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El arcoíris matemático: continuo de Knaster y conjunto de Cantor

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Respuesta rápida

El conjunto de Cantor se construye quitando el tercio central de un segmento de forma repetida. El continuo de Knaster une los puntos de Cantor con semicircunferencias. Las Islas de Wada son otro ejemplo de continuo.

📚 theory matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 52

Colección Ximhai. Múltiples lenguajes. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Contexto de la página

La página pertenece a un relato de divulgación matemática ambientado en Polonia. No contiene ejercicios con enunciado numerado, sino una explicación literaria de dos objetos matemáticos: el conjunto de Cantor y el continuo de Knaster. A continuación se explica con rigor lo que el texto describe.

Paso 1: El conjunto de Cantor

El texto describe el procedimiento clásico: se toma un segmento, se divide en tres partes iguales y se elimina la parte central; luego se repite con cada uno de los dos segmentos restantes, y así indefinidamente.

Se parte del intervalo $[0,1]$ .
Se divide en tres partes: $[0,\tfrac{1}{3}]$ , $(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3})$ y $[\tfrac{2}{3},1]$ .
Se elimina el tercio central $(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3})$ .
Se repite el proceso con $[0,\tfrac{1}{3}]$ y $[\tfrac{2}{3},1]$ .
En el límite queda el conjunto de Cantor $C$ , formado por puntos como $0$ , $1$ , $\tfrac{1}{3}$ , $\tfrac{2}{3}$ , $\tfrac{1}{9}$ , $\tfrac{2}{9}$ , etc.

Propiedades: es no numerable, tiene medida de Lebesgue cero y dimensión fractal $\log 2 / \log 3 \approx 0{,}6309$ .

Paso 2: El continuo de Knaster

El texto indica que, si se unen los puntos del conjunto de Cantor mediante un sistema complicado de medias circunferencias, se obtiene el continuo de Knaster (también llamado arco iris polaco o continuo de Knaster).

Se toma el conjunto de Cantor $C$ sobre una recta.
Se trazan semicircunferencias que conectan pares de puntos de $C$ siguiendo un patrón jerárquico.
El resultado es un continuo (compacto, conexo y métrico) que no es un arco: contiene curvas cerradas simples.
Si se colorean las semicircunferencias con los colores del arcoíris, se obtiene la imagen que aparece en la página.

Respuesta orientativa: El texto no pide cálculos, sino comprender que un continuo es un objeto matemático conexo y compacto, y que el conjunto de Cantor es la base del continuo de Knaster.

Paso 3: Las Islas de Wada

El texto menciona las Islas de Wada como otro ejemplo de continuo. En topología, un continuo de Wada es un continuo plano que separa el plano en tres o más regiones cuyas fronteras coinciden todas con el mismo continuo.

Respuesta orientativa: Las Islas de Wada ilustran que un continuo puede tener fronteras compartidas por varias regiones a la vez, un fenómeno contraintuitivo que conecta la topología con la geografía imaginaria del relato.

Contenido de la página

No sé si Koch estuvo en Polonia, si la nieve en Suecia es similar a la de aquí o si sólo se lo imaginó, pero el parecido entre los copos varsovianos y los copos de Koch es asombroso.

Empezaba a pensar que la naturaleza polaca tenía algo a favor de los triángulos, pero no, después me di cuenta que sólo tiene algo a favor de los continuos: todo en esta ciudad son casi dibujos de una sola pieza.

Al día siguiente, por alguna razón que aún no logro entender, pues no había sol, apareció un arco iris gigante en el cielo. Era realmente bonito de pronto ver los colores entre tanto gris. Y, como ya debes estar imaginándote, no era el arco iris que se ve en el resto del mundo, sino un arco iris matemático, un continuo. En matemáticas se llama continuo de Knaster —casualmente llamado así por el matemático polaco que lo descubrió, Bronislaw Knaster—, y de verdad parece un arcoíris, pero un poco más complejo: si tomas la medida de un extremo al otro del arco iris y la divides entre tres y "quitas" lo que hay en el pedazo central y repites la operación con los dos pedazos que te quedaron, y lo sigues haciendo hasta que haya sólo puntos, lo que te queda se llama conjunto de Cantor. Ahora, si unes esos puntos por un complicadísimo sistema de medias circunferencias, obtienes el continuo de Knaster. Y, si logras colorear esas medias circunferencias de tal forma que parezca arcoíris, entonces obtienes el arco iris polaco, bueno, no sé si fuera de Varsovia también pasen estas cosas. Por cierto, se parece a esto:

[Imagen: Continuo de Knaster]

Dicen que en la costa norte de Polonia hay unas islas llamadas Islas de Wada que también forman un continuo, pero como no he ido ahí, y con lo que me platicaron no logré imaginármelo, lo dejo para otro viaje, si es que Kasia me lleva al norte después de Cracovia.

Pero no creas que con la naturaleza se acaban las matemáticas en esta ciudad. También tienen continuos creados por ellos mismos. De verdad estoy considerando que tener inviernos con sólo cuatro o cinco horas de luz (ni siquiera podría decir que son horas de sol) hace que la gente vea el mundo de una manera muy distinta.

Ejemplos resueltos

Describe el procedimiento para construir el conjunto de Cantor a partir del intervalo $[0,1]$ .

Se parte del intervalo $[0,1]$ .
Se divide en tres partes iguales: $[0,\frac{1}{3}]$ , $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ , $[\frac{2}{3},1]$ .
Se elimina el intervalo central $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ .
Se repite el proceso con los dos intervalos restantes.
El límite de este proceso es el conjunto de Cantor $C$ .

Diagrama

graph TD
A[Segmento inicial] --> B[Quitar tercio central]
B --> C[Repetir en cada segmento]
C --> D[Conjunto de Cantor]
D --> E[Unir puntos con semicircunferencias]
E --> F[Continuo de Knaster]

Fórmulas y ecuaciones

$\dim_H(C)$ = $\frac{\log 2}{\log 3}$

C = $\bigcap_{n=0}^{\infty}$ $C_n$

$\dim_H(C)$ = $\frac{\log 2}{\log 3}$ $\approx$ 0{,}6309

Glosario (5)

Continuo: En topología, espacio métrico compacto y conexo.
Conjunto de Cantor: Conjunto fractal obtenido al eliminar repetidamente el tercio central de un segmento.
Continuo de Knaster: Continuo construido uniendo los puntos del conjunto de Cantor mediante semicircunferencias.
Islas de Wada: Continuo plano que separa el plano en tres o más regiones cuyas fronteras coinciden.
Copo de Koch: Fractal clásico que se construye añadiendo triángulos equiláteros sobre los lados de un triángulo.

Preguntas para practicar

¿Qué relación existe entre el conjunto de Cantor y el continuo de Knaster?

El continuo de Knaster se construye uniendo los puntos del conjunto de Cantor mediante un sistema de medias circunferencias. Es decir, el conjunto de Cantor es la base sobre la que se levanta el continuo de Knaster.

¿Por qué el texto afirma que el arco iris polaco es un continuo matemático?

Porque el continuo de Knaster es un espacio topológico conexo y compacto, propiedades que lo definen como continuo matemático. El colorido del arcoíris es una representación visual de esas semicircunferencias.

Temas y conceptos clave

Conjunto de CantorContinuo de KnasterArco iris matemáticoIslas de WadaDivulgación matemáticaConjunto de CantorContinuo de KnasterArco iris polacoIslas de WadaContinuo matemáticoFractal

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Preguntas que la gente también hace

¿Qué es el conjunto de Cantor y cómo se construye?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué diferencia hay entre un continuo y un arco?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué son las Islas de Wada en topología?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Nociones básicas de segmentos y divisiones
• Concepto intuitivo de infinito
• Lectura de textos narrativos

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Construcción de fractales clásicos: copo de nieve de Koch y triángulo de Sierpinski

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2060 caracteres

No sé si Koch estuvo en Polonia, si la nieve en Suecia es similar a la de aquí o si sólo se lo imaginó, pero el parecido entre los copos varsovianos y los copos de Koch es asombroso.

Empezaba a pensar que la naturaleza polaca tenia algo a favor de los triángulos, pero no, después me di cuenta que sólo tiene algo a favor de los continuos: todo en esta ciudad son casi dibujos de una sola pieza.

Al dia siguiente, por alguna razón que aún no logro entender, pues no habia sol,apareció un arco iris gigante en el cielo. Era realmente bonito de pronto ver los colores entre tanto gris. Y, como ya debes estar imaginándote, no era el arco iris que se ve en el resto del mundo, sino un arco iris matemático, un continuo. En matemáticas se llama

brió, Bronislaw Knaster-,yde verdad parece un arcoíris, pero un poco más complejo:si tomas la medida de un extremo al otro del arco iris y la divides entre tres y"quitas"lo que hay en el pedazo central y repites la operación con los dos pedazos que te quedaron, y lo sigues haciendo hasta que haya sólo puntos, lo que te queda se llama conjunto de Cantor. Ahora, si unes esos puntos por un complicadisimo sistema de medias circunferencias, obtienes el continuo de Knaster. Y, si logras colorear esas medias circunferencias de tal forma que parezca arcoíris, entonces obtienes el arco iris polaco, bueno, no sé si fuera de Varsovia también pasen estas cosas.Por cierto, se parece a esto:

Dicen que en la costa norte de Polonia hay unas islas llamadas Islas de Wada que también forman un continuo, pero como no he ido ahí, y con lo que me platicaron no logréimaginármelo, lo dejo para otro viaje, si es que Kasia me lleva al norte después de Cracovia.

Pero no creas que con la naturaleza se acaban las matemáticas en esta ciudad.También tienen continuos creados por ellos mismos. De verdad estoy considerando que tener inviernos con sólo cuatro o cinco horas de luz (ni siquiera podria decir que son horas de sol) hace que la gente vea el mundo de una manera muy distinta.

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