Volumen, igualdades y operaciones con polinomios

La figura está formada por un cubo de arista 5\text{ cm} y una pirámide de base cuadrada, cuya altura es 7\text{ cm}.

Volumen del cubo: V_c=5^3=125\text{ cm}^3

Área de la base de la pirámide: A_b=5^2=25\text{ cm}^2

Volumen de la pirámide: V_p=\frac{1}{3}A_bh=\frac{1}{3}(25)(7)=\frac{175}{3}\text{ cm}^3

Volumen total: V=125+\frac{175}{3}=\frac{550}{3}\approx183,33\text{ cm}^3

La opción indicada por el libro es 183\text{ cm}^3.

i) \left(\sqrt{\sqrt{2}}\right)^{-4}-\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{4}\times1\frac{1}{3}\right) =\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{4}\times\frac{4}{3}\right) =\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}

La igualdad i es correcta.

ii) 0,5+1,22\ldots-\left(0,33\ldots+\frac{2}{9}\right)^{-1} Como 1,22\ldots=\frac{11}{9} y 0,33\ldots=\frac{1}{3}: \frac{1}{2}+\frac{11}{9}-\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{9}\right)^{-1} =\frac{1}{2}+\frac{11}{9}-\left(\frac{5}{9}\right)^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{11}{9}-\frac{9}{5}=-\frac{7}{90} No es igual a -\frac{7}{9}; por tanto, ii es incorrecta.

iii) \left(\frac{3}{5}\pi-\frac{2}{5}\pi\right)\left[\left(\frac{1}{\pi}\right)^{-1}\sqrt{\frac{25}{16\pi^4}}\right] =\frac{\pi}{5}\left[\pi\cdot\frac{5}{4\pi^2}\right]=\frac{\pi}{5}\cdot\frac{5}{4\pi}=\frac{1}{4}

La igualdad iii es correcta.

iv) \sqrt{27}+5\sqrt{128}-\sqrt{243}+4\sqrt{200} =3\sqrt{3}+40\sqrt{2}-9\sqrt{3}+40\sqrt{2} =80\sqrt{2}-6\sqrt{3} La expresión no es igual a 80\sqrt{2}+6\sqrt{3}; por tanto, iv es incorrecta.

La combinación correcta es i y iii, opción b.

Tomando literalmente 0,55\ldots=\frac{5}{9}: 5x+\left(\frac{1}{2}y-\frac{5}{9}x\right)-\frac{1}{3}\left[-(2y+0,75)+0,3x\right]

Primero se simplifica el corchete: -(2y+0,75)+0,3x=-2y-0,75+0,3x

Distribuyendo -\frac{1}{3}: \frac{2}{3}y+0,25-0,1x

Agrupando términos semejantes: \left(5-\frac{5}{9}-0,1\right)x+\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\right)y+0,25 =4,344\ldots x+1,166\ldots y+0,25

Existe una inconsistencia entre el decimal del enunciado y las opciones. La opción a (4,4x+1,166\ldots y+0,25) corresponde si el término fuera 0,5x en lugar de 0,55\ldots x.

\begin{aligned} (4x^2-3x+7)(-x^2+2x-6) &=-4x^4+8x^3-24x^2\\ &\quad+3x^3-6x^2+18x\\ &\quad-7x^2+14x-42 \end{aligned}

Agrupando términos semejantes: -4x^4+(8+3)x^3+(-24-6-7)x^2+(18+14)x-42 =-4x^4+11x^3-37x^2+32x-42

La respuesta correcta es la opción d.