El problema de Monty Hall: cambiar de puerta duplica la probabilidad de ganar

Explica por qué, en el juego de las 3 puertas, cambiar de elección tiene el doble de probabilidad de ganar que no cambiar.

1. Al inicio hay 3 puertas: 1 coche y 2 cabras. La probabilidad de elegir el coche es \frac{1}{3} y la de elegir cabra es \frac{2}{3}.
2. Si el concursante no cambia, solo gana si acertó desde el principio: P(\text{ganar sin cambiar}) = \frac{1}{3}.
3. Si el concursante cambia, gana cuando había elegido cabra, porque el presentador revela la otra cabra y la puerta restante esconde el coche: P(\text{ganar cambiando}) = \frac{2}{3}.
4. Comparando: \frac{2}{3} = 2 \times \frac{1}{3}.

En la versión de 100 puertas, si elegimos la puerta 95, ¿cuál es la probabilidad de ganar y de perder antes de que el presentador abra puertas?

1. Hay 100 puertas: 1 coche y 99 cabras.
2. La probabilidad de que la puerta elegida (95) tenga el coche es P(\text{ganar}) = \frac{1}{100}.
3. La probabilidad de que el coche esté en otra puerta es P(\text{perder}) = \frac{99}{100}.

El presentador abre 98 puertas con cabras. ¿Qué probabilidad tiene la puerta 95 y qué probabilidad tiene la puerta 100?

1. La puerta 95 conserva la probabilidad inicial: P(95) = \frac{1}{100}.
2. Toda la probabilidad restante se concentra en la única puerta cerrada que no elegimos, la 100: P(100) = \frac{99}{100}.
3. Verificación: \frac{1}{100} + \frac{99}{100} = \frac{100}{100} = 1.

Entonces, cuando el presentador te dé la opción de cambiar de puerta, ¿lo harías?

1. Cambiar multiplica por 99 la probabilidad de ganar: \frac{99}{100} frente a \frac{1}{100}.
2. La decisión racional es cambiar, porque la puerta 100 absorbió la probabilidad de las 98 puertas descartadas.

Respuesta orientativa: Sí, conviene cambiar: la probabilidad de ganar pasa de \frac{1}{100} a \frac{99}{100}.