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El triángulo de Sierpinski y las figuras autosemejantes

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Respuesta rápida

El triángulo de Sierpinski es un continuo autosemejante que se construye quitando o añadiendo triángulos equiláteros de forma infinita.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 50

Colección Ximhai. Múltiples lenguajes. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Análisis del contenido

La página es una lectura de divulgación matemática (no contiene ejercicios con incisos). Se explican tres ideas centrales:

Continuos: figuras que pueden tener partes infinitas; por eso se dice que son "casi" dibujos, ya que no podemos dibujar algo infinito.
Figuras autosemejantes: figuras que son iguales a sí mismas en cualquier escala; si observas un fragmento, no puedes distinguir si es una parte o la figura completa.
Triángulo de Sierpinski: ejemplo clásico de continuo autosemejante, descubierto por el matemático polaco Waclaw Sierpinski.

Construcción del triángulo de Sierpinski

Método 1: por sustracción (triángulo "relleno")

Se parte de un triángulo equilátero relleno.
Se unen los puntos medios de cada lado y se retira el triángulo equilátero central que se forma.
Quedan tres triángulos equiláteros más pequeños.
Se repite el proceso en cada uno de ellos, y así sucesivamente hasta el infinito.

Método 2: por adición (triángulo "sin relleno")

Se parte de un triángulo equilátero sin relleno.
Se colocan copias iguales a su lado y arriba, formando un triángulo más grande.
Se repite el proceso con el triángulo grande, y así sucesivamente.

Respuesta orientativa: El triángulo de Sierpinski es un fractal autosemejante: cualquier porción que se observe reproduce la estructura del todo, y su construcción puede hacerse quitando o añadiendo triángulos de manera infinita.

Contexto histórico

Waclaw Sierpinski vivió entre finales del siglo XIX y principios del XX. El texto narra de forma literaria cómo el autor imagina las nubes de Varsovia formadas por triángulos cada vez más pequeños o más grandes, como una metáfora visual del fractal.

Contenido de la página

Ya lo sé, parece trabalenguas, pero eso pasa cuando tienes "casi" dibujos. Lo que sucede es que los continuos pueden tener partes infinitas, y no sabemos dibujar cosas infinitas, por eso el "casi".

Las figuras autosemejantes son más fáciles de definir, ya que son iguales a ellas mismas no importa qué parte estés viendo; es decir, que si sólo te fijas en un pedazo de la figura, no vas a poder distinguir si de verdad es sólo un cachito o es toda completa porque estarías viendo lo mismo; y muchas de estas figuras también son continuos.

Bueno, pues resulta que esta ciudad está llena de continuos. Todavía no aterrizaba cuando empezaron a aparecer estas cosas. Volé desde Praga hasta Varsovia y, como era de esperarse en invierno, lo único que se veía por las ventanas eran las nubes. Todo lleno de nubes para donde voltearas. De pronto, el piloto dijo que volábamos sobre Varsovia. Ingenuamente, volví a asomarme por si se veía algo que no fueran nubes. Como dije: ingenuamente. Sólo nubes, pero eran diferentes. Sobre Varsovia, las nubes estaban formadas por triángulos, cada vez más pequeños o más grandes, según quisieras verlos. Fue entonces que entendí por qué había sido Waclaw Sierpinski —ni más ni menos que un matemático polaco— el descubridor o inventor del famoso triángulo de Sierpinski. Este continuo lo puedes construir de dos maneras distintas: empiezas con un triángulo equilátero "relleno" y le "quitas" el triángulo equilátero que se forma al unir los puntos medios de cada lado. Así, te quedan tres triangulitos, a los que les haces lo mismo otra vez; y así hasta que te aburras y un poco más. La otra manera es, empezando con un triángulo equilátero "sin relleno", poner otro igualito al lado y otro arriba, para formar un triángulo más grande. Vuelves a hacer lo mismo con el triángulo grande, otra vez hasta el cansancio y más. Por eso digo que puedes ver triángulos más chicos o más grandes en las nubes de Varsovia.

Como Sierpinski vivió a finales del siglo XIX y principios del XX, supuse que no había visto las nubes desde la perspectiva que yo tenía en esos momentos, así que lo primero que hice en Varsovia fue mirar hacia arriba. ¡Imagínate vivir con un cielo que se parece a esto!:

Triángulo de Sierpinski

María Guadalupe Rocha Marcos, Claudia de Acuña

Tabla

Método	Punto de partida	Procedimiento	Resultado
Sustracción	Triángulo equilátero relleno	Unir puntos medios y quitar el triángulo central	Triángulo de Sierpinski
Adición	Triángulo equilátero sin relleno	Colocar copias al lado y arriba	Triángulo de Sierpinski

Diagrama

graph TD
    A[Triángulo equilátero inicial] --> B[Unir puntos medios]
    B --> C[Retirar triángulo central]
    C --> D[Quedan 3 triángulos]
    D --> E[Repetir en cada triángulo]
    E --> F[Fractal infinito]

Glosario (4)

Continuo: Figura o conjunto que puede tener partes infinitas y que no puede dibujarse por completo.
Autosemejante: Figura que es igual a sí misma en cualquier escala; cualquier fragmento reproduce la estructura del todo.
Triángulo de Sierpinski: Fractal autosemejante construido a partir de un triángulo equilátero mediante la eliminación o adición infinita de triángulos.
Fractal: Figura geométrica con estructura compleja que se repite a diferentes escalas.

Preguntas para practicar

¿Por qué se dice que las figuras autosemejantes son "casi" dibujos?

Porque los continuos pueden tener partes infinitas y no es posible dibujar algo infinito; por eso se usa el término "casi" para indicar que solo podemos representar aproximaciones finitas de la figura.

¿Qué relación existe entre las nubes de Varsovia descritas en el texto y el triángulo de Sierpinski?

Las nubes se describen formadas por triángulos cada vez más pequeños o más grandes, lo que refleja la propiedad de autosemejanza del triángulo de Sierpinski, donde la estructura se repite a distintas escalas.

Temas y conceptos clave

Continuos matemáticosFiguras autosemejantesTriángulo de SierpinskiFractalesContinuoAutosemejanzaFractalTriángulo equiláteroPunto medioInfinito

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Preguntas que la gente también hace

¿Qué es una figura autosemejante y cuáles son ejemplos?

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¿Cómo se construye el triángulo de Sierpinski paso a paso?

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¿Quién fue Waclaw Sierpinski y qué aportó a las matemáticas?

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📌 Antes de leer esto

• Concepto de triángulo equilátero
• Punto medio de un segmento
• Nociones básicas de infinito

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Otros fractales: el copo de nieve de Koch y el conjunto de Mandelbrot

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2290 caracteres

Ya lo sé, parece trabalenguas, pero eso pasa cuando tienes"casi dibujos. Lo que sucede es que los continuos pueden tener partes infinitas, y no sabemos dibujar cosas infinitas,poresoel"casi".

Las figuras autosemejantes son más fáciles de definir, ya que son iguales a ellas mismas no importa qué parte estés viendo;es decir, que si sólo te fijas en un pedazo de la figura, no vas a poder distinguir si de verdad es sólo un cachito o es toda completa porque estarias viendo lo mismo: y muchas de estas figuras también son continuos.

Bueno, pues resulta que esta ciudad estállena de continuos. Todavia no aterrizaba cuando empezaron a aparecer estas cosas.Volé desde Praga hasta Varsovia y. como era de esperarse en invierno, lo único que se veia por las ventanas eran las nubes. Todo lleno de nubes para donde voltearas. De pronto, el piloto dijo que volábamos sobre Varsovia. Ingenuamente, volví a asomarme por si se veia algo que no fueran nubes.Como dije: ingenuamente. Sólo nubes, pero eran diferentes. Sobre Varsovia, las nubes estaban formadas por triángulos, cada vez más pequeños o más grandes, según quisieras verlos. Fue entonces que entendí por qué habia sido Waclaw Sierpinski —ni más ni menos que un matemático polaco— el descubridor o inventor del famoso triángulo de Sierpinski. Este continuo lo puedes construir de dos maneras distintas:empiezas con un triángulo equilátero"relleno"y le"quitas" el

triángulo equilátero que se forma al unir los puntos medios de cada lado. Asi, te quedan tres triangulitos, a los que les haces lo mismo otra vez; y así hasta que te aburras y un poco más. La otra manera es, empezando con un triángulo equilátero"sin relleno" poner otro igualito al lado y otro arriba, para formar un triángulo más grande. Vuelves a hacer lo mismo con el triángulo grande, otra vez hasta el cansancio y más. Por eso digo que puedes ver triángulos más chicos o más grandes en las nubes de Varsovia.

Como Sierpinski vivió a finales del siglo xix y principios del xx, supuse que no había visto las nubes desde la perspectiva que yo tenia en esos momentos, así que lo primero que hice en Varsovia fue mirar hacia arriba. jlmagínate vivir con un cielo que se parecea esto!:

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