Contexto: el problema de Monty Hall

En un concurso hay 3 puertas cerradas; detrás de una está un automóvil y detrás de las otras dos, cabras. El concursante elige una puerta. El presentador, que sabe dónde está el premio, abre una de las puertas no elegidas que contiene una cabra y ofrece cambiar.

¿Conviene cambiar?

1. Probabilidad inicial de acertar con la puerta elegida:

P(\text{acertar sin cambiar}) = \frac{1}{3}

2. Probabilidad de que el automóvil esté en alguna de las otras dos puertas:

P(\text{auto en las otras dos}) = \frac{2}{3}

3. El presentador siempre abre una puerta con cabra entre las no elegidas, por lo que esa probabilidad de \frac{2}{3} se concentra en la única puerta que queda cerrada.

P(\text{ganar cambiando}) = \frac{2}{3}

4. Comparación:

\frac{2}{3} > \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad \text{cambiar duplica la probabilidad de ganar}

Respuesta: Marilyn vos Savant tenía razón: cambiar de puerta da probabilidad \frac{2}{3} frente a \frac{1}{3} si no se cambia.

Paso 1: ¿Por qué la intuición del 50% es incorrecta?

El error consiste en tratar las dos puertas cerradas como si fueran equiprobables. No lo son, porque el presentador no abre una puerta al azar: su elección depende de dónde está el automóvil y de la puerta elegida por el concursante.

Respuesta orientativa: La probabilidad no se reparte por igual entre las dos puertas restantes; la información que aporta el presentador al abrir una puerta con cabra se acumula en la puerta no elegida que permanece cerrada.

Paso 2: Verificación con casos posibles

Si el concursante siempre cambia, pierde solo cuando eligió el automóvil en el primer intento, es decir, en 1 de cada 3 casos.

P(\text{perder cambiando}) = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad P(\text{ganar cambiando}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Respuesta orientativa: La verificación confirma el resultado: cambiar gana en 2 de cada 3 partidas.