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Tapete de Sierpinski y Esponja de Menger: fractales autosemejantes

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Respuesta rápida

Tapete de Sierpinski: dimensión $\approx 1.893$ . Esponja de Menger: dimensión $\approx 2.727$ . Ambos son fractales autosemejantes.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 54

Colección Ximhai. Múltiples lenguajes. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Contexto de la página

La página es una carta narrativa (no contiene ejercicios con incisos). Juan Manuel describe a Kasia dos objetos matemáticos fractales: el tapete de Sierpinski y la esponja de Menger, y explica su propiedad esencial: la autosimilitud.

Concepto 1: Autosimilitud

Un objeto es autosemejante si al observar una parte de él se ve igual que el objeto completo. Juan Manuel lo ilustra con los tapetes polacos: si se mancha una zona, el dueño obsesivo repite la mancha en cada sección para conservar la autosimilitud.

$\text{Objeto} \;\sim\; \text{cualquiera de sus partes}$

Concepto 2: Tapete de Sierpinski

Se construye partiendo de un cuadrado y eliminando recursivamente el cuadrado central de cada subdivisión $3 \times 3$ .

Cuadrado inicial de lado $L$ .
Se divide en $3 \times 3 = 9$ cuadrados iguales y se elimina el central: quedan $8$ cuadrados de lado $L/3$ .
Se repite el proceso en cada cuadrado restante.

Dimensión fractal:

$D = \frac{\log 8}{\log 3} \approx 1.893$

Concepto 3: Esponja de Menger

Es el análogo tridimensional del tapete. Se parte de un cubo y se subdivide en $3 \times 3 \times 3 = 27$ cubos, eliminando el central y los seis centrales de cada cara.

Cubo inicial de arista $a$ .
Se eliminan $7$ subcubos: quedan $20$ cubos de arista $a/3$ .
Se repite en cada cubo restante.

Dimensión fractal:

$D = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2.727$

Respuesta orientativa: La página no plantea ejercicios numéricos; su propósito es mostrar que los fractales (tapete de Sierpinski y esponja de Menger) son figuras autosemejantes que aparecen tanto en las matemáticas como en tradiciones culturales como los tapetes polacos.

Contenido de la página

Lo que Kasia no entendía era por qué yo sabía de los dichosos tapetes, pues es una tradición polaca muy antigua, pero muy poco conocida fuera del país. Le expliqué que no tenía ni idea de esa tradición, y que el tapete de Sierpinski se conoce también como la curva universal de Sierpinski y que es muy famosa porque en ella "caben" todos los continuos.

Le pedí que me enseñara uno de los tapetes. Tuvimos que ir al museo para encontrar uno. Ya no me sorprendió que fuera una reproducción de la curva universal, sólo que con unas manchas muy extrañas. Kasia me explicó que la belleza de los tapetes radicaba en que eran idénticos si los veías completos o si sólo veías una parte, y que, cuando un tapete se manchaba, el dueño, si era muy obsesivo, tenía que repetir la mancha en cada parte del tapete, para que siguiera siendo autosemejante. No me sorprende que ya solamente se encuentren en los museos. Aquí te envío una foto de uno de los Tapetes de Sierpinski:

TAPETE DE SIERPINSKI

Y, bueno, más o menos esto es lo que he visto en Varsovia. Mañana nos vamos a Cracovia. Ya te extraño mucho y espero verte pronto. También espero que, a pesar de tantas matemáticas, tú todavía quieras verme también.

Te parecerá muy irónico después de esta carta que te escribí, pero te mando una postal de Varsovia vista por otro matemático: Karl Menger. Nunca pensé en encontrar esta postal, pero creo que así se ve Varsovia. La postal, por cierto, se llama esponja de Menger.

Te mando besos congelados, para que los descongeles.

Juan Manuel

Esponja de Menger

Ejemplos resueltos

Calcula la dimensión fractal del tapete de Sierpinski si en cada paso quedan 8 copias de razón 1/3.

Número de copias: $N = 8$ .
Razón de escala: $r = \frac{1}{3}$ .
Fórmula: $D = \frac{\log N}{\log (1/r)} = \frac{\log 8}{\log 3}$ .
$D \approx 1.893$ .

Calcula la dimensión fractal de la esponja de Menger si en cada paso quedan 20 copias de razón 1/3.

Número de copias: $N = 20$ .
Razón de escala: $r = \frac{1}{3}$ .
Fórmula: $D = \frac{\log 20}{\log 3}$ .
$D \approx 2.727$ .

Tabla

Fractal	Dimensión	Número de copias	Razón	Dimensión fractal
Tapete de Sierpinski	2D	8	1/3	≈ 1.893
Esponja de Menger	3D	20	1/3	≈ 2.727

Diagrama

graph TD
  A[Fractales autosemejantes] --> B[Tapete de Sierpinski]
  A --> C[Esponja de Menger]
  B --> B1[2D: cuadrado]
  B --> B2[Elimina cuadrado central]
  B --> B3[D = log 8 / log 3 ≈ 1.893]
  C --> C1[3D: cubo]
  C --> C2[Elimina cubos centrales]
  C --> C3[D = log 20 / log 3 ≈ 2.727]

Fórmulas y ecuaciones

$D_{$ $\text{tapete}$ } = $\frac{\log 8}{\log 3}$

$D_{$ $\text{esponja}$ } = $\frac{\log 20}{\log 3}$

D = $\frac{\log 8}{\log 3}$ $\approx$ 1.893

D = $\frac{\log 20}{\log 3}$ $\approx$ 2.727

Glosario (5)

Autosemejante: Objeto en el que cada parte reproduce la estructura del todo.
Fractal: Figura geométrica con estructura repetitiva a distintas escalas y dimensión no entera.
Tapete de Sierpinski: Fractal bidimensional obtenido al eliminar recursivamente el cuadrado central de cada subdivisión 3×3.
Esponja de Menger: Fractal tridimensional análogo al tapete, construido eliminando cubos centrales de un cubo subdividido en 27 partes.
Curva universal de Sierpinski: Nombre alternativo del tapete de Sierpinski, por contener copias topológicas de toda curva continua.

Preguntas para practicar

¿Por qué se dice que el tapete de Sierpinski es autosemejante?

Porque cualquier porción del tapete, al ampliarla, reproduce la estructura completa del tapete. Esta propiedad se mantiene en cada nivel de construcción, ya que siempre se repite el mismo patrón de eliminar el cuadrado central.

¿Qué relación existe entre el tapete de Sierpinski y la esponja de Menger?

La esponja de Menger es la versión tridimensional del tapete de Sierpinski. Mientras el tapete se construye en el plano eliminando cuadrados centrales, la esponja se construye en el espacio eliminando cubos centrales, conservando ambos la propiedad de autosimilitud.

¿Por qué crees que Juan Manuel menciona a Karl Menger en su carta?

Porque Karl Menger fue el matemático que describió la esponja que lleva su nombre, y Juan Manuel encuentra una postal de Varsovia que le recuerda esa figura fractal. Es un guiño que conecta el viaje con las matemáticas que estudia.

Temas y conceptos clave

FractalesAutosimilitudGeometría fractalCultura polacaAutosimilitudTapete de SierpinskiEsponja de MengerCurva universal de SierpinskiDimensión fractal

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Preguntas que la gente también hace

¿Qué es un fractal y cuáles son sus características?

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¿Cómo se construye el tapete de Sierpinski paso a paso?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué diferencia hay entre el tapete de Sierpinski y la esponja de Menger?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Cuadrado y cubo
• Divisiones y potencias
• Noción de patrón y recursión

Siguiente tema sugerido

Construcción y dimensión de fractales clásicos

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1642 caracteres

Lo que Kasia no entendia era por qué yo sabia de los dichosos tapetes, pues es una tradición polaca muy antigua, pero muy poco conocida fuera del pais. Le expliquéque no tenia ni idea de esa tradición, y que el tapete de Sierpinski se conoce también como la curva universal de Sierpinski y que es muy famosa porque en ella"caben" todos los continuos.

Le pedí que me enseñara uno de los tapetes. Tuvimos que ir al museo para encontrar uno. Ya no me sorprendió que fuera una re

producción de la curva universal, sólo que con unas manchas muy extranas. Kasia me explicó que la belleza de los tapetes radicaba en que eran idénticos si los veias completos o si sólo veias una parte, y que, cuando un tapete se manchaba, el dueño, si era muy obsesivo, tenia que repetir la mancha en cada parte del tapete, para que siguiera siendo autosemejante. No me sorprende que ya solamente se encuentren en los museos.Aquí te envio una foto de uno de los Tapetes de Sierpinski:

Y, bueno, más o menos esto es lo que he visto en Varsovia. Manana nos vamos a Cracovia. Ya te extrano mucho y espero verte pronto. También espero que, a pesar de tantas matemáticas, tú todavia quieras verme también.

Te mando besos congelados, para que los descongeles.

Juan Manuel

ax oonn se aae anpeng ee

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TAPETE DE SIERPINSKI

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