SEP/CONALITEG

53/163

El tranvía de Varsovia y el círculo de Varsovia: un paseo por la topología

📄 teoria matematica 🎓 secundaria · 1° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

Página 53

53 de 163

Anterior Página 53 / 163 Siguiente

Respuesta rápida

El círculo de Varsovia es un continuo definido por $y=\sin(1/x)$ unido al segmento $\{0\}\times[-1,1]$ . El tapete de Sierpinski es un fractal de dimensión $\approx 1.8928$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 53

Colección Ximhai. Múltiples lenguajes. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Contexto de la página

La página pertenece a una lectura narrativa del libro Múltiples lenguajes (SEP, primer grado de secundaria). No contiene ejercicios con enunciado numerado, sino un relato que introduce, de manera informal, dos objetos matemáticos: el círculo de Varsovia y el tapete de Sierpinski.

Paso 1. ¿Qué es el círculo de Varsovia?

El círculo de Varsovia es un continuo (un espacio métrico compacto, conexo y no vacío) construido por el matemático polaco Kazimierz Kuratowski en 1920. Se define como la unión de:

la gráfica de la función $y = \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ para $0 < x \le 1$ ,
el segmento vertical $\{0\} \times [-1, 1]$ .

$W = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : y = \sin\left(\frac{1}{x}\right),\ 0 < x \le 1 \right\} \cup \left( \{0\} \times [-1, 1] \right)$

Respuesta orientativa: el nombre del tranvía y el del continuo coinciden porque ambos describen un recorrido circular que se enrolla infinitamente sobre sí mismo, igual que la curva $y = \sin(1/x)$ oscila infinitas veces al acercarse al eje vertical.

Paso 2. ¿Por qué se llama "círculo"?

Aunque no es un círculo en el sentido geométrico usual, el continuo de Varsovia es hereditariamente indecomponible: no puede separarse en dos subcontinuos propios. Esta propiedad lo hace análogo a un círculo topológico, pero con una estructura infinitamente más compleja.

Paso 3. El tapete de Sierpinski

El tapete de Sierpinski es un fractal que se construye partiendo de un cuadrado, dividiéndolo en 9 cuadrados iguales y eliminando el central; el proceso se repite infinitamente en los 8 cuadrados restantes.

$S = \bigcap_{n=0}^{\infty} S_n, \quad S_0 = [0,1]^2$

Su dimensión de Hausdorff es:

$d_H = \frac{\log 8}{\log 3} \approx 1.8928$

Respuesta orientativa: la broma del narrador ("tapetes de Sierpinski") funciona porque un tapete con esa forma tendría área cero pero perímetro infinito, algo imposible de fabricar físicamente.

Paso 4. Relación con el tranvía

El tranvía que recorre el "periférico de Varsovia" nunca completa la primera vuelta porque, al igual que la curva $y = \sin(1/x)$ , se aproxima asintóticamente a un límite sin alcanzarlo. Es una metáfora del comportamiento de los continuos indescomponibles.

Respuesta orientativa: la lectura invita a comprender que las matemáticas no solo se aprenden con fórmulas, sino también observando el mundo: un simple tranvía puede ser la puerta de entrada a la topología.

Contenido de la página

Una de las cosas más importantes en la ciudad es el transporte público. Y si esperas por más de tres minutos un autobús a esta temperatura, entiendes por qué los autobuses son tan puntuales (hay horarios en cada parada) y por qué hay tranvías por toda la ciudad. Hay Metro, también, pero es una sola línea y tiene trece estaciones.

Los autobuses son como todos los del mundo: más o menos cómodos para sentarte e incómodos para ir parado, pero lo que me sorprendió más fueron los tranvías. Casi todos son iguales, no demasiado viejos ni demasiado nuevos. Funcionan perfectamente y te llevan de un lado a otro en el trayecto más corto posible. Sin embargo, hay una ruta de tranvía que tiene los trenes más antiguos de Polonia, mezclados con otros tan modernos como el resto. Y lo único que no hace es tomar el camino más corto entre dos puntos, sino que se la pasa siguiendo curvas y curvas y más curvas. Se supone que la ruta es un gran periférico de Varsovia, pero ningún tren ha acabado de dar la primera vuelta.

Kasia me contó que se conoce como el círculo de Varsovia, pero me dijo que no sabía por qué lo llamaban así. Y yo me sentí muy feliz de poderle contestar por qué: en efecto, hay un continuo que tiene justo esa forma. Aunque, ahora que lo pienso, no sé si al tranvía le digan así por el continuo, o al continuo por el tranvía, pero los dos se llaman igual y no creo que sea una coincidencia.

Busqué una de esas postales que venden en otras ciudades con el mapa del Metro. Quería una con el mapa de los tranvías, para que vieras el círculo de Varsovia, pero no hay, así que te mando un dibujito de cómo se vería, más o menos:

Estaba impresionado con este descubrimiento del tranvía, y le dije a Kasia, pensando que no me entendería porque no es matemática: "Sólo falta que a la entrada de las casas tengan tapetes de Sierpinski". Volteó a verme realmente sorprendida y casi me asusté pensando que había dicho algo ofensivo. Increíble, pero sí existen.

Ejemplos resueltos

Explica por qué el tranvía de Varsovia nunca completa su primera vuelta.

Porque su trayectoria se modela con la curva $y=\sin(1/x)$ , que oscila infinitas veces al acercarse a $x=0$ sin alcanzarlo. Al igual que esa curva, el tranvía se aproxima asintóticamente a un punto límite sin llegar a cerrar el circuito.

Tabla

Concepto	Definición	Propiedad clave
Círculo de Varsovia	Unión de $y=\sin(1/x)$ con $\{0\}\times[-1,1]$	Continuo indescomponible
Tapete de Sierpinski	Fractal 3×3 con centro eliminado	Dimensión $\approx 1.8928$
Tranvía de Varsovia	Ruta periférica circular	Nunca completa la vuelta

Diagrama

timeline
    title Línea de tiempo del círculo de Varsovia
    1920 : Kuratowski describe el continuo
    1922 : Se populariza como "círculo de Varsovia"
    Actualidad : Se usa en topología y teoría de continuos

Fórmulas y ecuaciones

y = $\sin\left(@@MATH_0@@\right)$

$d_H$ = $\frac{\log 8}{\log 3}$

y = $\sin\left(@@MATH_0@@\right)$

W = $\left\{$ (x, y) : y = $\sin\left(@@MATH_0@@\right),\$ 0 < x $\le$ 1 $\right\}$ $\cup$ $\left($ {0} $\times$ [-1, 1] $\right)$

$d_H$ = $\frac{\log 8}{\log 3}$ $\approx$ 1.8928

Glosario (5)

Continuo: Espacio métrico compacto, conexo y no vacío.
Círculo de Varsovia: Continuo formado por la gráfica de $y=\sin(1/x)$ y el segmento vertical en $x=0$.
Tapete de Sierpinski: Fractal obtenido al eliminar repetidamente el cuadrado central de una subdivisión 3×3.
Fractal: Objeto geométrico con estructura autosimilar a cualquier escala.
Periférico: Vía que rodea una ciudad.

Preguntas para practicar

¿Por qué crees que el tranvía y el continuo matemático comparten el nombre "círculo de Varsovia"?

Porque ambos describen un recorrido circular que se enrolla infinitamente sobre sí mismo. El continuo de Kuratowski tiene una estructura que, aunque no es un círculo geométrico, comparte con él la propiedad de ser indescomponible. La coincidencia del nombre refleja esa analogía topológica.

¿Qué son los tapetes de Sierpinski y por qué el narrador los menciona como broma?

Son fractales que se construyen eliminando el cuadrado central de una cuadrícula 3×3 de forma recursiva. El narrador los menciona en broma porque un tapete así tendría área cero y perímetro infinito, algo imposible de fabricar. Sin embargo, existen representaciones artísticas y matemáticas de ellos.

Temas y conceptos clave

Transporte público en VarsoviaEl círculo de VarsoviaEl tapete de SierpinskiTopología y continuosContinuoCurva $y=\sin(1/x)$FractalDimensión de HausdorffIndescomponibilidad

Fuentes y referencias

Kuratowski, K. (1920). Sur les continus indécomposables.
Sierpinski, W. (1916). Sur une courbe cantorienne.

¿Te fue útil esta página?

Preguntas que la gente también hace

¿Qué es el círculo de Varsovia y por qué se llama así?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se construye el tapete de Sierpinski paso a paso?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué relación hay entre el tranvía de Varsovia y la topología matemática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Nociones básicas de plano cartesiano
• Función seno
• Concepto intuitivo de límite
• Figuras geométricas básicas

Siguiente tema sugerido

Construcción y propiedades del triángulo de Sierpinski

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1924 caracteres

Una de las cosas más importantes en la ciudad es el transporte publico. Y si esperas por más de tres minutos un autobús a esta temperatura, entiendes por qué los autobuses son tan puntuales (hay horarios en cada parada) y por qué hay tranvias por toda la ciudad.Hay Metro, también, pero es una sola linea y tiene trece estaciones.

Los autobuses son como todos los del mundo: más o menos cómodos para sentarte e incómodos para ir parado, pero lo que me sorprendió más fueron los tranvias. Casi todos son iguales, no demasiado viejos ni demasiado nuevos. Funcionan perfectamente y te llevan de un lado a otro en el trayecto más corto posible. Sin embargo, hay una ruta de tranvia que tiene los trenes más antiguos de Polonia, mezclados con otros tan modernos como el resto. Y lo único que no hace es tomar el camino más corto entre dos puntos, sino que se la pasa siguiendo curvas y curvas y más curvas. Se supone que la ruta es un gran periférico de Varsovia, pero ningún tren ha acabado de dar la primera vuelta.

tí muy feliz de poderle contestar por qué:en efecto, hay un continuo que tiene justo esa forma. Aunque, ahora que lo pienso,no sé si al tranvia le digan así por el continuo,o al continuo por el tranvia, pero los dos sellaman igual y no creo que sea una coincidencia.

Busqué una de esas postales que venden en otras ciudades con el mapa del Metro. Queria una con el mapa de los tranvias, para que vieras el circulo de Varsovia,pero no hay, así que te mando un dibujito de cómo se veria, más o menos:

Estaba impresionado con este descubrimiento del tranvia, y le dije a Kasia, pensando que no me entenderia porque no es matemática:"Sólo falta que a la entrada de las casas tengan tapetes de Sierpinski.Volteó a verme realmente sorprendida y casi me asusté pensando que habia dicho algo ofensivo. Increible, pero sí existen.

![](page=0,bbox=[177, 489, 1012, 980])

![](page=0,bbox=[685, 1247, 1026, 1518])

Páginas cercanas