El problema de Monty Hall: análisis por casos y ventaja de cambiar de puerta

Analizar el problema de Monty Hall cuando el concursante elige la puerta 3 y el presentador, que conoce el contenido, abre una puerta con cabra. Determinar en qué casos conviene cambiar de puerta.

1. Se fija la elección inicial: puerta 3. El coche puede estar en cualquiera de las tres puertas con probabilidad \frac{1}{3}.
2. Caso 1: el coche está en la puerta 3 (la elegida). El presentador puede abrir la puerta 1 o la 2, ambas con cabra. Si el concursante cambia, pierde; si no cambia, gana.
3. Caso 2: el coche está en la puerta 2. El presentador no puede abrir la 2 (tiene el coche) ni la 3 (fue elegida), así que abre la puerta 1. Si el concursante cambia a la puerta 2, gana; si no cambia, pierde.
4. Caso 3: el coche está en la puerta 1. El presentador no puede abrir la 1 (tiene el coche) ni la 3 (fue elegida), así que abre la puerta 2. Si el concursante cambia a la puerta 1, gana; si no cambia, pierde.
5. Se cuentan los resultados: cambiar de puerta gana en 2 de los 3 casos; no cambiar gana en 1 de los 3 casos.

P(\text{ganar si cambia}) = \frac{2}{3} \approx 0{,}667

P(\text{ganar si no cambia}) = \frac{1}{3} \approx 0{,}333

¿Por qué es incorrecto pensar que, tras abrir el presentador una puerta con cabra, quedan dos puertas y cada una tiene probabilidad \frac{1}{2}?

1. El presentador no abre una puerta al azar: sabe dónde está el coche y siempre abre una puerta con cabra.
2. Esa acción aporta información y actualiza las probabilidades; no se reparte el espacio muestral en partes iguales.
3. La puerta elegida inicialmente conserva su probabilidad original \frac{1}{3}, mientras que la otra puerta cerrada concentra la probabilidad restante \frac{2}{3}.