Contexto: el problema de Monty Hall

La página presenta el problema de Monty Hall, llamado así por el presentador de un programa de televisión estadounidense de los años 70. En 1990, Marilyn vos Savant —registrada con el IQ más alto hasta esa fecha— lo popularizó en su columna semanal de una revista norteamericana, afirmando que cambiar de puerta duplica la probabilidad de ganar. Su respuesta generó miles de cartas de rechazo, incluso de doctores en matemáticas, pero ella tenía razón.

Paso 1. Planteamiento del juego

Hay 3 puertas cerradas: detrás de una está un automóvil y detrás de las otras dos, cabras. El concursante elige una puerta. Luego el presentador, que sabe dónde está el premio, abre una puerta equivocada y ofrece la oportunidad de cambiar.

Paso 2. Probabilidad inicial

Al elegir al azar entre 3 puertas:

P(\text{ganar sin cambiar}) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} = \frac{1}{3}

La probabilidad de haber elegido mal es:

P(\text{puerta elegida es incorrecta}) = \frac{2}{3}

Paso 3. El error del sentido común

El texto señala que la intuición dice: al abrirse una puerta quedan 2 opciones, entonces la probabilidad pasa a ser 50 %. Ese razonamiento es incorrecto porque ignora que el presentador no abre una puerta al azar: sabe dónde está el automóvil y siempre revela una puerta equivocada.

Paso 4. Por qué conviene cambiar

Si el concursante eligió la puerta correcta (probabilidad \frac{1}{3}), al cambiar pierde. Si eligió una puerta incorrecta (probabilidad \frac{2}{3}), el presentador se ve obligado a dejar cerrada la puerta ganadora, por lo que al cambiar gana. Entonces:

P(\text{ganar cambiando}) = \frac{2}{3}

P(\text{ganar sin cambiar}) = \frac{1}{3}

Respuesta: cambiar de puerta duplica la probabilidad de ganar, pues pasa de \frac{1}{3} a \frac{2}{3}; la afirmación de Marilyn vos Savant es correcta siempre que el presentador revele una puerta equivocada y ofrezca el cambio.