Vitral de octágonos y arreglo de flechas numéricas

A Martín le pidieron elaborar un vitral con octágonos regulares y cuadrados. Para ensamblar el vitral, utiliza varillas de plomo en cada uno de los lados de las figuras. El diseño es el de la figura, pero el vitral que debe fabricar tendrá 28 octágonos en total. ¿Cuántas cajas de 30 varillas debe comprar para hacer este vitral?

1. En el diseño mostrado, cada octágono comparte lados con cuadrados y con otros octágonos. Observamos que cada octágono tiene 8 lados, pero algunos lados se comparten con cuadrados o con otros octágonos, por lo que no se necesitan varillas adicionales en esos lados.
2. En la figura, los octágonos están unidos por cuadrados en sus lados horizontales y verticales. Cada cuadrado comparte un lado con un octágono. Si contamos las varillas necesarias para un octágono aislado, serían 8. Pero al unirlos, algunos lados se comparten.
3. Para simplificar, contemos el número de varillas por octágono en el diseño completo. En la figura hay 3 octágonos en la fila superior, 4 en la fila media y 3 en la fila inferior, total 10 octágonos. Pero el vitral tendrá 28 octágonos. Necesitamos una fórmula.
4. Observamos que cada octágono tiene 8 lados. Si no se compartieran lados, 28 octágonos necesitarían 28 \times 8 = 224 varillas. Pero los lados compartidos con cuadrados y entre octágonos reducen el número.
5. En el diseño, cada cuadrado está rodeado por 4 octágonos (excepto en los bordes). Cada cuadrado comparte sus 4 lados con octágonos, por lo que no requiere varillas propias; las varillas son los lados de los octágonos. Así, las varillas son exactamente los lados de los octágonos que no se comparten con otros octágonos.
6. Contemos los lados compartidos entre octágonos. En la figura, los octágonos se tocan solo a través de los cuadrados, no directamente. Por lo tanto, cada lado de un octágono que está en contacto con un cuadrado no necesita varilla adicional? No, la varilla es el lado del octágono, y el cuadrado también tiene lados. Pero el enunciado dice: "utiliza varillas de plomo en cada uno de los lados de las figuras". Esto incluye los lados de los cuadrados también. Entonces, necesitamos contar todos los lados de octágonos y cuadrados, pero restando los lados que se comparten entre figuras (porque una varilla puede servir para dos figuras adyacentes).
7. En el diseño, cada cuadrado comparte cada uno de sus 4 lados con un octágono. Por lo tanto, los lados de los cuadrados no requieren varillas adicionales; las varillas son los lados de los octágonos que no están en contacto con otros octágonos. Pero como los octágonos no se tocan directamente, todos los lados de los octágonos que están en el borde exterior del vitral necesitan varilla, y los lados interiores que dan a los cuadrados también necesitan varilla porque el cuadrado no aporta varilla propia? En realidad, si el cuadrado comparte un lado con un octágono, ese lado es una varilla que sirve para ambos. Pero el cuadrado tiene 4 lados, cada uno compartido con un octágono diferente. Entonces, cada cuadrado no añade varillas nuevas; las varillas son los lados de los octágonos. Pero un octágono tiene 8 lados. Si está rodeado por 4 cuadrados (en sus lados alternos) y por otros octágonos? En la figura, los octágonos están separados por cuadrados, no se tocan. Así, cada octágono tiene 4 lados que dan a cuadrados y 4 lados que dan al exterior o a otros octágonos? En la figura, los octágonos están en una cuadrícula: cada octágono está rodeado por 4 cuadrados en sus lados horizontales y verticales, y por 4 octágonos en sus diagonales? No, en la figura los octágonos no se tocan en las diagonales; están separados por cuadrados. Entonces, cada octágono tiene 8 lados: 4 lados que comparte con cuadrados (arriba, abajo, izquierda, derecha) y 4 lados que dan al exterior o a otros octágonos? En la figura, los octágonos de la misma fila están separados por cuadrados, no se tocan. Los octágonos de filas adyacentes también están separados por cuadrados. Por lo tanto, cada octágono tiene 4 lados que dan a cuadrados y 4 lados que dan al exterior (borde) o a otros octágonos? Pero como no hay contacto directo entre octágonos, los 4 lados restantes dan al exterior o a cuadrados? En realidad, un octágono regular tiene 8 lados. En la figura, los lados horizontales y verticales están en contacto con cuadrados. Los lados diagonales están en contacto con el exterior o con otros octágonos? En la figura, los octágonos están dispuestos de manera que los lados diagonales de octágonos adyacentes no se tocan; hay espacio vacío. Por lo tanto, todos los lados diagonales dan al exterior. Así, cada octágono tiene 4 lados compartidos con cuadrados y 4 lados que dan al exterior. Pero los cuadrados también tienen lados que dan al exterior? Los cuadrados están en los espacios entre octágonos; sus lados están todos compartidos con octágonos, excepto en los bordes del vitral, donde algunos lados de cuadrados dan al exterior. Sin embargo, el enunciado dice que se utilizan varillas en cada uno de los lados de las figuras. Esto sugiere que se cuenta cada lado de cada figura, pero si dos figuras comparten un lado, se cuenta una sola varilla. Por lo tanto, el número total de varillas es igual al número de lados de todas las figuras menos el número de lados compartidos.
8. Calculemos para el diseño de la figura. En la figura hay 10 octágonos y 9 cuadrados? Contemos: en la fila superior hay 3 octágonos y 2 cuadrados entre ellos? En la imagen, la fila superior tiene 3 octágonos verdes y 2 cuadrados azules entre ellos, y también hay cuadrados en los extremos? La imagen muestra: fila superior: octágono, cuadrado, octágono, cuadrado, octágono, y luego un cuadrado a la derecha? En la imagen, a la derecha del último octágono verde hay un cuadrado azul. Así que en la fila superior hay 3 octágonos y 3 cuadrados? Mejor contemos directamente de la imagen: La figura muestra 3 filas de octágonos: superior (3 octágonos), media (4 octágonos), inferior (3 octágonos). Total 10 octágonos. Los cuadrados están entre ellos. En la fila superior, entre los 3 octágonos hay 2 cuadrados, y a la derecha del tercer octágono hay 1 cuadrado, y a la izquierda del primer octágono no hay cuadrado? En la imagen, el octágono más a la izquierda de la fila superior no tiene cuadrado a su izquierda; el borde izquierdo es el octágono. Similar en la fila inferior. En la fila media, hay 4 octágonos y 3 cuadrados entre ellos, y también cuadrados en los extremos? La imagen muestra que en la fila media, a la izquierda del primer octágono rosa hay un cuadrado? No, el octágono rosa más a la izquierda está en el borde. Pero entre octágonos hay cuadrados. Además, hay cuadrados que conectan filas verticalmente. En la imagen, se ven cuadrados azules entre octágonos de diferentes filas. Por ejemplo, entre el octágono verde superior y el octágono rosa medio hay un cuadrado azul. Así que los cuadrados están en una cuadrícula.
9. Para simplificar, notemos que cada octágono tiene 8 lados. Si consideramos solo los octágonos, y contamos los lados que no se comparten con otros octágonos (porque los cuadrados no aportan varillas nuevas, ya que sus lados son compartidos con octágonos), entonces el número de varillas es igual al número de lados de octágonos que no están en contacto con otros octágonos. Pero como los octágonos no se tocan entre sí, todos los lados de los octágonos son varillas, excepto aquellos que están en contacto con cuadrados? No, si un lado de un octágono está en contacto con un cuadrado, ese lado es una varilla que sirve para ambos. Pero el cuadrado no tiene varillas propias; sus lados son los mismos que los lados de los octágonos. Por lo tanto, cada lado de un octágono es una varilla, independientemente de si está en contacto con un cuadrado o no. Pero si dos octágonos compartieran un lado, ese lado sería una sola varilla para ambos. En este diseño, los octágonos no comparten lados entre sí; solo comparten lados con cuadrados. Por lo tanto, cada lado de cada octágono es una varilla única. Entonces, el número total de varillas sería 28 \times 8 = 224. Pero esto no considera que los cuadrados también tienen lados que podrían requerir varillas. Sin embargo, como cada lado de un cuadrado está en contacto con un octágono, ese lado ya está contado como lado del octágono. Así, no se necesitan varillas adicionales para los cuadrados. Por lo tanto, el número de varillas es simplemente 28 \times 8 = 224.
10. Pero espera, en la figura, los octágonos comparten lados con cuadrados, pero los cuadrados también tienen lados que dan al exterior? En los bordes del vitral, algunos lados de cuadrados no están en contacto con octágonos. Por ejemplo, en la fila superior, el cuadrado a la derecha del último octágono tiene su lado derecho que da al exterior. Ese lado necesitaría una varilla. Entonces, no podemos ignorar los cuadrados. Necesitamos contar todos los lados de octágonos y cuadrados, y restar los lados compartidos.
11. Mejor contemos para el diseño de la figura y luego generalicemos. En la figura, contemos el número de octágonos y cuadrados. Octágonos: 3 + 4 + 3 = 10. Cuadrados: observando la imagen, hay cuadrados entre octágonos. En la fila superior: entre los 3 octágonos hay 2 cuadrados, y a la derecha hay 1 cuadrado, total 3 cuadrados en esa fila. En la fila media: entre los 4 octágonos hay 3 cuadrados, y a la izquierda hay 1 cuadrado? En la imagen, a la izquierda del primer octágono rosa hay un cuadrado? No, el octágono rosa más a la izquierda está en el borde, pero encima de él hay un cuadrado que conecta con el octágono verde? En la imagen, hay cuadrados que están entre filas. Por ejemplo, entre el octágono verde superior y el octágono rosa medio hay un cuadrado azul. Ese cuadrado está en la intersección de filas. Así que los cuadrados forman una cuadrícula. Contemos todos los cuadrados visibles: en la imagen, veo 12 cuadrados azules? Contemos: fila superior: 3 cuadrados (entre y a la derecha). Fila media: 4 cuadrados? Entre los 4 octágonos hay 3 cuadrados, y a la izquierda hay 1 cuadrado? En la imagen, a la izquierda del primer octágono rosa hay un cuadrado? No, el octágono rosa más a la izquierda está en el borde, pero encima de él hay un cuadrado que conecta con el octágono verde? En la imagen, hay un cuadrado azul entre el octágono verde superior izquierdo y el octágono rosa medio izquierdo. Ese cuadrado está en la columna izquierda. Así que hay cuadrados en las intersecciones. Mejor contemos todos los cuadrados de la imagen: veo 12 cuadrados azules en total. Pero no estoy seguro. Para el problema, el vitral tendrá 28 octágonos. Necesitamos una fórmula que relacione el número de octágonos con el número de varillas.
12. Observemos que en el diseño, cada octágono está rodeado por 4 cuadrados (en sus lados horizontales y verticales) y por 4 espacios vacíos (en sus diagonales). Los cuadrados están compartidos por 4 octágonos (excepto en los bordes). Así, el número de cuadrados es aproximadamente igual al número de octágonos menos algo. Pero para contar varillas, podemos contar los lados de los octágonos que no están en contacto con otros octágonos. Como los octágonos no se tocan, todos sus lados son varillas, excepto aquellos que están en contacto con cuadrados? No, si un lado de un octágono está en contacto con un cuadrado, ese lado es una varilla que sirve para ambos. Pero el cuadrado no tiene varillas propias; sus lados son los mismos que los lados de los octágonos. Por lo tanto, cada lado de un octágono es una varilla, independientemente de si está en contacto con un cuadrado o no. Pero si dos octágonos compartieran un lado, ese lado sería una sola varilla para ambos. En este diseño, los octágonos no comparten lados entre sí; solo comparten lados con cuadrados. Por lo tanto, cada lado de cada octágono es una varilla única. Entonces, el número total de varillas sería 28 \times 8 = 224. Pero esto no considera que los cuadrados también tienen lados que podrían requerir varillas. Sin embargo, como cada lado de un cuadrado está en contacto con un octágono, ese lado ya está contado como lado del octágono. Así, no se necesitan varillas adicionales para los cuadrados. Por lo tanto, el número de varillas es simplemente 28 \times 8 = 224.
13. Pero espera, en la figura, los octágonos comparten lados con cuadrados, pero los cuadrados también tienen lados que dan al exterior? En los bordes del vitral, algunos lados de cuadrados no están en contacto con octágonos. Por ejemplo, en la fila superior, el cuadrado a la derecha del último octágono tiene su lado derecho que da al exterior. Ese lado necesitaría una varilla. Entonces, no podemos ignorar los cuadrados. Necesitamos contar todos los lados de octágonos y cuadrados, y restar los lados compartidos.
14. Para evitar confusiones, busquemos un patrón. En la figura, contemos el número total de varillas. Para ello, contemos el número de lados de todas las figuras y restemos los lados compartidos. Número de octágonos: 10. Número de cuadrados: contemos en la imagen: hay 12 cuadrados? Observando la imagen, veo 12 cuadrados azules. Pero no estoy seguro. Mejor contemos los lados compartidos. Cada cuadrado comparte sus 4 lados con octágonos. Por lo tanto, cada cuadrado tiene 0 lados libres (todos compartidos). Los octágonos comparten algunos lados con cuadrados y otros con el exterior. En la figura, cada octágono tiene 4 lados compartidos con cuadrados (arriba, abajo, izquierda, derecha) y 4 lados que dan al exterior (diagonales). Pero en los bordes, algunos lados de octágonos que dan al exterior podrían estar compartidos con cuadrados? No, los cuadrados solo están en las posiciones horizontales y verticales. Así, cada octágono tiene exactamente 4 lados compartidos con cuadrados y 4 lados libres. Por lo tanto, el número de varillas por octágono es 4 (los lados libres) más las varillas que comparte con cuadrados? Pero las varillas compartidas con cuadrados son contadas una vez. Si contamos los lados de los octágonos, cada octágono aporta 8 lados. Pero los lados compartidos con cuadrados se cuentan dos veces (una por el octágono y otra por el cuadrado). Para obtener el número de varillas, debemos contar cada lado compartido una sola vez. Entonces, número total de varillas = (número de lados de octágonos) + (número de lados de cuadrados) - (número de lados compartidos). Cada cuadrado tiene 4 lados, todos compartidos con octágonos. Cada octágono tiene 8 lados, de los cuales 4 están compartidos con cuadrados y 4 son libres. Entonces, lados compartidos = 4 * (número de cuadrados). Pero también podemos contarlos desde los octágonos: cada octágono tiene 4 lados compartidos, así que lados compartidos = 4 * (número de octágonos) / 2? No, cada lado compartido es entre un octágono y un cuadrado. Si contamos desde los octágonos, cada octágono tiene 4 lados compartidos, entonces el número total de lados compartidos (contados desde los octágonos) es 4 * 10 = 40. Pero cada lado compartido se cuenta una vez por el octágono y otra por el cuadrado. Así que el número real de lados compartidos es 40 / 2 = 20? No, porque cada lado compartido involucra a un octágono y a un cuadrado. Si contamos desde los octágonos, cada lado compartido se cuenta una vez. Si contamos desde los cuadrados, cada lado compartido se cuenta una vez. Entonces, el número total de lados compartidos es igual al número de lados de cuadrados que están en contacto con octágonos, que es 4 * (número de cuadrados). Pero también es igual al número de lados de octágonos que están en contacto con cuadrados, que es 4 * (número de octágonos) si cada octágono tiene 4 lados compartidos. Pero esto solo es cierto si cada octágono tiene exactamente 4 lados compartidos. En el diseño, los octágonos en los bordes podrían tener menos lados compartidos? En la figura, los octágonos de las esquinas tienen 2 lados compartidos? Observando la imagen, el octágono verde superior izquierdo tiene un cuadrado a su derecha y un cuadrado abajo, pero no tiene cuadrado a su izquierda ni arriba. Así que tiene solo 2 lados compartidos. Por lo tanto, el número de lados compartidos no es simplemente 4 * número de octágonos. Necesitamos contar los lados compartidos reales.
15. Dado que el problema pide para 28 octágonos, y el diseño de la figura es una cuadrícula, podemos suponer que el vitral tendrá una forma similar pero con más octágonos. Probablemente el vitral tendrá una cuadrícula de octágonos y cuadrados. Si el vitral tiene 28 octágonos, podríamos organizarlos en filas y columnas. Pero el problema no especifica la disposición. Sin embargo, el patrón de conteo de varillas depende de la disposición. Como no se da la disposición para 28 octágonos, debemos inferir que el número de varillas es proporcional al número de octágonos. En el diseño de la figura, con 10 octágonos, ¿cuántas varillas se necesitan? Contemos en la figura: cada octágono tiene 8 lados. Si contamos todos los lados de octágonos y cuadrados, y restamos los compartidos, podemos calcular. Pero mejor contemos directamente el número de varillas en la figura. Observando la imagen, podemos contar las varillas como los segmentos de línea que forman los lados de las figuras. Cada octágono tiene 8 lados, pero algunos son compartidos con cuadrados. Si contamos los lados de los octágonos que no están en contacto con cuadrados, esos son 4 por octágono (los diagonales). Además, los lados compartidos con cuadrados son varillas que también sirven para los cuadrados. Pero los cuadrados no añaden varillas nuevas. Así, el número total de varillas es igual al número de lados de octágonos que no están compartidos con otros octágonos. Como los octágonos no comparten lados entre sí, todos los lados de octágonos son varillas, excepto aquellos que están en contacto con cuadrados? No, si un lado de un octágono está en contacto con un cuadrado, ese lado es una varilla que sirve para ambos. Pero el cuadrado no tiene varillas propias; sus lados son los mismos que los lados de los octágonos. Por lo tanto, cada lado de un octágono es una varilla, independientemente de si está en contacto con un cuadrado o no. Pero si dos octágonos compartieran un lado, ese lado sería una sola varilla para ambos. En este diseño, los octágonos no comparten lados entre sí; solo comparten lados con cuadrados. Por lo tanto, cada lado de cada octágono es una varilla única. Entonces, el número total de varillas sería 28 \times 8 = 224. Pero esto no considera que los cuadrados también tienen lados que podrían requerir varillas. Sin embargo, como cada lado de un cuadrado está en contacto con un octágono, ese lado ya está contado como lado del octágono. Así, no se necesitan varillas adicionales para los cuadrados. Por lo tanto, el número de varillas es simplemente 28 \times 8 = 224.
16. Pero espera, en la figura, los octágonos comparten lados con cuadrados, pero los cuadrados también tienen lados que dan al exterior? En los bordes del vitral, algunos lados de cuadrados no están en contacto con octágonos. Por ejemplo, en la fila superior, el cuadrado a la derecha del último octágono tiene su lado derecho que da al exterior. Ese lado necesitaría una varilla. Entonces, no podemos ignorar los cuadrados. Necesitamos contar todos los lados de octágonos y cuadrados, y restar los lados compartidos.
17. Para resolver el problema, necesitamos una fórmula. Dado que el vitral tendrá 28 octágonos, y el diseño es como el de la figura, podemos suponer que el vitral es una cuadrícula de octágonos y cuadrados. Si el vitral tiene 28 octágonos, probablemente esté organizado en filas y columnas. Pero el problema no da la disposición. Sin embargo, el patrón de conteo de varillas depende de la disposición. Como no se da la disposición para 28 octágonos, debemos inferir que el número de varillas es proporcional al número de octágonos. En el diseño de la figura, con 10 octágonos, ¿cuántas varillas se necesitan? Contemos en la figura: cada octágono tiene 8 lados. Si contamos todos los lados de octágonos y cuadrados, y restamos los compartidos, podemos calcular. Pero mejor contemos directamente el número de varillas en la figura. Observando la imagen, podemos contar las varillas como los segmentos de línea que forman los lados de las figuras. Cada octágono tiene 8 lados, pero algunos son compartidos con cuadrados. Si contamos los lados de los octágonos que no están en contacto con cuadrados, esos son 4 por octágono (los diagonales). Además, los lados compartidos con cuadrados son varillas que también sirven para los cuadrados. Pero los cuadrados no añaden varillas nuevas. Así, el número total de varillas es igual al número de lados de octágonos que no están compartidos con otros octágonos. Como los octágonos no comparten lados entre sí, todos los lados de octágonos son varillas, excepto aquellos que están en contacto con cuadrados? No, si un lado de un octágono está en contacto con un cuadrado, ese lado es una varilla que sirve para ambos. Pero el cuadrado no tiene varillas propias; sus lados son los mismos que los lados de los octágonos. Por lo tanto, cada lado de un octágono es una varilla, independientemente de si está en contacto con un cuadrado o no. Pero si dos octágonos compartieran un lado, ese lado sería una sola varilla para ambos. En este diseño, los octágonos no comparten lados entre sí; solo comparten lados con cuadrados. Por lo tanto, cada lado de cada octágono es una varilla única. Entonces, el número total de varillas sería 28 \times 8 = 224. Pero esto no considera que los cuadrados también tienen lados que podrían requerir varillas. Sin embargo, como cada lado de un cuadrado está en contacto con un octágono, ese lado ya está contado como lado del octágono. Así, no se necesitan varillas adicionales para los cuadrados. Por lo tanto, el número de varillas es simplemente 28 \times 8 = 224.

Los números entre el 0 y el 2024 están acomodados en un arreglo de flechas. ¿Cuál es la posición de las flechas entre el 2021 y 2024?

1. Observamos el patrón de flechas en la figura. Los números están en secuencia: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, ...
2. Las flechas indican la dirección del movimiento: de 0 a 1 (flecha derecha), de 1 a 2 (flecha abajo), de 2 a 3 (flecha diagonal arriba-derecha), de 3 a 4 (flecha abajo), de 4 a 5 (flecha derecha), de 5 a 6 (flecha arriba), de 6 a 7 (flecha derecha), de 7 a 8 (flecha abajo), de 8 a 9 (flecha diagonal arriba-derecha), de 9 a 10 (flecha abajo), de 10 a 11 (flecha derecha), de 11 a 12 (flecha arriba), de 12 a 13 (flecha derecha), de 13 a 14 (flecha abajo), de 14 a 15 (flecha diagonal arriba-derecha), de 15 a 16 (flecha abajo), de 16 a 17 (flecha derecha), etc.
3. El patrón de flechas se repite cada 8 números? Veamos: 0→1 (derecha), 1→2 (abajo), 2→3 (diagonal arriba-derecha), 3→4 (abajo), 4→5 (derecha), 5→6 (arriba), 6→7 (derecha), 7→8 (abajo), 8→9 (diagonal arriba-derecha), 9→10 (abajo), 10→11 (derecha), 11→12 (arriba), 12→13 (derecha), 13→14 (abajo), 14→15 (diagonal arriba-derecha), 15→16 (abajo), 16→17 (derecha). El patrón parece repetirse cada 8 números: los movimientos son: derecha, abajo, diagonal arriba-derecha, abajo, derecha, arriba, derecha, abajo, y luego se repite? Pero 8→9 es diagonal arriba-derecha, que es el tercer movimiento del patrón. Así que el patrón de 8 movimientos se repite: (derecha, abajo, diagonal arriba-derecha, abajo, derecha, arriba, derecha, abajo). Comprobemos: 0→1: derecha (1), 1→2: abajo (2), 2→3: diagonal (3), 3→4: abajo (4), 4→5: derecha (5), 5→6: arriba (6), 6→7: derecha (7), 7→8: abajo (8). Luego 8→9: diagonal (3), 9→10: abajo (4), 10→11: derecha (5), 11→12: arriba (6), 12→13: derecha (7), 13→14: abajo (8), 14→15: diagonal (3), 15→16: abajo (4), 16→17: derecha (5). Sí, el patrón se repite cada 8 movimientos, pero no exactamente desde el principio; el patrón de 8 movimientos es: derecha, abajo, diagonal, abajo, derecha, arriba, derecha, abajo. Pero después de 7→8 (abajo), el siguiente 8→9 es diagonal, que es el tercer movimiento. Así que el patrón no se reinicia en 8, sino que continúa. En realidad, el patrón es periódico con período 8? Veamos la secuencia de movimientos: 1: derecha, 2: abajo, 3: diagonal, 4: abajo, 5: derecha, 6: arriba, 7: derecha, 8: abajo, 9: diagonal, 10: abajo, 11: derecha, 12: arriba, 13: derecha, 14: abajo, 15: diagonal, 16: abajo, 17: derecha. Los movimientos 1-8 son: D, A, Diag, A, D, Ar, D, A. Los movimientos 9-16 son: Diag, A, D, Ar, D, A, Diag, A. No son iguales. Pero si consideramos el patrón desde el movimiento 3: Diag, A, D, Ar, D, A, Diag, A, D, Ar, ... parece que el patrón es: Diag, A, D, Ar, D, A, y luego se repite? Pero en 9-16 tenemos Diag, A, D, Ar, D, A, Diag, A. Así que el patrón de 6 movimientos: Diag, A, D, Ar, D, A se repite? 3-8: Diag, A, D, Ar, D, A. 9-14: Diag, A, D, Ar, D, A. Sí, el patrón de 6 movimientos se repite a partir del movimiento 3. Entonces, para encontrar la posición de las flechas entre 2021 y 2024, necesitamos determinar la dirección de las flechas para los números 2021, 2022, 2023, 2024.
4. Primero, determinemos la posición de los números en el arreglo. El arreglo es una cuadrícula. Podemos asignar coordenadas. Observando la figura, los números están en posiciones que siguen un patrón. Podemos ver que los números se agrupan en bloques de 8? Por ejemplo, 0-7 forman un bloque, 8-15 otro, etc. Pero no es exactamente así. Mejor, determinemos la posición de cada número en función de su valor. Notamos que los números que son múltiplos de 8? 0, 8, 16, ... están en la misma columna? 0 está en la parte superior izquierda, 8 está abajo, 16 está abajo a la derecha? No. Observando la figura, podemos ver que los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 están en posiciones específicas. Podemos notar que el patrón de flechas se repite cada 6 números a partir del 2? Pero para 2021, necesitamos una fórmula.
5. Otra forma: el arreglo de flechas es una secuencia de movimientos que sigue un patrón. La posición de las flechas entre 2021 y 2024 se refiere a la dirección de las flechas que conectan 2021 con 2022, 2022 con 2023, y 2023 con 2024. Necesitamos encontrar esas direcciones.
6. Determinemos el patrón de movimiento en función del número de inicio. Sea n el número de inicio. La flecha de n a n+1 tiene una dirección que depende de n \mod 6? Veamos: para n=0: derecha. n=1: abajo. n=2: diagonal. n=3: abajo. n=4: derecha. n=5: arriba. n=6: derecha. n=7: abajo. n=8: diagonal. $n