Sean los números a=2+3 y b=2+32. ¿A qué conjunto de números pertenecen los números formados en a y b?

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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El conjunto de los números reales

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Respuesta rápida

$a\in\mathbb{Q}'\subset\mathbb{R}$

$b\in\mathbb{Q}'\subset\mathbb{R}$

Los dos números son irracionales y reales.

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Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

El conjunto de los números reales

Los números reales se representan con el símbolo $\mathbb{R}$ y contienen a los números racionales y a los irracionales:

$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{Q}'$

La relación de inclusión entre los principales conjuntos es:

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

Clasificación

Números naturales: $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$
Números enteros: incluyen los enteros negativos, el cero y los enteros positivos. $\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$
Números racionales: pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, con denominador diferente de cero. $\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b}\mid a,b\in\mathbb{Z},\ b\neq 0\right\}$
Números irracionales: son los números reales que no pueden expresarse como una fracción de dos enteros. $\mathbb{Q}'=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ Algunos ejemplos son $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ , $\pi$ , $e$ y $\varphi$ .

Resolución del desequilibrio cognitivo

Se tienen:

$a=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

$b=2+3\sqrt{2}$

Como $\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$ son números irracionales, su suma $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ también es irracional. Por tanto:

$a\in\mathbb{Q}'\subset\mathbb{R}$

Además, $3\sqrt{2}$ es irracional. Al sumar el número racional $2$ con el número irracional $3\sqrt{2}$ , se obtiene un número irracional. Por tanto:

$b\in\mathbb{Q}'\subset\mathbb{R}$

En consecuencia, ambos números pertenecen al conjunto de los números irracionales y, por estar contenidos en los reales, también pertenecen a $\mathbb{R}$ .

Contenido de la página

Simbología matemática

$\subset$ : subconjunto.
$\cup$ : unión.
$\mid$ : tal que.
$\setminus$ : diferencia de conjuntos.
$\in$ : pertenece a.
$\neq$ : no es igual a.
$\approx$ : aproximado a.

Clasificación de los números reales

$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$

$\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$

$\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b}\mid a,b\in\mathbb{Z},\ b\neq0\right\}$

$\mathbb{Q}'=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$

$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{Q}'$

La inclusión entre conjuntos se expresa así:

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

Ejemplos resueltos

Determina a qué conjunto pertenece $a=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ .

Como $\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$ son irracionales, su suma es irracional. Por tanto, $a\in\mathbb{Q}'$ y también $a\in\mathbb{R}$ .

Determina a qué conjunto pertenece $b=2+3\sqrt{2}$ .

El número $2$ es racional y $3\sqrt{2}$ es irracional. La suma de un racional con un irracional es irracional. Por tanto, $b\in\mathbb{Q}'$ y también $b\in\mathbb{R}$ .

Tabla

Conjunto	Descripción	Ejemplos
$\mathbb{N}$	Números naturales	$1,2,3,\ldots$
$\mathbb{Z}$	Números enteros	$-2,0,5$
$\mathbb{Q}$	Números racionales	$\frac{1}{2},-3,0.75$
$\mathbb{Q}'$	Números irracionales	$\sqrt{2},\pi,\sqrt{5}$
$\mathbb{R}$	Racionales e irracionales	Todos los anteriores

Fórmulas y ecuaciones

$\mathbb{Z}=\mathbb{Z}^{-}\cup\{0\}\cup\mathbb{Z}^{+}$

$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{Q}'$

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

$\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b}\mid a,b\in\mathbb{Z},\ b\neq0\right\}$

$\mathbb{Q}'=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$

$\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{Q}'$

Glosario (4)

número racional: Número que puede escribirse como una fracción de dos números enteros, con denominador distinto de cero.
número irracional: Número real que no puede expresarse como una fracción de dos números enteros.
número real: Número racional o irracional que puede ubicarse en la recta numérica.
subconjunto: Conjunto cuyos elementos pertenecen también a otro conjunto.

Temas y conceptos clave

Conjunto de los números realesNúmeros naturalesNúmeros enterosNúmeros racionalesNúmeros irracionalesSimbología matemática$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$Los números racionales se expresan como fracción de enterosLos números irracionales no pueden expresarse como fracción de enterosLos números reales son la unión de racionales e irracionalesEl símbolo $\in$ significa pertenece aEl símbolo $\neq$ significa no es igual a

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Aproximación decimal y representación de los números reales en la recta numérica

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Tema 1 El conjunto de los números reales R

Competencia sl - Desequilibrio cognitivo socioemocional ~

El trabajo en grupo es Sean los números a=V2+ V3; b = 2 + 3/2.

muy importante para ¿A qué conjunto de números pertenecen los números formados en a y b? lograr objetivos y tu aporte es fundamental. Expresa tu opinión y criterios de una forma apropiada. Las calculadoras de bolsillo permiten representar los números (como por ejemplo 2) hasta con 9 o 10 cifras decimales, pero existen programas específicos que

permiten obtener 4/2 hasta con 32 cifras decimales.

Para comenzar este tema, es necesario precisar algunas nociones básicas.

El signo R representa al conjunto de los números reales. Para indicar que x es un número real, escribiremos x € R y para expresar su negación, empleamos x E R que se lee“x no es un número real",

Sean x, y € R. Para indicar su igualdad se escribirá x = y. Su negación será x # y.

Shutterstock, 620060825.

A continuación, analicemos la clasificación de los números reales.

Conjunto de números naturales N.

N=(1, 2, 3...)

=~ ie ¿Sabías que?

El conjunto de números : positivos y se define como: Z*=[nEN/n=1)

Se designa con Z* al conjunto de los enteros

reales es mucho más grande que el conjunto de los números enteros

the =(1, La

Se designa con Z al conjunto de los enteros

y que el conjunto de los Conjunto de números q =

números racionales ©, be mare negativos y se define como: Z” = {-n /NEN< o) De tal manera que: Z = E 3,-2,-1).

NEZCOCR.

Luego, el conjunto de los números enteros está formado por:

Z=Z U{0}UZ*. Z={.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...

C: subconjunto Conjunto de números

y : O=/%/abe Zconb+ 0 Gin racionales @. Se define como: Q { b /a, ; /:tal que En forma conjuntista, se define como el Erin Conjunto de números conjunto de números reales menos el

i irracionales OQ”. conjunto de números racionales. R \ Q. €: pertenece a Q'= la Es ap coon, da, Bu}

%: no es igual a en ; A Sn sete Conjunto de números e define en forma de conjunto como:

=: aproximado a . reales R. R=QUQ”

Archivo Editorial

M.4.1,28, Reconocer el conjunto de los números reales R e identificar sus elementos.

M.4.1.29. Aproximar números reales a números decimales para resolver problemas.

M.4.1.30, Establecer relaciones de orden en un conjunto de números reales utilizando la recta numérica y la simbología matemática (=, <, <, >, 2).

M.4.1.31. Calcular adiciones y multiplicaciones con números reales y con términos algebraicos aplicando propiedades en R (propiedad distributiva de la suma con respecto al producto).

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