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Compruebo mis aprendizajes

📄 examen Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

b: $9a^2b^3; 3ab^3; 27; 9ab^2$ .
a: $x^2-\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}$ .
d: cociente $2x^2-3x+5$ , residuo $R=2$ .
a: $1C; 2A; 3D; 4B$ .
a: $(2a-5b)(4a^2-2b)$ .
c: $1D; 2A; 3B; 4C$ .

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 15 min lectura

Solución — Página 176

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución

Ejercicio 1

División de monomios

Se divide el coeficiente y se restan los exponentes de las letras:

$27a^3b^4 \div 3ab = 9a^2b^3$ .
$27a^3b^4 \div 9a^2b = 3ab^3$ .
$27a^3b^4 \div a^3b^4 = 27$ .
$27a^3b^4 \div 3a^2b^2 = 9ab^2$ .

El grupo correspondiente es el de la opción b.

Ejercicio 2

División de un polinomio entre un monomio

Se divide cada término entre $\frac{1}{3}x^n$ :

$\frac{\frac{1}{3}x^{n+2}}{\frac{1}{3}x^n}=x^2$

$\frac{-\frac{1}{6}x^{n+1}}{\frac{1}{3}x^n}=-\frac{1}{2}x$

$\frac{\frac{2}{9}x^n}{\frac{1}{3}x^n}=\frac{2}{3}$

Por tanto, el polinomio resultante es $x^2-\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}$ , opción a.

Ejercicio 3

División de polinomios

Dividimos $2x^3-7x^2+11x-8$ entre $x-2$ mediante división sintética con $2$ :

Coeficientes: $2, -7, 11, -8$ .
El cociente tiene coeficientes $2, -3, 5$ .
El residuo es $2$ .

Así, el cociente es $2x^2-3x+5$ y el residuo es $R=2$ . La respuesta es la opción d.

Ejercicio 4

Relación entre divisiones y cocientes

Aplicamos las identidades de diferencia y suma de cubos, además de diferencia de cuadrados:

$\frac{x^3-y^3}{x-y}=x^2+xy+y^2$ , por lo tanto $1\to C$ .
$\frac{x^2-y^2}{x+y}=x-y$ , por lo tanto $2\to A$ .
$\frac{x^2-y^2}{x-y}=x+y$ , por lo tanto $3\to D$ .
$\frac{x^3+y^3}{x+y}=x^2-xy+y^2$ , por lo tanto $4\to B$ .

La combinación correcta es $1C; 2A; 3D; 4B$ , opción a.

Ejercicio 5

Factorización por agrupación

Agrupamos los términos:

$8a^3-4ab-20a^2b+10b^2=(8a^3-20a^2b)+(-4ab+10b^2)$

Sacamos factor común en cada grupo:

$=4a^2(2a-5b)-2b(2a-5b)$

Extraemos el factor común $2a-5b$ :

$=(2a-5b)(4a^2-2b)$

La respuesta es la opción a.

Ejercicio 6

Relación entre trinomios y factorizaciones

$2a^2+ab-21b^2=(2a+7b)(a-3b)$ , por lo tanto $1\to D$ .
$4a^2+28ab+49b^2=(2a+7b)^2$ , por lo tanto $2\to A$ .
$a^2+5ab-24b^2=(a+8b)(a-3b)$ , por lo tanto $3\to B$ .
$4a^2+8ab-21b^2=(2a+7b)(2a-3b)$ , por lo tanto $4\to C$ .

La combinación correcta es $1D; 2A; 3B; 4C$ , opción c.

Contenido de la página

Evaluación sumativa

La página comprueba aprendizajes sobre operaciones algebraicas. Se practican divisiones de monomios, divisiones de polinomios, identidades de suma y diferencia de potencias y distintos métodos de factorización.

Ejemplos resueltos

Divide $27a^3b^4$ entre $3ab$ .

$\frac{27a^3b^4}{3ab}=9a^2b^3$ , porque $27\div 3=9$ , $a^{3-1}=a^2$ y $b^{4-1}=b^3$ .

Factoriza $2a^2+ab-21b^2$ .

Buscamos dos factores que produzcan $-21b^2$ y cuyos términos cruzados sumen $ab$ : $2a^2+ab-21b^2=(2a+7b)(a-3b)$ .

Tabla

División	Cociente
$\frac{x^3-y^3}{x-y}$	$x^2+xy+y^2$
$\frac{x^2-y^2}{x+y}$	$x-y$
$\frac{x^2-y^2}{x-y}$	$x+y$
$\frac{x^3+y^3}{x+y}$	$x^2-xy+y^2$

Fórmulas y ecuaciones

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$

$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$

$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

Glosario (5)

Cociente: Resultado que se obtiene al dividir una expresión entre otra.
Residuo: Cantidad que queda después de efectuar una división cuando esta no es exacta.
Factorización: Proceso de expresar una suma o diferencia como producto de factores.
Diferencia de cuadrados: Expresión de la forma $x^2-y^2$, que se factoriza como $(x-y)(x+y)$.
Trinomio: Polinomio formado por tres términos.

Temas y conceptos clave

División de monomiosDivisión de polinomiosCociente y residuoDiferencia de cuadrados y cubosFactorización por agrupaciónFactorización de trinomiosAl dividir potencias de igual base se restan los exponentes.El cociente de polinomios se obtiene dividiendo término a término cuando el divisor es un monomio.El residuo de una división polinómica puede calcularse mediante división sintética.La diferencia de cuadrados cumple $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.La diferencia de cubos cumple $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.La suma de cubos cumple $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

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