altura del faro y la distancia horizontal del barco forman los catetos de un triángulo rectángulo. La distancia entre la persona y el barco es la hipotenusa:

$d^2=15^2+40^2$

$d^2=225+1600=1825$

$d=\sqrt{1825}=5\sqrt{73}\approx 42,72\text{ m}$

La persona se encuentra aproximadamente a $42,72\text{ m}$ del barco.

Ejercicio 9

De acuerdo con la gráfica, los puntos extremos y los cambios de comportamiento permiten determinar:

Dominio: todos los valores de $x$ desde $-2$ hasta $10$ .
Recorrido: todos los valores de $y$ desde $-3$ hasta $3$ .
La función es creciente cuando sus valores aumentan al avanzar hacia la derecha.
La función es decreciente cuando sus valores disminuyen al avanzar hacia la derecha.

Por ello, el dominio es $[-2,10]$ , el recorrido es $[-3,3]$ , los intervalos crecientes son $(-1,0)$ , $(2,4)$ y $(6,8)$ , y los intervalos decrecientes son $(-2,-1)$ , $(0,2)$ , $(4,6)$ y $(9,10)$ .

Ejercicio 7

Es una actividad de expresión personal y trabajo colaborativo. Una respuesta posible es: Participé activamente, expresé mis ideas con respeto y escuché los criterios de mis compañeros.

Ejercicio 10

La autoevaluación debe completarse de acuerdo con el nivel personal en cada contenido: «Puedo ayudar a otros», «Resuelvo por mí mismo», «Necesito ayuda» o «Estoy en proceso».

Metacognición

Una respuesta posible para la primera pregunta es: Lo más relevante fue aprender a aplicar el teorema de Pitágoras y a determinar el dominio, el recorrido y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

Para la segunda pregunta: Puedo aplicar estos conocimientos para calcular distancias inaccesibles, como la distancia desde un faro hasta un barco, y para interpretar gráficas de situaciones reales.

Contenido de la página

Aplicación del teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

$a^2+b^2=c^2$

Esta relación permite calcular longitudes desconocidas y resolver situaciones reales.

Análisis de una función

El dominio está formado por los valores de $x$ que aparecen en la gráfica. El recorrido está formado por los valores de $y$ que toma la función.

Una función es creciente cuando sus valores aumentan al avanzar de izquierda a derecha, y es decreciente cuando sus valores disminuyen.

Ejemplos resueltos

Una persona está a $15\text{ m}$ de altura y observa un barco situado a $40\text{ m}$ de la base del faro. ¿Qué distancia hay entre la persona y el barco?

$d=\sqrt{15^2+40^2}=\sqrt{1825}=5\sqrt{73}\approx 42,72\text{ m}$

Un triángulo rectángulo isósceles tiene catetos de $1\text{ m}$ . ¿Cuánto mide su hipotenusa?

$h=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\text{ m}$

Fórmulas y ecuaciones

$c^2=a^2+b^2$

$c=\sqrt{a^2+b^2}$

$a^2+b^2=c^2$

$a=\sqrt{c^2-b^2}$

$d=\sqrt{15^2+40^2}=5\sqrt{73}\text{ m}$

Glosario (6)

Hipotenusa: Lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo; se encuentra frente al ángulo recto.
Cateto: Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto.
Dominio: Conjunto de valores de entrada o valores de $x$ de una función.
Recorrido: Conjunto de valores de salida o valores de $y$ de una función.
Función creciente: Función cuyos valores aumentan cuando aumenta la variable independiente.
Función decreciente: Función cuyos valores disminuyen cuando aumenta la variable independiente.

Preguntas para practicar

¿Qué es lo más relevante que aprendiste en esta unidad?

¿Cómo puedes aplicar lo aprendido en esta unidad en una situación de la vida cotidiana?

Temas y conceptos clave

Teorema de PitágorasResolución de problemas con triángulos rectángulosDominio y recorrido de funcionesIntervalos de crecimiento y decrecimientoAutoevaluación y metacogniciónHipotenusaCatetosDominioRecorridoFunción crecienteFunción decrecienteTeorema de Pitágoras

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Figuras de la página (2)

Plano cartesiano con una función representada por varios segmentos y una curva, con valores aproximados entre $x=-2$ y $x=10$. — Figura 2 image

Tabla de autoevaluación con cuatro opciones de desempeño y cinco contenidos de la unidad. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se aplica el teorema de Pitágoras para hallar una distancia?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se determina el dominio y el recorrido de una función?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se identifican los intervalos crecientes y decrecientes en una gráfica?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Reconocer los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo
• Elevar números al cuadrado y calcular raíces cuadradas
• Leer puntos y segmentos en el plano cartesiano
• Interpretar intervalos numéricos

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Aplicación de funciones lineales y cálculo de la pendiente

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b) c=234cm¡a=?;b=35 cm Coevaluación

Archivo editorial.

A A) 231,37 B) 236,60 C) 141,19

¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rec- E tángulo que es isósceles cuyos lados iguales mi- : den 1 m? i

a) 2m b) 2m 1m c) im

Expreso mis emociones. El trabajo en grupo es : fundamental y debes participar activamente; : expresa tus opiniones y criterios. Escucha las de : los demás. i

: Trabajen en equipo y resuelvan. : 8. Una persona se encuentra en lo alto de un faro que

tiene 15 metros de altura. Desde ahí observa un barco que está a 40 metros de la base del faro. ¿Cuál es la distancia de la persona al barco que divisa?

E 9. Observen la gráfica y determinen lo siguiente: : i Mm

a) Escriban el dominio y recorrido de la función.

b) Escriban los intervalos en los cuales la fun- ción es creciente,

c) Escriban los intervalos en los cuales la fun- ción es decreciente,

Autoevaluación